乘法公式与事件的独立性 高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.2乘法公式知识回顾1、条件概率的概念一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称

1.了解事件的相互独立性以及乘法公式的推导过程，达到数学抽象核心素养的要求；2.掌握求乘法公式，达到数学运算核心素养的要求；3.能利用乘法公式解决一些简单的实际问题，达到数学建模核心素养的要求。环节一条件概率与事件相互独立性的关系问题3：在问题1和问题2中，都有P(B|A)≠P(B).一般地，P(B|A)与P(B)不一定相等.如果P(B|A)与P(B)相等，那么事件A与B应满足什么条件?直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，这等价于P(B|A)＝P(B)成立.事实上，若事件A与B相互独立，即P(AB)＝P(A)P(B)，且P(A)>0，则反之，若P(B|A)＝P(B)，且P(A)>0，则即事件A与B相互独立.2、条件概率与事件相互独立性的关系2、条件概率与事件相互独立性的关系条件概率与事件独立性的关系：当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)=P(B).利用相互独立事件的定义（P（AB）＝P（A）P（B））可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法判断，因此我们必须熟练掌握.判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件.一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}.对下述两种情形，讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩；

一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}.对下述两种情形，讨论A与B的独立性：（2）家庭中有三个小孩.

2.投掷一枚均匀的骰子一次，设A＝“出现偶数”，B＝“出现3点或6点”，判断事件A与B是否相互独立.

根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲种保险与购买乙种保险相互独立.（1）求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；（1）记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB，所以P（C）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝0.5×0.6＝0.3.（2）求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.

3.小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；

（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率.

环节二

乘法公式乘法公式思考1：在P(B|A)，P(AB)，P(A)这三者中，如果已知P(A)与P(B|A)，能不能求出P(AB)?

1、乘法公式归纳总结：对于两个事件A与B：若P（A）＞0，则有P（AB）＝P（A）P（B｜A）；若P（B）＞0，则有P（AB）＝P（B）P（A｜B）；若P（AB）＞0，则有P（ABC）＝P（C｜AB）P（AB）＝P（C｜AB）P（B｜A）P（A）＝P（A）P（B｜A）P（C｜AB），P（ABCD）＝P（D｜ABC）P（ABC）＝P（A）P（B｜A）P（C｜AB）·P（D｜ABC）.思考2：某人翻开电话本给自己的一位朋友打电话时，发现电话号码的最后一位数字变得模糊不清了，因此决定随机拨号进行尝试.你能用乘法公式，得出该人尝试两次但都拨不对电话号码的概率吗？解答：如果设A表示第一次没有拨对，B表示第二次没有拨对.总共有10种可能，拨不对号码的情况有9种，因此1、乘法公式如果第一次拨不对，那么第二次会从第一次尝试的数以外的数中随机选取一个进行尝试，总共有9种可能，拨不对电话号码的情况有8种，因此从而根据乘法公式可知，两次都拨不对电话号码的概率为例1：已知某品牌的手机从1m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3.试求这样的手机从1m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率.1、乘法公式即这样的手机从1m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15.解答：设Ai表示第i次掉落手机屏幕没有碎掉，i=1，2则由已知可得P（A1）=0.5，P（A2|A1）=0.3

因此由乘法公式可得P（A2A1）=P（A1）P（A2|A1）=0.5*0.3=0.15例2：一批灯泡共100只，其中有10只是次品，其余为正品.若不放回抽取，每次取1只，求第三次才取到正品的概率.1、乘法公式

所以，第三次才取到正品的概率为0.0083.例3：在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样.假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求：（1）甲中奖而且乙也中奖的概率；1、乘法公式根据乘法公式可知，甲中奖且乙也中奖的概率为解答：设A表示甲中奖，B表示乙中奖，则（1）因为抽完的奖券不放回，所以甲中奖后乙中奖时，有49张奖券且只有4张写有“中奖“字样，此时乙中奖的概率为例3：在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样.假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求：（2）甲没中奖而且乙中奖的概率.1、乘法公式因为抽完的奖券不放回，所以甲没中奖后乙抽奖时，还有49张奖券且其中还有5张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为根据乘法公式可知，甲没中奖而且乙中奖的概率为（2）因为

所以乘法公式对于两个事件A与B：若P（A）＞0，则有P（AB）＝P（A）P（B｜A）；若P（B）＞0，则有P（AB）＝P（B）P（A｜B）；若P（AB）＞0，则有P（ABC）＝P（A）P（B｜A）P（C｜AB），P（ABCD）＝P（A）P（B｜A）P（C｜AB）·P（D｜ABC）.条件概率与事件相互独立性的关系条件概率与事件独立性的关系：当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)=P(B