新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 判断零点个数（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第第页参考答案1．C【解析】【分析】由题设及正弦函数的性质知，再判断一个周期内解的个数，由与周期的数量关系判断解的个数.【详解】由，则或且，而，所以，在上有2个解，上无解，所以在上有6个解，则有2个解，所以共有8个解.故选：C2．C【解析】【分析】当时，函数没有零点；当时，函数有两个零点，即得解.【详解】解：当时，，因为，所以舍去；当时，或，满足.所以或.函数的零点个数为2个.故选：C3．A【解析】【分析】设，所以，求出的值，得到或，解方程求解即可.【详解】令，即根的个数，设，所以，即或，解得或，即或，即或，解得；或或，无符合题意的解.综上所述：程的根个数为个.故选：A.4．B【解析】【分析】令，即可得到，则函数的零点个数转化为函数与的交点个数，画出函数图象，数形结合即可判断.【详解】解：由题意，令，即，则函数的零点个数，等价于两个函数与的交点个数，与两函数的图象如下图所示：由图知，两个函数有个交点，故函数的零点个数是.故选：B．5．D【解析】【分析】设，求导分析的最值与极值，画出图形，再分析与的根的范围与个数即可【详解】设，则由，得，即，又，由得或，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减，即函数在处取得极大值，函数在处取得极小值，又由，可得图象：若，，则方程有三个解，满足，，，则当时，方程，有3个根，当时，方程，有3个根，当时，方程，有3个根，此时共有9个根，若，，则方程有两个解，满足，，则当时，方程，有3个根，当，有2个根，此时共有5个根，同理，，也共有5个根故选：D．6．B【解析】【分析】令，，则，分别作出函数和直线的图象，得到，，再分别作出函数和直线的图象，得到方程和方程的根的个数，进而得到函数的零点个数.【详解】令，，则，即，分别作出函数和直线的图象，如图所示，由图象可得有两个交点，横坐标设为，，则，，对于，分别作出函数和直线的图象，如图所示，由图象可得，当时，即方程有两个不相等的根，当时，函数和直线有三个交点，即方程有三个不相等的根，综上可得的实根个数为，即函数的零点个数是5.故选：B.7．C【解析】【分析】先判断函数的定义域及奇偶性，利用导数求解函数的单调性，结合零点存在定理即可得出结论.【详解】解：由题可知，，且，故函数为定义域上的偶函数，且，当，且时，，当时，，函数单调递减，且，故函数在区间上无零点，当时，，函数单调递减，当时，，当时，，故函数在区间上必存在一点，使得，所以函数在区间上有1个零点，又函数为定义域上的偶函数，则函数在区间上有1个零点，又，所以函数共有3个零点.故选：C.8．B【解析】【分析】利用函数的单调性及零点存在性定理即得.【详解】由于函数在上是增函数，且，故函数在上有唯一零点，也即在上有唯一零点.故选：B.9．B【解析】【分析】应用导数研究的单调性、极值，再结合零点存在性定理判断区间零点个数，即可确定答案.【详解】由题设，且定义域为，所以在上，在上，即在上递减，在上递增，所以的极小值为，又，，则在、上各有一个零点，共有2个零点.故选：B10．A【解析】【分析】根据条件先得出函数的周期性和对称性，然后再利用函数与函数的图像交点研究问题即可.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，即当时，由已知，，，故是周期函数，且对称轴为，又，即，所以函数关于对称如图函数和函数在上的图像在区间上，包含了函数中的个周期再加上个周期，在区间上，包含了函数中的个周期再加上个周期，所以函数和函数在和上都有个交点，根据对称性可得所有交点的横坐标之和为.故选：A.11．C【解析】【分析】由题意可知零点个数转化为的交点个数，作出图象即可求解【详解】函数，由，可得，作出和的图象，由图象可得它们有2个交点，则的零点个数为2，故选：C.12．C【解析】【分析】根据幂函数的定义判断①，分与两种情况判断②，根据否命题的定义判断③，求出函数的导函数，即可得到在上恒成立，参变分离，再利用基本不等式计算可得，即可判断④；【详解】解：对于①，令，即，因为，所以方程有两个不相等实数根，所以存在实数满足题意，故①正确；对于②，若只有一个零点，当时只有一个零点满足题意，当，令，即，则，解得，综上可得或，故②错误；对于③，命题“若且，则”的否命题为“若或，则”，故③错误；对于④，因为，所以，因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，因为，当且仅当，即时取等号，所以，故④错误；故选：C13．C【解析】【分析】令，利用换元法可得，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根、，作出函数的图象，结合题意和图象可得、，进而得出结果.【详解】令，作出函数的图象如下图所示：由于方程至多两个实根，设为和，由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为0､2､3､4，由于关于x的方程有7个不同实数解，则关于u的二次方程的一根为，则，则方程的另一根为，直线与函数图象的交点个数必为4，则，解得.所以且.故选：C.14．C【解析】【分析】由奇偶性定义可判断出A正确；令可确定B正确；根据定义域为，，可知若最小值为，则是的一个极小值点，根据可知C错误；由时，取得最大值，取得最小值可确定D正确.【详解】对于A，定义域为，，为偶函数，A正确；对于B，令，即，，解得：，有无数个零点，B正确；对于C，，若的最小值为，则是的一个极小值点，则；，，不是的极小值点，C错误；对于D，，；则当，，即时，取得最大值，D正确.故选：C.15．C【解析】题目中条件：“函数的零点个数”转化为方程的根的个数问题及一次函数的根的个数问题，分别画出方程左右两式表示的函数图象即得．【详解】对于函数的零点个数转化为方程的根的个数问题，分别画出左右两式表示的函数：如图．由图象可得两个函数有两个交点．又一次函数的根的个数是：1．故函数的零点个数为3故选：．【点睛】函数的图象直观地显示了函数的性质，在判断方程是否有解、解的个数及一次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．16．B【解析】【分析】将问题转化为函数与函数的图像交点个数，画出图像即可观察出答案.【详解】由已知在区间上的零点的个数即为函数与函数的图像交点个数，两个函数在同一坐标系下的图像如下：明显函数与函数的图像在上有2个交点故选：B.17．A【解析】【分析】作出函数与的图象，观察两个函数图象的交点个数，即可得解.【详解】函数的零点个数，等于函数和函数的图象的交点个数，如下图所示：由图可知，当时，函数和函数的图象的交点个数为，故时，函数的零点个数为．故选：A．18．B【解析】【分析】由的性质求出对应区间的值域及单调性，令并将问题转化为与交点横坐标对应值的个数，结合数形结合法求零点个数即可.【详解】令，当时，且递增，此时，当时，且递减，此时，当时，且递增，此时，当时，且递增，此时，所以，的零点等价于与交点横坐标对应的值，如下图示：由图知：与有两个交点，横坐标、：当，即时，在、、上各有一个解；当，即时，在有一个解.综上，的零点共有4个.故选：B19．D【解析】【分析】利用知关于直线对称的性质验证A；求得可判断B；化简，令，得，进而判断C；利用导数研究函数的单调性可判断D.【详解】对于A，由已知得，即，故不关于对称，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，利用二倍角公式知，令得或，即，所以该函数在区间内有4个零点，故C错误；对于D，求导，令，由，知，即，利用二次函数性质知，即，可知在区间上单调递增，故D正确；故选：D.20．B【解析】【分析】令，判断的单调性并计算的极值，根据极值与0的大小关系判断的零点个数，得出答案.【详解】令，则，由，得，∴当时，，当时，.∴当时，取得最小值，∴只有一个零点，即与的图象只有1个交点.故选：B.21．D【解析】【分析】根据题意得函数的周期为，进而作出函数图像，数形结合求解即可.【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，即.又因为函数为偶函数，所以，即，所以函数的周期为.因为当时，，所以，，在上单调递增.作出函数与函数的图象如图所示.由图可得，交点共有个，故函数的零点个数为.故选:D.22．B【解析】【分析】根据题意，函数关于点对称，直线对称，进而作出函数图像，易得为周期函数，周期为，再结合指数函数图像与周期函数性质，数形结合求解即可.【详解】解：因为函数满足，所以函数关于点对称，因为，即，所以函数关于直线对称，因为当时，，所以，结合函数性质，作出函数图像，如图所示：

由图可知，函数为周期函数，周期为，由于函数一个周期内，与有2个交点，在上，与有1个交点，所以根据函数周期性可知，当时，与有个交点.所以关于x的方程在上的解的个数是个.故选：B23．B【解析】【分析】令可得，作出函数、的图象，观察两函数图象的交点个数，即可得解.【详解】令可得，则函数的零点个数即为函数、图象的交点个数，分别作函数、的图象，如图，由图可得交点个数为，因此，函数的零点的个数是，故选：B.24．B【解析】【分析】令，则，由函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，可求出判断③，再利用三角函数的性质可依次判断①②④.【详解】由函数，令，则函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，由，得，则，即，，故③正确；对于①，，，当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；故①错误；对于②，周期，由，则，，又，所以的最小正周期可能是，故②正确；对于④，，，又，又，所以在区间上不一定单调递增，故④错误．故正确结论的序号是：②③故选：B【点睛】方法点睛：函数的性质：(1).(2)周期(3)由求对称轴，由求对称中心.(4)由求增区间；由求减区间.25．C【解析】【分析】分析函数的性质，在同一坐标系内作出函数与的部分图象，再借助图象求解作答.【详解】依题意，，为R上的奇函数，即，则，因此，是周期为2的周期函数，当时，是递增的，令，有，即，在同一坐标系内作出函数与的部分图象，如图，观察图象得函数与的图象有4个公共点，所以的零点个数为4.故选：C26．B【解析】【分析】首先作出函数y＝f(x)图象，在同一坐标系中，再作出－y＝f(－x)，由数形结合即可求解.【详解】作出函数y＝f(x)图象如图所示：再作出－y＝f(－x)，即y＝x2－4x，恰好与函数图象位于y轴左侧部分(对数函数的图象)关于原点对称，记为曲线C，发现y＝与曲线C有且仅有一个交点，因此满足条件的对称点只有一对，图中的A、B就是符合题意的点．故选：B．27．A【解析】【分析】令，令，得出，求出关于的方程的根或，然后再考查直线或与函数的图象的交点个数，即可得出答案．【详解】令，令，则,当时，则，所以，，当时，，则，作出函数的图象如下图所示，直线与函数的图象只有1个交点，线，与函数的图象只有2个交点，因此，函数只有3个零点，故选：．28．D【解析】由已知条件可知的对称轴为，在上单调递减；在上单调递增，又及对称性知，结合区间单调性即可知(9,11)内零点个数.【详解】∵函数满足，∴函数图象的对称轴为直线．又∵，∴当时，；当时，，∴函数在上单调递减；在上单调递增．又，且由对称性得，，，则．又函数在区间上单调递增，∴函数在区间内有且仅有1个零点．故选：D．【点睛】结论点睛：函数对称性、单调性、零点个数判断.1、当时有对称轴为．2、当时函数在对应区间单调增，当时函数在对应区间单调减.3、当在一个区间内两端点值符号不同且单调时有且只有一个零点，若单调性不定必有零点但个数不定.29．C【解析】【分析】由题对取特殊值，利用数形结合，排除不合题意的选项即得.【详解】令，当时，方程为，即，作出函数及的图象，由图象可知方程的根为或，即或，作出函数的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD错误；当时，方程为，即，由图象可知方程的根，即，结合函数的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4，满足题意，故A错误.故选：C.30．B【解析】【分析】由已知，可令，要求，即为，原题转化为直线与的图象的交点情况，通过画出函数的图象，讨论的取值，即可直线与的图象的交点情况.【详解】令，则，①当时，，，，即，②当时，，，画出函数的图象，如图所示，若，即，无解；若，直线与的图象有3个交点，即有3个不同实根；若，直线与的图象有2个交点，即有2个不同实根；综上所述，方程的实数根的个数为5个，故选：．31．C【解析】【分析】根据题意可得的对称性，再画出的图象，再数形结合判断的图象交点个数即可【详解】的零点个数即的图象交点个数.因为为奇函数，故关于原点对称，故关于对称，又为偶函数，故关于对称，又当时，，画出图象，易得函数的图象有6个交点故选：C32．D【解析】【分析】转化为两个函数图象的交点个数，作图求解【详解】当时，，则；以此类推，当时，；…；在平面直角坐标系中作出函数与的部分图象如图所示.由图可知，与的图象有7个不同的交点故选：D33．C【解析】【分析】函数零点的个数即函数与函数的交点个数，结合图像分析．【详解】令，得，则函数零点的个数即函数与函数的交点个数．作出函数与函数的图像，可知两个函数图像的交点的个数为2，故方程的解的个数为2个．故选：C．34．C【解析】根据两函数之间关系，结合题中条件，可直接得出结果.【详解】因为可由向左平移一个单位后得到，又二次函数在上有两个零点，所以向左平移一个单位后，其零点位于区间内，即函数在上的零点的个数为个.故选：C.35．CD【解析】【分析】方程即，作出函数的简图，数形结合可得结果.【详解】方程即，作出函数的简图，由图可知：当时，函数的图象与直线有2个交点，即方程有2个实数解；当时，函数的图象与直线有3个交点，即方程有3个实数解，故A错误；当时，函数的图象与直线有1个交点，即方程有1个实数解，故B错误；当时，函数的图象与直线有3个交点，即方程有3个实数解，故C正确；当时，函数的图象与直线有2个交点，即方程有2个实数解，故D正确.故选：CD.36．AB【解析】【分析】写出的分段函数形式，A应用正余弦函数的性质判断的周期性，B由已知可得，则，（），即可判断正误；根据解析式，应用特殊值法判断C、D的正误.【详解】将函数化作分段函数，即，A，，是周期为的函数，对；B，由得，则，此时，（），可得，对；C，由解析式得，在上不单调，错；D，由解析式知，即在上至少有两个零点，错.故选：AB.37．ABD【解析】【分析】直接利用代入法可判断A选项的正误；推导出对任意的恒成立，结合该不等式可判断B选项的正误；取，结合方程思想可判断C选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，设有实根，则，A选项正确；对于B选项，因为，若方程无实根，则对任意的恒成立，故，从而方程无实根，B选项正确；对于C选项，取，则，函数有两个零点，则，可得或，即或.解方程可得或，解方程，解得.此时，函数有个零点，C选项错误；对于D选项，因为，设，则，因为且，所以，函数必有两个零点，设为、且，则，所以，方程无解，方程有两解，因此，若，则函数与都恰有零点，D选项正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数和外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.38．CD【解析】【分析】利用熟知函数的图象与性质逐一判断即可.【详解】对于A，在定义域上不具有单调性，故命题错误；对于B，函数有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；对于C，∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴函数y＝2|x|的最小值是1，故命题正确；对于D，在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2﹣x的图象关于y轴对称，命题正确.故选CD【点睛】本题考查函数的性质，涉及到单调性、最值、对称性、零点等知识点，考查数形结合能力，属于中档题.39．【解析】【分析】函数零点的个数可转化为函数与函数的图像交点个数，画出两个函数图像观察交点个数即可.【详解】解：对于函数，当时，，当时，当时，，当时，，当时，，，函数零点的个数可转化为函数与函数的图像交点个数，在同一个直角坐标系中画出两个函数图像如图：观察图像可得：两个函数有4个交点，即函数零点的个数为4.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题主要考察零点个数问题，我们可以把零点个数问题转化为函数图像的交点个数，这里准确的画出函数图像是关键。另外本题函数中带有结构，这里需要分类讨论求函数在不同区间上的解析式，并及时发现规律，可使问题变简单.40．【解析】【分析】设，由得，利用数形结合可得，当时，与有4个交点，再结合，即得.【详解】设，，则时，，设，则，函数图象如图所示，，当时，与有4个交点，此时两者的交点最多，设交点横坐标为，由图可知，又，若，有一个解，，有两个解，∴当与有4个交点，且交点横坐标均大于时，函数的零点最多，∴即.故答案为：.41．①④【解析】【分析】作出函数的图像，利用数形结合思想依次判断选项①②③，利用等比数列求和判断选项④；【详解】当时，，此时不满足方程；若，则，即若，则，即作出函数在时的图像，如图所示，对于①，由图可知，函数在上单调递增，由奇函数性质知，函数在上单调递增，故①正确；对于②，可知函数在时的图像与与直线有1个交点，结合函数的奇偶性知，的图象与直线有3个不同的交点，故②错误；对于③，设，则关于的方程等价于，解得：或当时，即对应一个交点为；方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：（1），即对应3个交点，且，，此时4个实数根的和为8；（2），即对应3个交点，且，，此时4个实数根的和为4，故③错误；对于④，函数在上的最大值为，即，由函数的解析式及性质可知，数列是首项为1，公比为的等比数列，则数列的前项和为，故④正确.故答案为：①④【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解42．8【解析】【分析】由于函数与都关于点成中心对称，结合图像以为中心的两个函数有8个交点，利用对称性得解.【详解】设，，等价于求两个函数的交点的横坐标的和的问题．显然，以上两个函数都关于点成中心对称，作出两个函数的图象，如图所示，函数在上出现1.5个周期的图象，在和上是减函数；在和上是增函数．函数在上函数值为负数，且与的图象有四个交点、、、，相应地，在上函数值为正数，且与的图象有四个交点、、、，且：，故所求的横坐标之和为8，故答案为：8．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解43．①③④【解析】【分析】①化简解析式，求出范围，根据正弦函数的单调性即可判断；②根据奇偶性举特例验证f(x＋2π)与f(x)关系即可；③分类讨论求出f(x)解析式，研究在x≥0时的周期性，再求出值域即可；④根据值域和单调性讨论即可.【详解】∵函数，定义域为R，，∴为偶函数.当时，，，，此时正弦函数为增函数，故①正确；∵，∴，而，∴不是函数的周期，故②错误；当或，k∈Z时，，此时，当，k∈Z时，，此时，故时，是函数的一个周期，故考虑时，函数的值域，当时，，，此时单调递增，当时，，，此时单调递减，；当时，，，此时，综上可知，，故③正确；由③知，时，，且函数单调递增，故存在一个零点，当时，，且函数单调递减，故存在一个零点，其他区域无零点，故当时，函数有2个零点，∵函数为偶函数，∴函数在内有4个零点.故④正确；故答案为：①③④.44．1【解析】【分析】的零点的个数即即且，从而得出答案.【详解】的零点的个数即方程的解的个数，即且；解得，；故的零点的个数为1；故答案为：1．【点睛】本题考查函数的零点个数的求法，属于基础题.45．(1)1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把代入，求导得函数的单调性，再由作答.（2）构造函数，利用导数借助单调性证明作答.(1)当时，，，当且仅当时取“=”，所以在R上单调递增，而，即0是的唯一零点，所以函数零点的个数是1.(2)，令，则，因，则，因此，函数在上单调递增，，，所以当时，成立.46．（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）分离参数，将问题转化为求函数最值问题，进而得到答案；（2）分离参数，作出函数的图象，通过数形结合求得答案.【详解】（1）当x>0时，，不等式f(x)>0恒成立等价于恒成立，则恒成立，而，当时，有最大值，所以.（2）令，得，在同一坐标系中作出函数与函数的图象(如图，仅作出时的情况)．结合图象