新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 利用导数解决实际问题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第第页参考答案1．(1)(2)当元/千克时，商场每日销售该商品所获最大利润【解析】【分析】（1）根据题意，，解方程即可得答案；（2）设商场每日销售该商品的利润为，则，，再根据导数研究函数单调性，求最值即可得答案.(1)解：因为销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品13千克，商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中，a为常数所以，解得所以，，(2)解：设商场每日销售该商品的利润为，则，因为当时，，单调递增，当时，，单调递减所以当元/千克时，商场每日销售该商品所获最大利润2．(1)；(2)商品的利润最大时生产量为百件.【解析】【分析】（1）利用求出利润函数即可；（2）利用导数求在上的最大值，由一次函数单调性求上的最大值，比较大小，即可确定利润最大时的生产量.(1)由题意，利润.(2)由（1），当时，，所以，令，则或（舍），故，，即递增；，，即递减；所以的极大值也是最大值为（万元）；当时递减，此时最大值为（万元）.综上，使商品的利润最大，产量为百件.3．(1)当时，每瓶饮料的利润最大(2)当时，每瓶饮料的利润最小(3)【解析】【分析】（1）由题意得到每瓶饮料的利润为，利用导数法求解；（2）由（1）根据唯一的极小值点为最小值点求解；（3）由求解.(1)解：由题知：每瓶饮料的利润为：，，所以，令，解得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，又，所以，当时，每瓶饮料的利润最大；(2)由（1）知：当时，每瓶饮料的利润最小；(3)由，解得，故所求瓶子的半径取值范围是.4．4.5米【解析】【分析】设长方体底面长为米，宽为米，求出高后得长方体的体积，由导数求得最大值，得结论，注意变量的范围．【详解】设长方体底面长为米，宽为米，则高为，，，所以，，，时，，递增，时，，递减，所以时，取得极大值也是最大值（立方米）．（米）所以框架高为4.5米时，这个框架内部的活动空间最大5．(1)(2)当时，S的最小值为，此时;当时，S的最小值为，此时.【解析】【分析】（1）表示出采样点及周围通道的长，宽，写出S关于的函数关系式即可；（2）分两种情况讨论a的取值范围，当时，根据基本不等式的性质求出S的最小值，以及满足条件的的值；当时，借助于导数解决问题，求得答案.(1)由题意采样点及周围通道构成的矩形的长是，宽是，故；(2)由（1）知，，当时，，当且仅当即时取等号，此时，且满足，故此时S的最小值为，此时;当时，令，则，由于时，，故，即单调递减，故，此时，满足,故S的最小值为，此时.6．(1)，定义域为(2)当时，当时,包装盒的容积最大是【解析】【分析】（1）设包装盒的高为,底面边长为,求出函数的解析式,注明定义域即可.（2）利用函数的导数判断函数的单调性,求解函数的最值即可.(1)设包装盒的高为,底面边长为,则所以其定义域为(2)由,可得,当时,;当时,;当时,取得极大值也是最大值:.答:当时,包装盒的容积最大是7．(1)；(2)需新建9个桥墩才能使y最小.【解析】【分析】（1）求出，即得y关于x的函数关系式；（2）利用导数求出函数的单调区间即得解.(1)解：由，得，所以.(2)解：由（1）知，，令，得，所以.当时，，则在区间内为减函数；当时，，则在区间内为增函数.所以在处取得最小值，此时.故需新建9个桥墩才能使y最小.8．(1)(2)需建19座高压线塔可使得余下的工程费用最低，且最小值为44.72万元【解析】【分析】（1）由已知可得工程费用包括建造高压线电塔所需费用和搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用的总和，即可列出函数关系式；（2）利用导数求解函数的单调性，然后求出最小值即可.(1)（1）由题意知，需要新建的高压线塔为座．

所以，

即．(2)由（1），得，

令得或（舍去）．

由，得；由，得，所以函数y在区间上单调递减；在区间上单调递增．

所以当时，函数y取得最小值，且，此时应建高压线塔为（座）．

故需建19座高压线塔可使得余下的工程费用最低，且最小值为44.72万元．9．(1)，；(2)当隔热层修建cm厚时，总费用达到最小值为万元．【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出k值，再列出函数的表达式作答.（2）利用导数求出（1）中函数的最小值即可作答.(1)隔热层厚度xcm，依题意，每年能源消耗费用为，由，得，因此，而建造费用为，则隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和为，所以.(2)由（1）知，，令，即，而，解得，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，则当时，取最小值．所以当隔热层修建cm厚时，总费用达到最小值为万元．10．当罐高与底的直径相等时，所用材料最省.【解析】【分析】设圆柱的高为h，底半径为R，根据题意得到，然后得到S(R)＝＋2πR2，进而利用导数判断单调性，进而求出最值.【详解】设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S(R)＝2πRh＋2πR2，又V＝πR2h，则h＝，所以S(R)＝2πR·＋2πR2＝＋2πR2，由S′(R)＝－＋4πR＝0，解得R＝，从而h＝＝2，即h＝2R，当0<R<时，S′(R)<0，当R>时，S′(R)>0.因此，当R＝时，S(R)有极小值，且是S(R)的最小值.故当罐高与底的直径相等时，所用材料最省.11．（1），；（2）当D位于线段AB的中垂线上且距离AB边处时，能使三段木栈道总长度最短【解析】【分析】（1）利用直角三角函数表示出DA，DO，DC，即可表示出y；（2）对求导,利用导数即可求得最值.【详解】由，，，则，，所以，所以，；

，令，得，又，所以，当时，，y是的减函数；当时，，y是的增函数，所以，当时，）

，此时．答：当D位于线段AB的中垂线上且距离AB边处时，能使三段木栈道总长度最短12．【解析】【分析】假设圆的半径为，矩形的长为，根据题目信息得到关系式，再将图形的周长表示出来得，最后构造函数，求导判断函数取得最小值时的值即可.【详解】设圆的半径为，则半圆的面积为，所以矩形的宽为，设矩形的长为，则矩形的面积为，所以，即，该图形的周长为，令，所以，令解得：（舍负），所以函数在上单调递减，在上单调递增所以当即时，函数取得最小值.即圆的直径时，所需材料最省.13．(1)，(2)当半径r为3米时，建造费用最小，最小为162π千元【解析】【分析】（1）利用圆柱和球的表面积、体积公式建立函数关系式；（2）利用导数判断单调性，求出最小值.(1)（1）由题意可得，所以，所以，即.因为，，所以，所以，故，.(2)（2）设，，则，令，解得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以当时，取得极小值，也是最小值，且.所以当时，.所以当半径r为3米时，建造费用最小，最小为162π千元.14．(1)10.76cm(2)①；②该虾池至少需养3茬虾才能盈利【解析】【分析】（1）根据平均数的计算公式即可得到结果.（2）①先根据频率分布直方图求出随机捕捉一尾虾，该虾为特级虾的概率，再利用相互独立事件的概率计算公式求解即可；②列出虾的长度､售价与对应概率的表格，求出每尾虾的售价的期望值，利用函数的有关知识求得平均每尾虾的最高售价，进而求得养一茬虾的最大利润，最后根据题意列不等式，求解即可.(1)由题意知，样本平均数，所以估计该虾池虾的平均长度为10.76cm.(2)①由频率估计概率知，随机捕捉一尾虾，该虾为特级虾的概率为，则从该虾池中随机捕捉4尾虾，至少有2尾为特级虾的概率为.②由题意可知，该虾池虾的长度､售价与对应概率如下表所示（）：）长度/cm（元/尾）概率0.120.400.280.20所以.记，则，令，得，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，.所以养一茬虾的最大利润（元）.设该虾池至少需养茬虾才能盈利，则，解得.因为，所以在不考虑维修成本的前提下，该虾池至少需养3茬虾才能盈利.15．当矩形面积最大时，矩形边AB长，BC长【解析】【分析】先设出点坐标，进而表示出矩形的面积，通过求导可求出其最大面积.【详解】设点，那么矩形面积，.令解得（负舍）.所以S在（0，）上单调递增，在（，2）上单调递；..所以当时，S有最大值.此时答：当矩形面积最大时，矩形边AB长，BC长.16．(1)，，其中；(2)存在，且的最大值为.【解析】【分析】（1）求得，根据已知条件求出的取值范围，根据题意得出，将代入函数解析式可求得的值，由此可得出表示为的函数关系式；（2）利用导数分析函数在上的单调性，由此可得出结论.(1)解：因为为半圆弧的直径，则，则，由题意可得，可得，所以，，其中，当点在的中点时，，此时，解得，因此，，其中.(2)解：因为，其中，则，因为函数在上为减函数，由可得，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，故当时，函数取最大值，即.17．（1）18cm（2）18cm【解析】【分析】(1)设三棱柱的底面边长为,再根据三角形中的关系表达出底面积和与侧面积的关系式再解方程即可.(2)同(1)可知,再求导分析函数的单调性求最大值即可.【详解】设三棱柱的底面边长为,即,则.因为为等边三角形,所以三棱柱的高为.（1）因为三棱柱的底面积为,侧面积为,所以,解得或（舍去）.即三棱柱的底面边长为18cm.（2）三棱柱的体积.因为,,所以.因为,所以当时,,故单调递增;当时,,故单调递减.所以当时,取到极大值,也是最大值,.即当底面边长为18cm时,三棱柱的体积最大,为.【点睛】本题主要考查了利用导数求解立体几何中的最值问题,需要根据题意设合适的边长,再求出体积关于边长的表达式,再求导分析最值即可.属于中档题.18．（1）；（2）的最大值，.【解析】【分析】（1）联立抛物线和圆的方程，要圆与抛物线有四个不同交点，即方程有两个不等正根，写出满足的不等式组，求得r的取值范围.（2）设出A，B坐标，根据（1）中联立结果写出韦达定理，表示出四边形ABCD的面积表达式，方法一借助导数求单调区间，从而求得最大值；方法二把表达式写成因式乘积的形式，借助不等式求得最大值.【详解】解：（1）联立抛物线与圆方程消可得：

要圆与抛物线有四个不同交点，即方程有两个不等正根．所以，

解得：的取值范围为；（2）设，其中，则令

当时，单调递增；当时，单调递减．

当时，取得最大值，即，

方法二：

当时，即取得最大值，【点睛】方法点睛：求面积最值时可以先写出面积表达式，对于高次函数可以借助导数来求得最值，如果能写出因式乘积的形式，部分题型也可以利用不等式求得最值.19．(1)瓶子半径为时，每瓶饮料的利润最大(2)瓶子半径为时，每瓶饮料的利润最小，并且是亏损的【解析】【分析】先确定利润函数，再利用求导的方法，即可得到结论．(1)由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是，．令，解得（舍去）．所以当时，；当时，．当时，，它表示在区间上单调递增，即半径越大，利润越高；当时，，它表示在区间上单调递减，即半径越大，利润越低．又，故半径为时，能使每瓶饮料的利润最大．(2)由（1）可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减．所以当时，有最小值，其值为，故瓶子半径为时，每瓶饮料的利润最小，并且是亏损的.20．(1)(2)需新建个桥墩才能使y最小，最小值为万元.【解析】【分析】（1）利用题中的已知条件设出需要建设桥墩的个数，进而表示出工程的费用即可；（2）利用（1）的结果，再利用导数研究函数的单调性即可求出最值.(1)由已知两端的桥墩相距1200米，且相邻两桥墩相距x米，故需要建桥墩个，则所以y关于x的函数关系式为，(2)由（1）知令，即，解得（舍）或当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以当时，y有最小值，且又（万元）所以需新建个桥墩才能使y最小，最小值为万元.21．(1)；(2)第9个月的月利润预报值最大【解析】【分析】（1）根据数据与回归方程的公式进行求解，得到回归方程；（2）结合第一问所求得到关于的函数，通过导函数求出单调区间，极值及最值，求出答案.(1)令，则，，，，所以y关于x的回归方程为；(2)由（1）知：，，令，令得：，令得：，令得：，所以在处取得极大值，也是最大值，所以第9个月的月利润预报值最大.22．(1)0.91；(2)分布列见解析，1；(3)t＝3.2时，每件产品的平均利润达到最大约为5.5．【解析】【分析】（1）根据二项分布的性质进行求解即可；（2）根据分层抽查的性质，结合古典概型计算公式、数学期望的公式进行求解即可；（3）根据每件产品的平均利润表达式，结合导数的性质进行求解即可.(1)抽取到为二级及以上产品的件数为Y，则由频率分布直方图可得，任取1件产品为二级及以上产品的概率为：5（0.08+0.04+0.02）＝0.7．则Y~B（2，0.7），则；(2)由频率分布直方图得指标值大于或等于90的产品中，的频率为0.04×5＝0.2，的频率为0.02×5＝0.1，∴利用分层抽样抽取的6件产品中，的有4件，的有2件，从这6件产品中，任取3件，质量指标值的产品件数X的所有可能取值为0，1，2，则：，，，∴X的分布列为：X012P∴X的数学期望为：；(3)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y（元）的关系如表所示（2<t<4），质量指标值m[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100]利润y（元）－3t2t3t4t5tP0.050.10.150.40.20.1∴每件产品的平均利润：，（2<t<4），则，令，解得t＝2ln5，∴当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，∴当t＝2ln5时，h（t）取最大值为，当t＝2ln5≈3.2时，每件产品的平均利润达到最大约为5.5．23．(1)，(2)，，【解析】【分析】（1）作出圆锥的轴截面，截圆柱得一内接矩形，设，由相似形得出的关系，竖放，，横放，，由体积公式计算可得；（2）由导数求得的最大值，并比较可得．(1)如图是圆锥的轴截面截圆柱得一内接矩形，设，根据三角形相似得，.①若圆柱“竖放”，则②若圆柱“横放”，则(2)①，由，解得当时，，递增；当时，，递减；②由解得当时，，递增；当时，，递减；24．（1）；（2）.【解析】（1）由已知可得方盒的底面边长为，高为，进而可得答案；（2）利用导数法，可得方盒的容积V的最大值.【详解】（1）由题意可得方盒的底面边长为，高为，无盖方盒的容积.（2）因为，所以，令，得（舍），或，当时，，当时，，因此是函数V的极大值点，也是最大值点，故当时，方盒的容积最大.25．【解析】【分析】设销售价为x，则降价相对于售价是b时，降低了个10%，从而销量提高了个40%，从而求得可获得的利润为y，求导，由导数求得函数最大值，此时取得的x的值即为销售价.【详解】设销售价为x，可获得的利润为y，则，求导得，令，解得，由知，，当时，，函数单增；当时，，函数单减；因此是函数的极大值点，也是最大值点；故当销售价为元/件时，可获得最大利润.26．（1）；（2）当定价为元时，一个星期的商品销售利润最大.【解析】【分析】（1）根据已知条件先确定出每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值之间的关系，然后根据(售价成本降价值)(多卖出的商品件数)得到的解析式，同时注意定义域；（2）根据列出关于的表格，分析出的单调性和极值，再结合端点值确定出取最大值时对应的的值即可.【详解】解：（1）设一星期多卖出的商品件数为t件，设，由题意知，解得.由题意知，；（2）9072单调递减极小值单调递增极大值单调递减且，因为，所以当时，商品销售利润最大，此时定价为元.所以当定价为元时，一个星期的商品销售利润最大.【点睛】思路点睛：利用导数解决生活中优化问题的基本思路：（1）将实际问题利用函数进行抽象表达，并注意函数定义域；（2）利用导数解决函数的最值问题；（3）根据函数的最值得到优化问题的答案.27．【解析】【分析】先求得△DEF的面积的最小值，即可求得五边形ABCEF的面积的最大值【详解】取BC中点H，连接OH.以O为坐标原点，分别以OH、OD所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，则，，设边缘线OM上一点P的坐标为，则，所以，.设EF与边缘线OM的切点为，因为，所以，故EF所在直线的方程为，因此，，其中，则所以，令，解得或（舍去），当时，，当时，，即当时，取得最小值.从而五边形ABCEF的面积的最大值为.28．（1）；（2）.【解析】（1）根据水箱的高为，得到水箱底面的长和宽，再由长方体的体积公式求解.（2）由（1）得，然后利用导数法求解.【详解】（1）由水箱的高为，得水箱底面的宽为，长为.故水箱的容积.（2）由（1）得，令，解得（舍去）或，所以在内单调递增，在内单调递减，所以当时，水箱的容积最大.29．（1）（2）【解析】【分析】（1）由，，，所以与全等.可得，根据面积公式，可求得观赏区的面积为，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求，解不等式即可求出结果.（2）由题意可得种植区的面积为，正方形面积为，设年总收入为万元，则，利用导数在函数单调性中的应用，即可求出结果.【详解】（1）∵，，，所以与全等.所以，观赏区的面积为，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求，即，结合可知，则的最大值为.（2）种植区的面积为，正方形面积为，设年总收入为万元，则，其中，求导可得.当时，，递增；当时，，递增.所以当时，取得最大值，此时年总收入最大.【点睛】题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，以及导数在求最值的应用.30．（1），定义域为；（2）当时，；当时，.【解析】【分析】（1）利用，可得，则可得关于的函数表达式，，代入即得解；（2）求导，分，两种情况讨论，即得解【详解】（1）设容器的容积为，由题意，知.又，故.由于，解得，所以，其定义域为.（2）由（1）得，.由于，所以.当时，.令，则，所以.①当，即时，若，则；若，则；若，则.所以是该函数的极小值点，也是最小值点.②当，即时，若，则（仅当时，），所以函数单调递减.所以是该函数的最小值点.综上所述，当时，总建造费用最少时；当时，总建造费用最少时.31．(1)(2)该公司在生产这种小型产品中所获得的最大月利润为万元，此时的月生产量为e万件【解析】【分析】（1）根据题意结合月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本写出函数解析式即可；（2）利用导数求出函数的单调区间，从而可求得函数的最值，即可得解.(1)解：由题意，可得；(2)解：由（1）知，则，当时，，随x的变化情况如下表：x1e0+0-由上表，得在上的最大值为，所以月生产量在万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的最大月利润为万元，此时的月生产量为e万件.32．(1)(2)(3)36元，最大值为【解析】【分析】（1）利用条件预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为万件，即可求得；（2）根据一年的利润等于单件产品利润乘以年销售量即可列出函数关系式；（3）利用导数求出函数的最值即可.(1)由题意可知，已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件即，解得，(2)(3)令，，令，∴在区间上为增函数，为减函数即时，∴当每年产品的售价为36元时，分公司一年的利润最大，最大值为33．（1）；（2）当为时，该别墅总造价最低．【解析】【分析】（1）先求得,进而求得屋顶面积关于的函数关系式.（2）首先求得别墅总造价，利用导数求得当时，总造价最低.【详解】（1）由题意，知平面，因为平面，所以．在中，，，所以．所以的面积为．所以屋顶面积．所以关于的函数关系式为．（2）在，，所以下部主体高度为．所以别墅总造价为．设，，则，令，得，又，所以．与随的变化情况如下表：0所以当时，在上有最小值．所以当为时，该别墅总造价最低．34．(1)(2)20万元，10万元【解析】【分析】（1）根据，由投入资金为10万元时，门票增收为万元；投入资金为30万元时，门票增收为37万元求解；（2）由（1）得，利用导数法求解.(1)解：因为，且当投入资金为10万元时，门票增收为万元；当投入资金为30万元时，门票增收为37万元，所以，解得，所以；(2)由（1）知：，则，令，得，当时，，当时，，所以当万元时，取得最大值10万元.35．（2）