福建省将乐县重点中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试卷（含答案）

将乐重点中学2023—2024学年高二上第三次月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（

）在等差数列中，，则A．5B．6C．8D．92.（

）已知两条直线，，若，则a＝A．1 B．1或2 C．3 D．1或33．（

）直线经过圆的圆心，且倾斜角为，则直线的方程为：A． B．C． D．4．（

）若数列满足，且，则：A． B． C． D．5.（

）与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是：A.B.C.D.6．（

）如图，设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，交于点，且是的中点，则：

A．2 B．C．5D．7.（

）若为圆上任意两点，为直线上一个动点，则的最大值是：A.B.C.D.8．（

）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差．设是由正数组成的等方差数列，且方公差为4，，则数列的前24项和为：A．B．3C．D．6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．（

）已知空间中三点，，，则下列说法不正确的是A．与是共线向量B．与同向的单位向量是C．与夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是10.（

）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a9＋a10＋a11>0，a9＋a12<0，则下列选项正确的有A.数列{an}是单调递增数列B.当n＝10时，Sn最大C.S19·S20<0D.S20·S21<011.（

）已知正方体的棱长为为的中点，为平面内一动点，则下列命题正确的有A.若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为B.若与平面所成的角为，则的轨迹为圆C.若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线D.若与所成的角为，则的轨迹为双曲线12.（

）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>b>0))的离心率为eq\f(3,4)，F1，F2是椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上的动点，△F1PF2的周长为14，则下列选项正确的有A.椭圆C的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1B.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))≤16C.△F1PF2内切圆的面积S的最大值为πD.cos∠F1PF2≥－eq\f(1,8)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知抛物线的方程是，则它的焦点坐标为____________.14．等差数列的前项和为，若，，则.15．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则点C到平面的距离等于.16．已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a8＝6，S21＝0.(1)求数列{an}的通项公式an与Sn；(2)求数列的前50项和T50.18．(本小题满分12分)已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上.(1)求定点的坐标与圆的方程；(2)过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程.19.(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且轴时，.（1）求抛物线的标准方程.（2）若直线与抛物线交于两点，求的面积.20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点E在棱PB上．

(1)证明：平面平面PBC；(2)当时，求二面角的余弦值．21．(本小题满分12分)已知数列的前n项和为，且有，数列满足，且，前9项和为153.(1)求数列，的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值.22.(本小题满分12分)已知一动圆与圆E：(x＋3)2＋y2＝18外切，与圆F：(x－3)2＋y2＝2内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程．(2)已知点P在曲线C上，斜率为k的直线l与曲线C交于A，B两点(异于点P)，记直线PA和直线PB的斜率分别为k1，k2，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．①Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，1))；②k1＋k2＝0；③k＝－eq\f(1,2).注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（

）在等差数列中，，则A．5B．6C．8D．9【答案】A【分析】直接利用等差数列的性质求解即可【详解】因为是和的等差中项，所以，即，.故选：A2.（

）已知两条直线，，若，则a＝A．1 B．1或2 C．3 D．1或3【答案】C【解析】∵，∴或故选：C3．（

）直线经过圆的圆心，且倾斜角为，则直线的方程为：A． B．C． D．【答案】A【分析】将圆的方程整理为标准方程可得圆心坐标，由倾斜角和斜率关系求得直线斜率，由直线点斜式方程整理得到结果.【详解】整理圆的方程可得：，圆心，倾斜角为，其斜率，方程为：，即.故选：A.4．（

）若数列满足，且，则：A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据题干中的递推公式进行逐项代入，即可判别出数列为周期数列，再根据周期数列的性质即可计算出的值．【详解】数列满足，且，，，，，则数列是以4为最小正周期的周期数列，即，∴.故选：B5.（

）与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是：A.B.C.D.5.【答案】D【详解】依题椭圆的焦点（即：双曲线的焦点）为，所以可设椭圆方程为：∴依题得：∴椭圆方程为：故选：D6．（

）如图，设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，交于点，且是的中点，则：

A．2 B．C．5D．【答案】D【分析】由题意作出垂直于准线，然后得，得，写出直线方程，联立方程组，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，代入焦点弦公式计算.【解析】如图，过点作垂直于准线，由抛物线定义得.因为是的中点，所以，所以，焦点，则直线的方程为，联立消去得.设，所以，得，故选：D.7.（

）若为圆上任意两点，为直线上一个动点，则的最大值是：A.B.C.D.【答案】B【分析】由图上易知，当不动时，为两切线角最大，再将的最值问题转化为的最值问题可求.【详解】如图，为两切线，为直线上一个点，所以当为两切线是取等号；又，故只需求，，又，故选：B8．（

）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差．设是由正数组成的等方差数列，且方公差为4，，则数列的前24项和为：A． B．3 C． D．6【答案】C【分析】根据等方差数列的定义，结合等差数列的通项公式，运用裂项相消法进行求解即可.【详解】因为是方公差为4的等方差数列，所以，，∴，∴，∴，故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．（

）已知空间中三点，，，则下列说法不正确的是A．与是共线向量B．与同向的单位向量是C．与夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是【答案】AC【分析】由给定条件求出，的坐标，借助向量共线的坐标表示即可判断A，B，再求出的坐标，用向量夹角公式计算可判断C，最后求出平面的一个法向量判断D而得解.【详解】依题意，不存在实数，使得成立，即与不共线，A不正确；与同方向的单位向量是，B正确；，则与夹角的余弦值是，C不正确；设平面的一个法向量，则，令，则，即，D正确.故选：AC10.（

）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a9＋a10＋a11>0，a9＋a12<0，则下列选项正确的有A.数列{an}是单调递增数列B.当n＝10时，Sn最大C.S19·S20<0D.S20·S21<0【答案】BC【解析】设{an}的公差为d.因为a9＋a10＋a11＝3a10>0，所以a10>0.又a9＋a12＝a10＋a11<0，所以a11＝a10＋d<0，故d<0，所以A错误；因为d<0，所以a1>a2>a3>a4>a5>a6>a7>a8>a9>a10>0>a11>…>an，所以当n＝10时，Sn最大，所以B正确；因为S19＝eq\f(19（a1＋a19）,2)＝eq\f(19×2a10,2)>0，S20＝eq\f(20（a1＋a20）,2)＝eq\f(20（a10＋a11）,2)<0，S21＝eq\f(21（a1＋a21）,2)＝eq\f(21×2a11,2)<0，所以C正确，D错误．11.（

）已知正方体的棱长为为的中点，为平面内一动点，则下列命题正确的有A.若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为B.若与平面所成的角为，则的轨迹为圆C.若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线D.若与所成的角为，则的轨迹为双曲线【答案】BCD【分析】设MN中点为H，DM中点为Q，连接PQ，计算出PQ可知P的轨迹为圆可判断A；根据已知算出DN，可判断B；根据抛物线定义可判断C；以DA､DC､所在直线分别为x轴､y轴､z轴，利用向量的夹角公式计算可判断D.【详解】对于A，设MN中点为H，DM中点为Q，连接HQ，则，且，如图，若，则所以，，则，所以点H的轨迹是以Q为圆心，半径为的圆，面积，故A错误；对于B，，，则，所以N的轨迹是以D为圆心，半径为的圆，故B正确；对于C，点N到直线的距离为BN，所以点N到定点B和直线DC的距离相等，且B点不在直线DC上，由抛物线定义可知，N的轨迹是抛物线，故C正确；对于D，如图，以DA､DC､所在直线分别为x轴､y轴､z轴，建立空间直角坐标系，设，，，，所以，，，化简得，即，所以的轨迹为双曲线，故D正确；故选：BCD.12.（

）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>b>0))的离心率为eq\f(3,4)，F1，F2是椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上的动点，△F1PF2的周长为14，则下列选项正确的有A.椭圆C的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1B.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))≤16C.△F1PF2内切圆的面积S的最大值为πD.cos∠F1PF2≥－eq\f(1,8)【答案】ABD【解析】设焦距为2c，由题意，得eq\f(c,a)＝eq\f(3,4)，△F1PF2的周长为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2a＋2c＝14，解得a＝4，c＝3.又a2＝b2＋c2，所以b＝eq\r(7)，故椭圆C的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1，所以A正确；因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝2a＝8，所以8＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))≥2eq\r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2)))，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时等号成立，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))≤16，所以B正确；设△F1PF2内切圆的半径为r，则S△F1PF2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(yp))＝eq\f(1,2)req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))))，所以r＝eq\f(3\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(yp)),7).又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(yp))≤eq\r(7)，所以r≤eq\f(3\r(7),7)，所以S≤eq\f(9π,7)，所以C错误；因为cos∠F1PF2＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))\s\up12(2)＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))\s\up12(2)－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))\s\up12(2),2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2)))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))))\s\up12(2)－2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))\s\up12(2),2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2)))＝－1＋eq\f(14,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))).又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))≤16，所以－1＋eq\f(14,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2)))≥－eq\f(1,8)，所以D正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知抛物线的方程是，则它的焦点坐标为____________.【答案】【详解】抛物线的方程化为标准形：的∴其焦点坐标为.14．等差数列的前项和为，若，，则.【答案】30【详解】因为为等差数列的前n项和，且，，所以成等差数列，而，∴∴.15．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则点C到平面的距离等于.【答案】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离.【解析】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的一个法向量为，，即，取，又，所以点到面的距离，故答案为：.16．已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是________.【答案】【分析】设过点的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，可知，由题知，解得，又即可得出结果.【详解】设过的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，知：，又在椭圆C1上不存在点P，使得由P所作的圆C2的两条切线互相垂直，所以，即得，所以，所以椭圆C1的离心率，又，所以.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a8＝6，S21＝0.(1)求数列{an}的通项公式an与Sn；(2)求数列的前50项和T50.17.解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.由S21＝21a1＋eq\f(21×20,2)d＝0，……………….………………1分得a1＋10d＝0又a8＝a1＋7d＝6，……………….………………2分所以d＝－2，a1＝20，………………3分所以an＝20＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))＝－2n＋22.…………………4分Sn=……5分(2)由an＝－2n＋22≥0，解得n≤11，所以数列eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(an))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an，n≤11，,－an，n>11，))………………6分故T50＝a1＋a2＋…＋a11－a12－a13－…－a50………………7分＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋…＋a11＋a12＋a13＋…＋a50))＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋…＋a11))＝－S50＋2S11…………………9分＝＝1450＋220＝1670.………………………10分18．(本小题满分12分)已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上.(1)求定点的坐标与圆的方程；(2)过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程.【答案】(1)，(2)或【分析】（1）直线变形为，列出方程组，求出定点的坐标，设出圆心坐标，根据半径相等列出方程，求出，从而确定圆心和半径，写出圆的方程；（2）分直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合垂径定理，求出直线方程.【详解】（1）变形为，令，解得：，故定点的坐标为，………………2分由圆心在直线上可设圆心坐标为，……………3分则，即，………………4分解得：，………………5分故圆心坐标为，半径为，故圆的方程为；………………6分（2）当直线斜率不存在时，直线为，此时圆心到的距离为，由垂径定理得：弦长为，满足要求，……7分当直线斜率存在时，设直线为，圆心到直线即距离为，…8分由垂径定理得：，…………………10分解得：，………………11分故直线方程为：即综上：直线方程为或…………12分19.(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且轴时，.（1）求抛物线的标准方程.（2）若直线与抛物线交于两点，求的面积.19（1）解：当轴时，，所以………………3分故抛物线的标准方程为………………4分（2）解：设，，由（1）可知.………………5分由，消去得，………………6分则，，………………7分所以，………………8分又，，所以，………………9分故…………………10分因为点到直线的距离，………………11分所以的面积为…………12分20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点E在棱PB上．

(1)证明：平面平面PBC；(2)当时，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由勾股定理逆定理得到，从而证明出线面垂直，面面垂直；（2）解法一：以C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；解法二：取AB的中点G，连接CG，以点C为原点，CG，CD，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；【解析】（1）因为底面，平面，所以．………………1分因为，，所以．所以，所以…………3分又因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．………………4分又平面EAC，所以平面平面PBC．………5分（2）解法一：以点C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．……6分

设点E的坐标为，因为，所以，即，，，所以．……………7分所以，．设平面ACE的一个法向量为，则．所以，………………8分取，则，．所以平面ACE的一个法向量为．……………9分又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为．………………10分设平面PAC与平面ACE的夹角为，则．所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为．……12分解法二：取AB的中点G，连接CG，以点C为原点，CG，CD，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．………6分

设点E的坐标为，因为，所以，即，，，所以．………………7分所以，．设平面ACE的一个法向量为，则．所以，………………8分取，则，．所以，平面ACE的一个法向量为．………9分又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为．………………10分设平面PAC与平面ACE的夹角为，则．所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为……12分21．(本小题满分12分)已知数列的前n项和为，且有，数列满足，且，前9项和为153.(1)求数列，的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值.【答案】(1)，(2)8【分析】（1）根据计算出的通项公式，再判断出为等差数列，根据，前9项和，得到公差，求出通项公式；（2）裂项求和得到，由得到单调递增，故，进而得到不等式，求出的最大正整数k的值.【详解】（1），故当时，；当时，，满足上式，.………………2分（没有验证n=1,扣1分）又，∴，数列为等差数列，令其前n项和为，∴，∵，∴，∴公差，……………4分…………5分（2）由（1）知：，故，………………7分.………………9分又，单调递增，故.…………11分由题意可知；得：，∴最大正整数k的值为8…………12分22.(本小题满分12分)已知一动圆与圆E：(x＋3)2＋y2＝18外切，与圆F：(x－3)2＋y2＝2内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程．(2)已知点P在曲线C上，斜率为k的直线l与曲线C交于A，B两点(异于点P)，记直线PA和直线PB的斜率分别为k1，k2，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．①Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，1))；②k1＋k2＝0；③k＝－eq\f(1,2).注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【详解】(1)设动圆的圆心为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))，半径为r，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ME))＝r＋3eq\r(2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF))＝r－eq\r(2)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ME))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF))＝4eq\r(2)<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(EF))＝6.……………2分由双曲线定义可知，M的轨迹是以E，F为焦点，实轴长为4eq\r(2)的双曲线的右支，所以2a＝4eq\r(2)，2c＝6，即a＝2eq\r(2)，c＝3，所以b2＝c2－a2＝1，所以曲线C的方程为eq\f(x2,8)－y2＝1，x≥2eq\r(2).…………………4分(没有注明范围扣1分)(2)选择①②⇒③：设直线l：y＝kx＋m，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2))，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,8)－y2＝1，))得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－8k2))x2－16mkx－8m2－8＝0，…………………5分所以x1＋x2＝－eq\f(16mk,8k2－1)，x1x2＝eq\f(8m2＋8,8k2－1).……………………6分因为P(4，1)，k1＋k2＝0，所以eq\f(y2－1,x2－4)＋eq\f(y1－1,x1－4)＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx2＋m－1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx1＋m－1))＝0，………7分即2kx1x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－1－4k))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋x2))－8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－1))＝0，所以2k×eq\f(8m2＋8,8k2－1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－1－4k))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16mk,8k2－1)))－8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－1))＝0，………………8分化简得8k2＋2k－1＋meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k＋1))＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k－1＋m))＝0，所以k＝－eq\f(1,2)或m＝1－4k.…………………10分当m＝1－4k时，直线l：y＝kx＋m＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－4))＋1过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，1))，与题意不符，舍去，故k＝－eq\f(1,2)，所以③成立.……………………12分选择①③⇒②：设直线l：y＝－eq\f(1,2)x＋m，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2))，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x＋m，,\f(x2,8)－y2＝1，))得x2－8mx＋8m2＋8＝0，……………5分所以x1＋x2＝8m，x1x2＝8m2＋8，…………6分所以k1＋k2＝eq\f(y2－1,x2－4)＋eq\f(y1－1,x1－4)………………