考研数学模拟试卷(数学二)(附答案-详解)

考研数学模拟试卷（数学二）（附答案，详解）一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设在内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（）.（A）（B）（C）（D）2.设则是的（）.（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）第二类间断点（D）连续点3.若函数与在内可导，且，则必有（）.（A）（B）（C）（D）4.设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是（）.（A）连续的奇函数（B）连续的偶函数（C）在间断的奇函数（D）在间断的偶函数.5.函数不可导点有（）.（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个.6.若，在内，，则在内有（）.（A），（B），（C），（D），7.设为4阶实对称矩阵，且.若的秩为3，则相似于（）.(A)(B)(C)(D)8.设3阶方阵的特征值是，它们所对应的特征向量依次为，令，则（）.（A）（B）（C）（D）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）9.设二阶可导，，则.10.微分方程的通解为.11.曲线的水平渐近线为.12.设是连续函数，且，则.13.若，则，.14.设为阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组的通解为.三、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题满分10分）求极限.16.（本题满分10分）设在上连续，且.求.17.（本题满分10分）设，证明：.18.（本题满分10分）求微分方程的通解.19.（本题满分10分）设区域，计算二重积分.20.（本题满分11分）设，计算.21.（本题满分11分）求由曲线和直线所围成平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积.22.（本题满分11分）已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解.（1）证明：方程组系数矩阵的秩；（2）求的值以及方程组的通解.23.（本题满分11分）设为三阶实对称矩阵，的秩为2，即，且．(I)求的特征值与特征向量；(II)求矩阵．

数学基础阶段测试答案解析（数学二）一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设在内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（）.（A）（B）（C）（D）解析：选择（B）.与都为奇函数，则为偶函数，由积分的性质可得为奇函数.举例可得（A）为偶函数，（C）为偶函数，（D）为偶函数.故（A）（C）（D）错误.2.设则是的（）.（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）第二类间断点（D）连续点解析：选择（B）.，.因此是的跳跃间断点.3.若函数与在内可导，且，则必有（）.（A）（B）（C）（D）解析：选择（C）.函数与在内可导，则函数与在内连续，因此，，而，故.4.设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是（）.（A）连续的奇函数（B）连续的偶函数（C）在间断的奇函数（D）在间断的偶函数解析：选择（B）.只有有限个第一类间断点，因此可积，由变上限积分函数的性质可知，若可积，则连续.是奇函数可得是偶函数.因此是连续的偶函数.5.函数不可导点有（）.（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个.解析：选择（B）.由按照定义求导法则可知，在不可导，在一阶可导.因此，的不可导点，关键在于因子分解并考察的点，.于是可知，在处不可导，而在处是可导的.故不可导点的个数是2.故选（B）.6.若（），在内，，则在内有（）.（A），（B），（C），（D），解析：选择（C）.由得在上为偶函数，则为奇函数，为偶函数.根据奇偶函数的性质可得（C）正确.7.设为4阶实对称矩阵，且.若的秩为3，则相似于（）.(A)(B)(C)(D)解析：选择（D）.由可得矩阵的特征值满足，从而或.由为4阶实对称矩阵，得可以相似对角化，的秩为3得有三个非零特征值，即的特征值为,,,.8.设3阶方阵的特征值是，它们所对应的特征向量依次为，令，则（）.（A）（B）（C）（D）解析：选择（B）.由题意可得.于是.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）9.设二阶可导，，则.解析：应填1..解析：应填.此方程为一阶线性非齐次微分方程.于是得.11.曲线的水平渐近线为.解析：应填.，故曲线的水平渐近线为.12.设是连续函数，且，则.解析：应填.设.在两边积分得，即，得.于是.13.若，则，.解析：应填1，-4.，分子趋于零得分母也趋于零，于是可知.，得.14.设为阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组的通解为.解析：应填.由的伴随矩阵的元素全为1得，的秩为1，可得的秩为，于是的基础解系中只有一个向量.由的秩为可得，，于是.可得的每一列即为方程组的解，因此方程组有非零解，故的通解为.三、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题满分10分）求极限.解：原式.令，则原式.16.（本题满分10分）设在上连续，且.求.解：设，则.于是.等式两边对求导可得，.即为.17.（本题满分10分）设，证明：.证明：设，.，即在上为偶函数，因此只需要证明在时，..当时，，，因此有，得.得当时，单调递增.因此当时，，即.18.（本题满分10分）求微分方程的通解.解：对应齐次方程的特征方程为,解得特征根,所以对应齐次方程的通解为．设原方程的一个特解为,则,,代入原方程,解得,故特解为．故方程的通解为．19.（本题满分10分）设区域，计算二重积分.解：积分区域对称于轴，为的奇函数，从而知所以.20.（本题满分11分）设，计算.解：累次积分交换积分次序.21.（本题满分11分）求由曲线和直线所围成平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积.解：22.（本题满分11分）已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解.（1）证明：方程组系数矩阵的秩；（2）求的值以及方程组的通解.解：（1）系数矩阵未知量的个数为，且又有三个线性无关解，设是方程组的3个线性无关的解,则是的两个线性无关的解.因为线性无关又是齐次方程的解，于是的基础解系中解的个数不少于2,得,从而.又因为的行向量是两两线性无关的,所以.所以.（2）由（1）得，因此中所有三阶子式全为零，可得，，分别计算出，.所以作初等行变换后化为，它的同解方程组令求出的一个特解；的同解方程组是，取代入得；取代入得.所以的基础解系为，.所以方程组的通解为：，为任意常数.23.（本题满分11分）设为三阶实对称矩阵，的秩为2，即，且．(I)求的特