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3.2

函数的增减性

曲线的凹凸性与拐点第三章三、小结与思考练习二、函数的凹凸性与拐点一、函数增减性（MonotonicityofFunction&ConcavityandConvexityofCurve）12/24/20231一、函数增减性图1图212/24/202321.利用导数来判定函数的单调性解

12/24/20233

解

经验12/24/20234解：经验:从例2、例3可以看到在讨论函数的单调性或单调区间时，函数的驻点或函数有定义、但一阶导数不存在的点都可能成为单调区间的分界点.12/24/2023512/24/20236求单调区间的基本步骤：（1）确定定义区间；（2）求函数f(x)的导数；（3）找出驻点（导数为零的点）和导数不存在点；（4）以驻点和导数不存在点为分界点，把定义区间分成若干个小区间，并讨论在这些小区间上，导数的符号，进而确定单调区间。12/24/202372.利用导数来证明不等式所以12/24/20238证明：令则12/24/20239二、曲线的凹凸性及拐点（InflectionPoint）1、曲线凹凸的定义显然，曲线AB与BC都是单调增加的，但它们单调增加的变化方式却有所不同。这说明：仅靠单调性来描述曲线的性态是不够的。为此，我们有必要研究一下曲线的弯曲方向问题。12/24/202310o12/24/202311直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的，下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性．12/24/2023122、曲线凹凸性的判定（证明略）12/24/202313解

12/24/202314解

12/24/202315解：凹的凸的凹的拐点拐点12/24/2023161.函数单调性的判别法（定理1）内容小结（1）会利用导数来判定函数的单调性（2）会利用导数来证明一些不等式（3）利用导数来证明方程根的唯一性2.函数凹凸性的定义3.函数凹凸性的判别定理（定理2）（1）拐点的定义（会求拐点和凹凸区间）（2）会利用凹凸性来证明一些不等式12/24/202317习题3-41；3（2）（4）；5（奇数题）；6；8课后练习思考练习答案：不能断定.例如，12/24/202318但当时，当时，注意可以任意大，故在点的任何邻域内，都不单调递增．1

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