新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 利用导数研究不等式恒成立问题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第第页参考答案1．（1）最小值为，最大值为；（2）.【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最小值，再求出区间端点的函数值，即可求出函数在区间上的最大值；（2）首先求出函数的定义域，参变分离，即可得到恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解；【详解】（1）当时，，由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，且，，则函数在区间上的最小值为，最大值为.（2）由题得函数的定义域为，若恒成立，则，即恒成立，令，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以，故的取值范围为.2．（1）极大值，极小值；（2）.【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，令，再利用导数与函数单调性的关系即可求解；（2）根据（1）中的单调性求出即可得结果.【详解】（1）因为，所以，.令，解得或，当，即或；当，即，.故的单调递增区间为和，单调递减区间为，.所以，时，有极大值，.当时，有极小值.（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，.又，，.所以时，，.因为对任意的都有成立，所以.3．(1)最小值(2)【解析】【分析】（1）当时，，求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（2）令，依题意只须在上恒成立，求出函数的导函数，根据、的取值范围，可得，即在上单调递增，即可得到，即可求出参数的取值范围；(1)解：由函数，得的定义域为，当时，，，令，解得；令，解得，所以函数在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，即．(2)解：令，因为对于任意都有，只须在上恒成立，又由，因为，所以，，即所以在上单调递增，所以，解得，所以当时，对任意都有成立．4．（1）证明见解析；（2）4．【解析】【分析】（1）由题转化为在区间上恒成立，即证；（2）由题知，即求.【详解】（1）设，则，在区间上，，，所以当时，，单调递减，且，故时，，所以，所以在区间上函数的图象恒在函数的图象的下方．（2）由，得，当时，，所以，．存在，，使成立等价于，即，，故满足条件的最大整数为4．5．（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出导函数，对m讨论，得到单调性；（2）当时，先求出，由题意，原不等式等价于，，利用导数求出，进而求出m的范围.【详解】（1），所以当时，有恒成立，在单调递增，当时，由解得：，在上单调递增；由解得：，在上单调递减；（2）当时，，根据题意，不等式等价于，，对于，，，所以在上单增，所以，则有，设，则，在定义域内为减函数，又，所以，即的取值范围是.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)恒（能）成立问题求参数的范围：①参变分离，转化为不含参数的最值问题；②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值；③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值）.6．（1）单调递减区间为，极小值为2；（2）.【解析】【分析】（1）求导，利用求出，代入导函数可得单调性和极值；（2）条件等价于对任意恒成立，设，可得在上单调递减，则在上恒成立，参变分离，转化为最值问题即可求解.【详解】（1）由条件得，∵在点处的切线与垂直，∴此切线的斜率为0，即，有，得，∴，由得，由得．∴在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值．故的单调递减区间为，极小值为2（2）条件等价于对任意恒成立，设．则在上单调递减，则在上恒成立，得恒成立，∴（对仅在时成立），故的取值范围是7．（1）；（2）.【解析】（1）求得导数,利用导数的几何意义计算即可得出结果；（2）由在上的最小值为0，化简可得，构造函数，利用导数求得最小值即可求得结果.【详解】解：（1）当时，，∴，，∴切线方程为，即（2）∵，∴原条件等价于：在上，恒成立.化为令，则令，则在上，，∴在上，故在上，；在上，∴的最小值为，∴8．(1)答案见解析；(2)【解析】【分析】（1）计算，分别讨论、、、时，解不等式和可得单调增区间和单调减区间即可求解；（2）已知不等式可转化为对恒成立，分离可得，令，利用导数求的最大值即可求解.(1)由可得，当时，，当时，；当时，，此时的单调递增区间为，单调递减区间为当时，由得，，，①若，即时，恒成立，故在上单调递增；②若，即时，由可得：或；令可得：此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；③若，即时，由可得：或；由可得：此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，在上单调递增；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.(2)由可得对恒成立，即对任意的恒成立，令，则，令，则，则在上单调递减，又，，故在上有唯一的实根，不妨设该实根为，故当时，，，单调递增；当时，，，单调递减，故，又因为，所以，，，所以，故的取值范围为．9．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设函数图象上任意不同的两点，，且.由得，由此可得证.（2）当时，求导函数得，由题意得时恒成立.再由函数的单调性和基本不等式可得证.【详解】解：（1）设函数图象上任意不同的两点，，且..，，配方得，于是必有，得到.（2）当时，，由题意恒成立，得到，于是在时恒成立.在上为增函数，，而，当且仅当，即时取等号，.10．(1)答案见解析(2)【解析】【分析】（1）对a进行分类讨论，利用导数求出单调区间；（2）记，则有对a进行分类讨论，求出a的取值范围.(1)的定义域为，当时，恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得：，所以在上单调递增；令，解得：，所以在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递减.当时，在上单调递增，在上单调递减；(2)设，则有当时，在上单调递增，所以满足题意；当时，，且，使时，单调递减，使得不合题意.的取值范围为.11．（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求导，分别讨论和两种情况的正负，即可求得的单调区间.（2）所求转化为求在恒成立问题，设，利用导数判断其单调性，并求得的最大值，可得关于m的不等式，即可得答案.【详解】（1）当时，，所以在为增函数，当时，令，解得；当时，，为增函数，当时，，为减函数，综上：当时，的单调增区间为，当时，的单调增区间为，单调减区间为.（2）因为在恒成立，所以在恒成立，设，则.设所以在单调递增，又，因此存在唯一，使得，所以当时，，当时，当时，，当时，所以函数在递增，在递减，在递增因此，由得，则.所以，因为，则，所以，因为，所以当时，，所以，解得所以的取值范围是【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数判断函数单调性，求极（最）值的方法，并灵活应用，在得到解析式，并且不能直接判断其正负时，可令，再次求导，根据的单调性，求得的值域，进而可得的正负，即可得的单调性，属中档题.12．(1)(2)1【解析】【分析】（1）首先将题意转化为恒成立，先证明恒成立，再分类讨论的范围即可得到答案.（2）首先求导得到，设，根据的正负性得到的单调性，再利用隐零点求解函数的最值即可.（1）因为时，恒成立，所以恒成立，即恒成立.首先证明恒成立，即证恒成立.设，，因为，，为增函数，，，为减函数，所以，即证：时，恒成立.当时，恒成立，当时，若不满足，故舍去.综上：.（2），设，，∴在上单调递增，因为，，所以存在，使得，且时，，即单调递减，时，，即单调递增，所以，因为，所以，则，所以，设，，因为时，，为增函数，所以，则，∴．13．(1)答案见解析；(2)1.【解析】【分析】（1）求导，再对分和两种情况讨论得解；（2）等价于1，令g（x）＝1，求出函数的最小值即得解.（1）解：f（x）的定义域为（0，+∞）．．当a≤0时，≤0在（0，+∞）上恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．f（x）在（0，+∞）上没有极值点．当a＞0时，由＞0得x，所以，f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，即f（x）在x处有极小值．综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上没有极值点；当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点．（2）解：∵函数f（x）在x＝1处取得极值，＝a﹣1＝0，则a＝1，从而f（x）＝x﹣1﹣lnx．因此f（x）≥bx﹣2，即1，令g（x）＝1，则，由≥0得x≥e2则g（x）在（0，e2）上递减，在（e2，+∞）上递增，，故实数b的最大值是1．14．(1)答案见解析(2)【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）依题意可得在上恒成立，令，再分、、三种情况讨论，结合函数的单调性计算可得.（1）解：由知定义域为，且①时，在上，故在上单调递增；②时，当时，时，故在上单调递增，在上单调递减.（2）解：由得，令①当时，在，恒成立，所以不可能；②当时在上单调递减且，当时，，故在上存在，使得时，，则在上单调递增，所以与题不符.

当时，，所以在上单调递减，所以，符合题意.综上所述，15．（1）；（2），在单调递减；，在单调递增，在单调递减；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得导函数，利用导数的几何意义得到切线的斜率，进而得出切线方程；（2）分类讨论，函数的定义域，在定义域内研究讨论导数的正负，进而得到单调性；（3）解法1：等价转化为.先将不等式左边看成以a为自变量的函数，设，利用导数研究其单调性，进而得到.由（1）可知，当时，，得，然后利用放缩证得；解法2：（3）不等式等价于.由（1）可知，当时，，得，先利用，得到，从而为证原不等式，只需证构造函数，利用导数研究其单调性，进而得证.【详解】（1），则，于是点处切线方程为：，即.（2）若，则定义域，，在单调递减.若，则定义域为，.由得，由得，所以在单调递增，在单调递减.解法1：（3）不等式等价于.设，.设，则，所以.而，所以，在单调递减，所以.由（1）可知，当时，，得.所以.因此当时，.解法2：（3）不等式等价于.由（1）可知，当时，，得，从而.设，在单调递增.因为，所以当时，，当时，.所以.因此.所以当时，.【点睛】利用，进行放缩是解决同时含有指数对数的不等式证明得常用方法，值得注意体会和掌握.16．（1）f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；（2）（0，）；（3）k＞1﹣ln2，证明见解析.【解析】【分析】（1）求导得，分析的正负，进而可得f（x）的单调性，即可得出答案．（2）求出f（x）min，令h（x）＝，求出h（x）min，只需f（x）min＞g（x）min，即可得出答案．（3）当m＝2时，f（x）＝lnx+，分析f（x）的单调性，进而可得f（x）min，若f（x）＝k有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜＜x2，则k＞1﹣ln2，且lnx1+＝k①，lnx2+＝k②，推出lnx1＝lnx2+﹣，f（x1）﹣f（1﹣x2）＝lnx2+﹣ln（1﹣x2）﹣，令F（x）＝lnx+﹣ln（1﹣x）﹣，x＞，求导分析F（x）的单调性，进而可得f（x1）＜f（1﹣x2），再结合f（x）在（0，）上单调递减，即可得出答案．【详解】解：（1），令f′（x）＞0，得x＞，令f′（x）＜0，得0＜x＜，所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（2）由（1）知，f（x）min＝f（）＝ln＝1﹣lnm，令h（x）＝＝＝，x∈（0，3），h′（x）＝＝，在x∈（2，3）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，在x∈（0，2）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）min＝h（2）＝＝，所以1﹣lnm＞，所以0＜m＜，所以m的取值范围是（0，）．（3）当m＝2时，f（x）＝lnx+，由（1）可知f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（）＝ln＝1﹣ln2＞0，若f（x）＝k有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜＜x2，则k＞1﹣ln2，所以lnx1+＝k①，lnx2+＝k②，得lnx1+＝lnx2+，所以lnx1＝lnx2+﹣，f（x1）﹣f（1﹣x2）＝lnx1+﹣ln（1﹣x2）﹣＝（lnx2+﹣）+﹣ln（1﹣x2）﹣＝lnx2+﹣ln（1﹣x2）﹣令F（x）＝lnx+﹣ln（1﹣x）﹣，x＞，＝，因为x＞，所以﹣4x2+4x﹣1＜0，即F′（x）＜0，所以F（x）在（，+∞）单调递减，所以F（x）＜F（）＝所以f（x1）＜f（1﹣x2），因为0＜x1＜＜x2，所以﹣＞﹣x2，即1﹣＞1﹣x2，所以0＜1﹣x2＜，因为f（x）在（0，）上单调递减，所以x1＞1﹣x2，所以x1+x2＞1，得证．【点睛】关键点点睛：1.对于若，，使成立，转化为是关键；2.对于双变量问题，我们要想办法找到两变量之间的关系，进而利用关系消元，达到转化为单变量问题；3.对于不等式的证明，可构造函数，利用用导数求函数最值来研究证明.17．（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）【解析】【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.【详解】(1)当时，，，由于，故单调递增，注意到，故：当时，单调递减，当时，单调递增.(2)[方法一]【最优解】：分离参数由得，，其中，①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；②.当时，分离参数a得，，记，，令，则，，故单调递增，，故函数单调递增，，由可得：恒成立，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；因此，,综上可得，实数a的取值范围是.[方法二]：特值探路当时，恒成立．只需证当时，恒成立．当时，．只需证明⑤式成立．⑤式，令，则，所以当时，单调递减；当单调递增；当单调递减．从而，即，⑤式成立．所以当时，恒成立．综上．[方法三]：指数集中当时，恒成立，记，，①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意；②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，所以若满足，只需，即，所以当时，成立；③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立，所以时，满足题意.综上，.【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！18．(1)单调递增区间为，单调递减区间为.(2)【解析】【分析】（1）当时，求得，设，求得，进而得到的符号，即可求解；（2）由，得到恒成立，设，利用导数求得函数的单调性和最值，转化为恒成立，集合，即可求解.(1)解：当时，的定义域为，可得，设，可得，故在上单调递增，所以，由，解得；由，解得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)解：若要使得，只需恒成立，设，可得，由，可得；由，可得，所以在为单调递减，在上单调递增，所以，于是需要恒成立，即恒成立，由（1）可得：当时，，从而，即，用替换上式中的，可得，结合时，，所以恒成立，要使得恒成立，则，即实数的取值范围.19．（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）通过研究导函数和的正负情况判断和的单调性，进而得到最值，即证结论；（2）先代入化简为时，恒成立，构造函数，通过两次求导判断其导函数的的单调性，再对a进行分类讨论，结合（1）中结论判断能否成立，即得结果.【详解】解：（1）（ⅰ）证明：由可知．当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数有最小值，又，故；（ⅱ）证明：由可知，．当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数有最小值，又，故．（2）当时，恒成立，而，故不等式等价于当时，恒成立．设函数．则，设，则．当时，，，，结合（1）（ⅰ）问结论知，，故函数在上单调递增．若，则当时，，，函数在在上单调递增，又，故，满足题意；若，因为，，结合（1）（ⅱ）问结论可知，，又，函数在上单调递增，故存在，使得，当时，，，函数在上单调递减，此时，又，即当时，，不符题意．故实数的取值范围是．【点睛】关键点点睛：第一问中证明不等式的关键在于利用函数导数研究最值，第二问的解题关键在于分类讨论后巧妙利用（1）中结论进行判断，突破难点.20．（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）构造函数，求导，分类讨论得函数最值即可求解；（2）由题意得，，等价证明，令，构造函数求导证明即可【详解】（1）令，当恒成立，在R上单调递增，，当不合题意，故舍去当则，故当，单调递减；当；单调递增，故令，故在递增，在递减，故即即，故即故a的取值集合为（2）方程f(x)-g(x)=0有两个不同的根x1，x2不妨令x1<x2,,若证<ln2a.即证令，即证，令因为，故，故单调递增，得证【点睛】本题关键是利用，，等价证明，构造函数证明21．（1）

（2）证明见解析

（3）存在

【解析】【分析】（1）求出函数得到函数大单调性，从而得到函数的极大值.（2）由（1）可得，即，然后可得，，，相加可证明.(3)与的图象在处有公共点,设函数与存在“分界线”,由令，由求出参数的值，再证明成立即可.【详解】（1），则由，可得，，可得所以在上单调递增，在上单调递减.所以当时，有极大值（2）由（1）可知，为的最大值，即所以，即（当且仅当时等号成立）令，则，取，则，即则，，由上面不等式相加得即即（3）设，则当时，，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.所以即与的图象在处有公共点设函数与存在“分界线”令由，即在上恒成立，即在上恒成立，成立，而，所以，则再证明，即恒成立.设，则当时，，当时，所以在上单调递增，在上单调递减.所以当时，有最大值，即所以恒成立.综上所述，可得且故函数与存在“分界线”，此时【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，利用导数证明不等式，考查恒成立求参数，考查转化思想的应用，属于难题.22．(1)(2)【解析】【分析】（1）求，利用导数的几何意义求得在点处切线方程，由在轴上的截距为列方程即可得的值；（2）由所给的不等式分离可得，令，利用导数判断的单调性和最小值，由即可求解.(1)函数的定义域为，，则在点处切线的斜率为，又，所以函数的图象在点处的切线方程为：，即，所以，因为其在轴上的截距为，所以，解得．(2)即，又，所以，可得对于恒成立，当时，令，则．再令，则，所以在上单调递增；又，，所以使，即，使，当时，，；当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，又因为，所以实数的最大整数值是．【点睛】方法点睛：若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.23．（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求导得到导函数后，设为进行再次求导，可判断出当时，，当时，，从而得到单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数，通过二次求导可判断出，；分别在，，和的情况下根据导函数的符号判断单调性，从而确定恒成立时的取值范围.【详解】（1）令，则当时，令，解得：当时，；当时，在上单调递增；在上单调递减又，，即当时，，此时无零点，即无零点

，使得又在上单调递减

为，即在上的唯一零点综上所述：在区间存在唯一零点（2）若时，，即恒成立令则，由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减且，，，①当时，，即在上恒成立在上单调递增，即，此时恒成立②当时，，，，使得在上单调递增，在上单调递减又，在上恒成立，即恒成立③当时，，，使得在上单调递减，在上单调递增时，，可知不恒成立④当时，在上单调递减

可知不恒成立综上所述：【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.24．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可知等价于，构造函数利用导数可证；（2）利用导数判断函数单调性，可求函数的极值，再结合零点存在性定理可证.【详解】（1）当时，等价于.设，当时，，单调递增，故，，即.于是当时，.（2）定义域为，.若，当或时，，当时，，故在单调递增，在单调递减，在单调递增.，所以函数在上没有零点；因为，，所以，∴，当满足且时，由（1）可知，∴函数在上有一个零点；综上所述，有且仅有一个零点.25．(1)；(2).【解析】【分析】(1)对f(x)求导，再求出导函数在0处的导数值，利用点斜式写出方程而得；(2)不等式恒成立，等价转化为，构建新函数，分类讨论求其最小值不小于0而得解.【详解】(1)，∴，又∵，∴函数在处的切线方程为.(2)令，，∵()，∴在上单调递增，①当时，，所以为增函数，故恒成立，即.②当时，∵在上为增函数，且，，故存在唯一，使得.则当时，，为减函数，，此时与恒成立矛盾.综上所述，.【点睛】利用导数解决含参函数问题，求导后不能准确判断导数值的正负，还需二次求导判断一阶导数的单调性，再分类讨论解决.26．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用导数可判断函数在上单调递增，即可证得：当时，，问题得证．（Ⅱ）求得：，对的范