大学物理热学部分部分习题课件

大学物理习题课——热学部分12010.11.29^2统计物理学^理想气体状态方程理想气体压强公式理想气体内能麦克斯韦速率分布分子碰撞统计规律（平均自由程和碰撞频率）^基本规律1.理想气体状态方程2.理想气体压强公式^43.温度与分子平均平动动能的关系5.理想气体内能公式4.能量按自由度均分定理平衡态下，气体分子的每一个自由度的平均动能都等于。若气体分子具有i个自由度，则分子的能量为^56.麦克斯韦速率分布律数学表达式物理意义：速率在区间气体分子数 占总分子数 的百分比，或者说一个分子的速率处于区间的概率。速率分布函数物理意义：处在速率 附近单位速率区间内气体分子数占总分子数的百分比。概率密度6^三种特征速率最概然速率：平均速率：方均根速率：^77.玻尔兹曼能量分布律表示气体处于平衡态时，在一定温度下，在速度分布区间

、

、 和坐标区间

、

、 内的分子数；是分子的平动动能； 是分子在力场中的势能体积元dxdydz内的总分子数

n为空间粒子数密度n0为Ep

=08处的粒子数密度^重力场中粒子按高度的分布--

恒温气压公式8.

平均碰撞频率平均自由程^910五种类型问题利用理想气体方程、压强公式、内能公式，计算相关物理量麦克斯韦速率分布率相关问题利用三种特征速率公式的一些计算平均自由程相关问题玻尔兹曼能量分布律的应用^例1.体积和压强都相同的氦气和氢气（均视为刚性分子理想气体），在某一温度T下混合，所有氢气分子所具有的热运动动能在系统总热运动动能中所占的百分比是多少？^氢气为双原子分子，自由度为5，一个分子平均动能：所有氢气分子总动能为氦气为单原子分子，自由度为3，一个分子平均动能：所有氦气分子总动能为：^氢气分子动能的百分比为知道氢气和氦气分子的摩尔比就可确定氢气分子动能百分比。根据条件，两种气体P和V都相同，在同一温度T下混合。理想气体压强公式：氢气氦气^T相同，P相同，因此n1=n2,即分子数密度相同。V也相同。摩尔量为:^例2.

容积为10L的盒子以速率V=200m/s匀速运动，容器中充有质量为50g，温度为18oC的氢气，设盒子突然停止，气体的全部定向运动动能都变为气体分子热运动的动能，容器与外界没有能量交换，则达到平衡后氢气的温度和

压强增加多少？（氢气分子视为刚性分子）^动能全部转化为内能，内能只与温度有关，内能增加即温度增加，等体变化中，温度增加引起压强增加。定向运动动能这些能量全部转化为内能，氢气分子内能增加量为1mol氢气分子内能与温度关系：50g氢气总的内能为^内能增加量和温度增加量之间存在关系理想气体压强方程P=nkT,气体总量不变，容器体积不变，因此分子数密度n没有变化，压强增加量和温度增加量存在关系^例3.

用绝热材料制成的一个容器，体积为2V0，被绝热板隔成

A、B两部分，A内储存有1

mol单原子分子理想气体，B没储存有2mol刚性双原子分子理想气体，A、B两部分压强相等，均为P0，两部分体积均为V0，则两种气体各自的内能分别为多少？抽取绝热板，两种气体混合后处于平衡时的温度为多少？^根据理想气体状态方程：（1）两种气体各自的内能分别为多少？1mol理想气体内能为A中为单原子理想气体，自由度为3，因此内能为A中气体的内能为：^B中为双原子刚性理想气体，自由度为5，因此内能为根据理想气体状态方程：带入上式得出^（2）抽取绝热板，两种气体混合后处于平衡时的温度为多少？混合后两种气体温度相同，温度与内能有关。因此应从内能入手。容器绝热，外界没有对气体做功，也没有热传递。系统内能量守恒。两种气体间存在能量转移，但是总内能不变。设混合后温度为T，则混合后A气体内能B气体内能^混合前总内能为：混合前后内能相同：混合后总内能为：^例4.

容器内盛有密度为ρ的单原子理想气体，其压强为p，此气体分子的方均根速率为多少？单位体积内气体的内

能为多少？方均根速率肯定和内能有关，理想气体分子平均内能（1）怎样将密度ρ和压强P联系起来？理想气体压强公式P=nkT由上式可知^代入理想气体压强公式：n为分子数密度，即单位体积内分子个数。m为一个分子质量。nm即为单位体积内气体分子的质量，也就是密度ρ。因此，方均根速率为^（2）单位体积内气体的内能为多少？一个分子平均内能为单位体积内有n个分子，内能为^例5

：已知某气体在温度T时的速率分布函数为，说明下列各表达式的意义(1)表示某气体分子的速率在间隔内的间隔内的分子数占总概率。或者说，速率在分子数的百分比。(2)表示在 间隔的分子数(3)

表示某气体分子的速率在间隔内的概率。或者说，速率在子数的百分比。间隔内的分子数占总分(4)

表示在间隔内的分子数。^26例6

N个质量m的同种气体分子，其速率分布如图所示。问图中横坐标、纵坐标及折线与横坐标所包围的面积的含 义是什么？已知N、v

，求a求速率在v0/2

到3v0/2

之间的分子数

(4)求分子的平均速率和平均平动动能解:(1)横坐标表示气体分子速率。纵坐标表示在速率v附近单位速率区间内分子数；而Nf(v)dv

表示分布在速率v-v+dv区间的分子数，对应于折线与横坐标所包围的面积。27^(2)由图可得分布函数为由归一化条件，得所以28^(3)所以速率在的分子数为^29(5)求分子的平均速率和平均平动动能由于所以^30平均平动动能^例7.设有N个粒子，其速率分布函数为：（1）画速率分布曲线；（2）由N和v0求常量a；（3）求粒子的最概然速率；（4）求N个粒子的平均速率；求速率介于区间（0~v0/2）的粒子数；求（v0/2~

v0）区间内分子的平均速率。^例

8

一绝热容器，体积为

2Vo，由绝热板将其分隔成的两部分A和B，如图所示。设A内贮有1mol的He分子的气体，

B

内贮有

2

mol

的H

2

分子的气体，

A

、

B

两部分强均为PO。如果把两种气体都看作理想气体。现在抽去

绝热板，求两种气体混合后达到平衡状态时的温度和压强解：混合前，两种气体的内能为：因此两种气体的总内能为：^33设混合气体的温度为T，其内能为：因为混合前后内能不变，所以所以由理想气体状态方程可以得到压强为：^34例9：由麦克斯韦速率分布律出发，求：平动动能 介于分子数占总分子数的比率；平动动能的最概然值之间的解:(1)根据麦克斯韦速率分布律，速率介于之间的分子数占总分子数的比率为由于，，即^35将，代入(1)式，得平动动能介于之间的分子数占总分子数的比率(2)由 式对求极值，可得平动动能的最概然值即36^热力学^基本概念热力学系统（开放、封闭、孤立系统）热力学过程（准静态、非准静态过程）功对于平衡过程2)气体膨胀时，，表示系统对外界作功，气体压缩时，，表示外界对系统作功，3)功的几何意义：在 图上，准静态过程由一条曲线表示，曲线下面的面积表示该过程中系统所作的功。38^摩尔热容：1mol物质温度升高1k时所吸收的热量。热容是过程量，同一物质不同过程中其热容是不同的摩尔等体热容对于理想气体摩尔等压热容8.内能：状态量，只与温度有关对于理想气体迈耶公式4.热量39^基本规律热力学第零定律：如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡，则它们彼此处于热平衡。热力学第一定律：第一类永动机不能实现热力学第二定律：第二类永动机不能实现开尔文表述：不可能从单一热源吸取热量使之完全变为有用功，而不引起其它任何变化克劳修斯表述：热量不能自动地从低温物体传向高温物体40^热一律的应用，几个重要的热力学过程等体等压等温绝热V=CP=CT=CQ=0过程特点 方程QW000^42三种类型问题：(1)当理想气体状态发生变化时，求解各有关的物理量有关循环过程和循环效率熵变计算功、热量、内能的计算^功、热量、内能 的计算（1）直接计算计算公式适用对象适用条件任何系统任何系统理想气体准静态过程始末态为平衡态，Cm

=

const.始末态为平衡态，CV,m

=

const.^43（2）用热力学第一定律计算Q

=

ΔE

+

W—适用于任何系统和任何过程过程等容等压等温绝热44^（3）用p—V图分析1）过程曲线与V轴所围的面积=⏐W⏐2）理想气体等温线上Δ

E

=03）绝热线上Q=0两条重要的参考线pV0绝热线等温线45^热机：卡诺定理：工作于相同的高温热源和相同的低温热源之间的一切可逆热机，其效率都相同，与工作物质无关。工作于两热源间的一切不可逆热机的效率都不可能大于可逆热机的效率。46循环过程和循环效率^熵的计算只适用于可逆过程R对不可逆过程的熵变，可以在初末态之间设计一个可逆过程，利用熵为态函数，与过程无关,通过计算可逆过程熵变得到不可逆过程熵变.熵增加原理：孤立系统中，所自发发生的一切过程，总是朝着熵增加或不变的方向进行。47^例1.

已知一定量的理想气体经历P-T图上所示的循环过程，试分析图中个过程的吸热、放热情况。P2T13^PT21312过程中，T增加，内能增加，V增加，对外做功，A>0因此Q>0,吸热。23为等温过程，根据PV=vRT可知

P增加，V减小。热一律13为等压过程，根据PV=vRTT减小，V减小。T减小内能减小，A<0Q<0,放热。^例2.如图曲线中，AB、CD两条曲线代表两个绝热过程，

DEA是等温过程，BEC是任意过程，它们组成一个循环。若图中ECDE所包围的面积为80J，EABE所包围的面积为

40J，DEA过程中系统放热120J；则整个过程对外做功多少？过程中系统吸收的热量为多少？PABECDV^PV图中，做功为曲线下的面积。热循环中，所做净功为曲线所包围的面积。正循环做正功，逆循环做负功。此处曲线包围了两部分的面积，可以分为两部分循环。这两个循环做功分别为70J和-30J，总共为40J.根据热一律，一个循环中内能不变，A=40J，Q=40JDEA放热120，而AB、CD为绝热过程，吸热为0因此BEC过程吸热Q=QBEC+QDEA即40=QBEC-120QBEC=160JP

ABECDV^VP绝热12Ι所以Q>0，是吸热。试问2ΙΙ

1过程是吸热还是放热？吸热ΙΙ吸热【答】仍用热一律Q=△E-W外，与绝热线2-1比较：内能变化相同，比绝热过程的功W外更少，

所以Q>0，也是吸热。例3.

已知理想气体经历如图所示Ι,

ΙΙ

两个过程，试问1Ι

2过程是吸热还是放热？【答】

用热一律

Q=△E+W，1Ι

2与绝热线1-2比较，始末态相同，内能变化相同，比绝热过程的功W更多，52^b2---等容,2b段等容放热VP绝热12ΙΙΙ吸热a吸热53b即1Ι

2过程和2ΙΙ

1过程是否全部吸热？【答】作辅助线

ab---绝热,（或从循环a2ba看）即1

Ι

2

过程不是否全部吸热。同理可证，2ΙΙ

1过程也不是全部吸热。原因：上述1Ι

2过程“吸热”是指净结果。整个过程中有某段过程放热。吸热ba段绝热Q=0∴a2段放热^例4：一定量的理想气体，经历如图所示的循环过程，其中

和已知 点温度是等压过程，

和 是绝热过程。，C点温度

。(1)求此热机效率

(2)这个循环是卡诺循环么？^54解:

(1)设等压膨胀过程吸热 ，则等压压缩过程 放热，则循环效率^55对于

， 等压过程有对于

， 绝热过程有由式(1)、(2)、(3)和(4)可得^(2)这个循环是卡诺循环么？56(2)这个循环不是卡诺循环。虽然循环效率的表达式与卡诺循环相似，但式中

、 的含义不同。这里只是温度变化中两特定点的温度，不是卡诺循环中两等温热源的恒定温度。^57例5已知1摩尔理想气体的定容热容量为Cv,m，开始时温度为T1、体积为V1，经过下列三个可逆过程，先绝热膨胀到体积为V2(V2=2V1),再等容升压使温度恢复到T1，最后等温压缩到原来体积。设比热比γ是已知量。计算每一个过程的熵变是多少？求等容过程与外界环境的总熵变是多少？

(3)整个循环过程系统的熵变是多少？58^【解】

(1)ab

过程是可逆绝热过程，根据熵增加原理，可逆绝热过程熵不变，故bc过程是可逆等容升温过程，其熵变因为T1>T2，等容升温过程，气体吸热,熵增加。在绝热线上^59代入上式有第三个过程ca

是等温放热过程，熵一定减少,第三过程熵变为^60(2)求等容过程与外界环境的总熵变是多少？

(3)整个循环过程系统的熵变是多少？(2)等容过程系统从外界吸热，外界向系统放热，系统和外界构成绝热系统，因为经历的过程是可逆的，所以大系统的熵不变，即(3)因为熵是状态函数，系统经历一个循环过程回到原态，故61^例6.有1mol刚性多原子分子的理想气体，原来的压强为1.0

atm，温度为27oC，若经过一个绝热过程，使其压强增加到16atm，试求：气体内能的增量；在该过程中气体所作的功；终态时气体的分子数密度；^（1）气体内能的变化？内能只与温度有关，考虑温度变化。绝热过程P和V关系多原子分子自由度为6^内能变化绝热过程温度和体积关系（2）在该过程中气体所作的功；绝热过程Q=0^（3）终态时气体的分子数密度；理想气体压强方程^例7.已知:一气缸如图,A,B内各有1mol

理想气体氮气.

AB之间有一固定导热板，且VA=VB

,TA=TB

.有

335J

的热量缓慢地传给气缸,活塞上方的压强始终是1atm(忽略导热板的吸热,活塞重量及摩擦)。求:(1)A,B两部分温度的绝热导热板66热源1atm.A

QB

Q

B增量及净吸的热量.(2)若导热隔板换成

可自由滑动的绝热隔板,再求第(1)问的各量。^A

:等