专题14 与切线相关的证明与计算（解析版）

九年级数学下册解法技巧思维培优专题14与切线相关的证明与计算题型一利用“有切点、连半径、证垂直”来证切线【典例1】（2019•张家港市模拟）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、C两点，与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F．AB＝BF，CF＝4，DF=10（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径r；（3）设点P是BA延长线上的一个动点，连接DP交CF于点M，交弧AC于点N（N与A、C不重合）．试问DM•DN是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是．请说明理由．【点拨】（1）连接OA，OD，由点D为CE的下半圆弧的中点，证得∠EOD＝90°，再证∠BAF＝∠BFA＝∠DFO，由∠OAD＝∠ODA可证得∠BAO＝90°，可推出结论；（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OFD中，利用勾股定理可求出半径r；（3）连接CN，CD，求出DC的长度，证△DCM∽△DNC，利用相似三角形对应边的比相等，可证得DM•DN＝DC2，因为DC的长度已知，所以可知DM•DN为定值，并可求出其值．【解析】（1）证明：如图1，连接OA，OD，∵D为为CE的下半圆弧的中点，EC为⊙O直径，∴ED=∴∠EOD＝∠COD=12×180∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵BA＝BF，∴∠BAF＝∠BFA＝∠DFO，∴∠BAF+∠OAD＝∠DFO+∠ODA＝90°，∴OA⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，由（1）知，∠EOD＝90°，在Rt△OFD中，OD＝r，OF＝4﹣r，DF=10∴r2+（4﹣r）2＝（10）2，解得，r1＝1（舍去），r2＝3，∴⊙O半径为3；（3）如图2，连接CN，CD，在Rt△OCD中，OC＝OD＝r＝3，DC=OC2∵ED=∴∠ECD＝∠DNC，又∵∠CDN＝∠CDN，∴△DCM∽△DNC，∴DCDN∴DM•DN＝DC2，∵DC＝（32）2＝18，∴DM•DN为定值，该定值为18．【典例2】（2019•朝阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．（1）求证：NE与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为52，AC＝6，则BN的长为4【点拨】（1）连接ON，证出ON∥AB，证明ON⊥NE即可；（2）由直角三角形的性质可求AB＝10，由勾股定理可求BC＝8，由等腰三角形的性质可得BN＝4．【解析】（1）证明：如图1，连接ON，∵∠ACB＝90°，D为斜边的中点，∴CD＝DA＝DB=12∴∠BCD＝∠B，∵OC＝ON，∴∠BCD＝∠ONC，∴∠ONC＝∠B，∴ON∥AB，∵NE⊥AB，∴ON⊥NE，∴NE为⊙O的切线；（2）解：如图2，连接DN，ON∵⊙O的半径为52∴CD＝5∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD＝AD＝5，∴AB＝10，∴BC=AB∵CD为直径，∴∠CND＝90°，且BD＝CD，∴BN＝NC＝4，故答案为：4．【典例3】（2019•湛江校级月考）如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF，DE．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）若点F是AE的中点，求证：DE＝BC；（3）判断直线CF与⊙O的位置关系，并说明理由．【点拨】（1）由矩形的性质和全等三角形的判断方法即可证明△ABE≌△DCE；（2）连接DE，易证AE＝DE＝AB，由矩形性质可得AB＝BC，进而可证明DE＝BC；（3）连接OF、OC，利用平行四边形的判定方法得出四边形OAEC是平行四边形，进而得出△ODC≌△OFC（SAS），求出OF⊥CF，进而得出答案；【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠DCE＝90°，∵E为BC边中点，∴AB＝CE，在△ABE与△DCE中，AB=DC∠B=∠DCE=90°∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）连接DE，∵AD是直径，∴∠AFD＝90°，∵点F为AE的中点，∴DF为AE的垂直平分线，∴DE＝AD，∵△ABE≌△DCE∴AE＝DE，∴AE＝DE＝AD，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∴DE＝BC；（3）CF与⊙O相切，理由如下：连接OF、OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝90°，∵E为BC边中点，AO＝DO，∴AO=12AD，EC=∴AO＝EC，AO∥EC，∴四边形OAEC是平行四边形，∴AE∥OC，∴∠DOC＝∠OAF，∠FOC＝∠OFA，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA，∴∠DOC＝∠FOC，∵在△ODC和△OFC中OD=OF∠DOC=∠FOC∴△ODC≌△OFC（SAS），∴∠OFC＝∠ODC＝90°，∴OF⊥CF，∴CF与⊙O相切．题型二利用“无切点、作垂直、证半径”来证切线【典例4】（2019•临沂）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=3，BE＝1【点拨】（1）连接OD，作OF⊥AC于F，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根据切线的性质得OD⊥AB，然后利用角平分线的性质得到OF＝OD，从而根据切线的判定定理得到结论；（2）设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，利用勾股定理得到r2+（3）2＝（r+1）2，解得r＝1，则OD＝1，OB＝2，利用含30度的直角三角三边的关系得到∠B＝30°，∠BOD＝60°，则∠AOD＝30°，于是可计算出AD=33OD=33，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝2S△AOD﹣【解析】（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，而OF⊥AC，∴OF＝OD，∴AC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，∴r2+（3）2＝（r+1）2，解得r＝1，∴OD＝1，OB＝2，∴∠B＝30°，∠BOD＝60°，∴∠AOD＝30°，在Rt△AOD中，AD=33OD∴阴影部分的面积＝2S△AOD﹣S扇形DOF＝2×12=3【典例5】（2019•黄州区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝9，求OD的长．【点拨】（1）过O点作OE⊥CD于点E，根据切线的性质由AM切⊙O于点A得OA⊥AD，再根据角平分线定理得到OE＝OA，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）过D作DF⊥BC于F，根据切线的性质得到AB⊥AD，AB⊥BC，则得到四边形ABFD为矩形，得到BF＝AD＝4，所以CF＝BC﹣BF＝5，再利用切线长定理得DA＝DE＝4，CE＝CB＝9，所以DC＝AD+BC＝13，在Rt△DCF中，利用勾股定理计算出DF＝12，则AB＝12，所以OA＝6，然后在Rt△OAD中，利用勾股定理可计算出OD．【解析】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，如图，∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∵OA为⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过D作DF⊥BC于F，如图，∵AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD为矩形，∴BF＝AD＝4，∴CF＝BC﹣BF＝5，∵DC、AM、BC为圆的切线，∴DA＝DE＝4，CE＝CB＝9，∴DC＝AD+BC＝13，在Rt△DCF中，DF=DC∴AB＝12，∴OA＝6，在Rt△OAD中，OD=OA2题型三与切线有关的计算【典例6】（2019•贺州）如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．（1）求∠ADB的度数；（2）求AC的长度．【点拨】（1）由切线的性质得出AF⊥OA，求出∠F＝30°，得出∠AOF＝60°，由等腰三角形的性质得出∠ADB＝∠OAF＝30°．（2）由垂径定理得出BE＝CE=12BC＝4，得出AB＝AC，证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB，由直角三角形的性质得出OE=12OB，BE=3OE＝4，求出OE=433，即可得出AC＝【解析】解：（1）∵AF与⊙O相切于点A，∴AF⊥OA，∵∠F＝30°，∴∠AOF＝60°，∵OA＝OD，∠AOF＝∠ADB+∠OAF，∴∠ADB＝∠OAF＝30°．（2）∵OA⊥BC，∴BE＝CE=12BC＝∴AB＝AC，∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB，∵∠OBE＝30°，∴OE=12OB，BE=3OE∴OE=4∴AC＝AB＝OB＝2OE=8【典例7】（2019•枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝2，DE＝4，求圆的半径及AC的长．【点拨】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2＝EB2+OB2，可得（4﹣r）2＝r2+22，推出r＝1.5，由tan∠E=OBEB=CDDE，推出1.52=【解析】（1）证明：连接OC．∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，∴△OCB≌△OCD（SSS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，∴（4﹣r）2＝r2+22，∴r＝1.5，∵tan∠E=OB∴1.52∴CD＝BC＝3，在Rt△ABC中，AC=AB2∴圆的半径为1.5，AC的长为32．【典例8】（2020•封开县一模）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．（1）求证：△DAF≌△DCE．（2）求证：DE是⊙O的切线．（3）若BF＝2，DH=5，求四边形ABCD【点拨】（1）利用SAS证明△DAF≌△DCE；（2）利用（1）中全等三角形的性质可得：∠DFA＝∠DEC，证出∠ADE＝∠DEC＝90°，即OD⊥DE，DE是⊙O的切线．（2）连接AH，求出DB＝2DH＝25，则四边形ABCD的面积＝2△ABD的面积．【解析】（1）证明：如图，连接DF，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，∵BF＝BE，∴AB﹣BF＝BC﹣BE，即AF＝CE，∴△DAF≌△DCE（SAS）；（2）由（1）知，△DAF≌△DCE，则∠DFA＝∠DEC．∵AD是⊙O的直径，∴∠DFA＝90°，∴∠DEC＝90°∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图，连接AH，∵AD是⊙O的直径，∴∠AHD＝∠DFA＝90°，∴∠DFB＝90°，∵AD＝AB，DH=5∴DB＝2DH＝25，在Rt△ADF和Rt△BDF中，∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，∴AD2﹣（AD﹣2）2＝（25）2﹣22，∴AD＝5．∴AH=AD∴S四边形ABCD＝2S△ABD＝2×12BD•AH＝BD•AH＝25×25=20巩固练习1．（2019•玄武区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与AC、BC分别交于点M、N，与AB的另一个交点为E．过点N作NF⊥AB，垂足为F．（1）求证：NF是⊙O的切线；（2）若NF＝2，DF＝1，求弦ED的长．【点拨】（1）欲证明NF为⊙O的切线，只要证明ON⊥NF．（2）证明四边形ONFH是矩形，由勾股定理即可解决问题．【解析】（1）证明：连接ON．如图所示：∵在Rt△ACB中，CD是边AB的中线，∴CD＝BD，∴∠DCB＝∠B，∵OC＝ON，∴∠ONC＝∠DCB，∴∠ONC＝∠B，∴ON∥AB∵NF⊥AB∴∠NFB＝90°∴∠ONF＝∠NFB＝90°，∴ON⊥NF又∵NF过半径ON的外端∴NF是⊙O的切线；（2）解：过点O作OH⊥ED，垂足为H，如图2所示：设⊙O的半径为r∵OH⊥ED，NF⊥AB，ON⊥NF，∴∠OHD＝∠NFH＝∠ONF＝90°．∴四边形ONFH为矩形．∴HF＝ON＝r，OH＝NF＝2，∴HD＝HF﹣DF＝r﹣1，在Rt△OHD中，∠OHD＝90°∴OH2+HD2＝OD2，即22+（r﹣1）2＝r2，∴r=5∴HD=3∵OH⊥ED，且OH过圆心O，∴HE＝HD，∴ED＝2HD＝3．2．（2019•扬州一模）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，且AD＝DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinC=45，AC＝6，求⊙【点拨】（1）根据等腰三角形的性质，由AB＝AC，AD＝DC得∠C＝∠B，∠1＝∠C，则∠1＝∠B，根据圆周角定理得∠E＝∠B，∠ADE＝90°，所以∠1+∠EAD＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，根据等腰三角形的性质得CF=12AC＝3，在Rt△CDF中，利用正弦定义得sinC=DFDC=45，则设DF＝4x，DC＝5x，利用勾股定理得CF＝3x，所以3x＝3，解得x＝1，于是得到DC＝AD＝5【解析】（1）证明：∵AB＝AC，AD＝DC，∴∠C＝∠B，∠1＝∠C，∴∠1＝∠B，又∵∠E＝∠B，∴∠1＝∠E，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∴∠E+∠EAD＝90°，∴∠1+∠EAD＝90°，即∠EAC＝90°，∴AE⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，∵DA＝DC，∴CF=12AC＝在Rt△CDF中，∵sinC=DF设DF＝4x，DC＝5x，∴CF=CD2∴3x＝3，解得x＝1，∴DC＝5，∴AD＝5，∵∠ADE＝∠DFC＝90°，∠E＝∠C，∴△ADE∽△DFC，∴AEDC=ADDF，即AE即⊙O的直径为2543．（2019•河池）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，CF与⊙O相切于点C，交AB延长线于点F．（1）若AE＝DC，∠E＝∠BCD，求证：DE＝BC；（2）若OB＝2，AB＝BD＝DA，∠F＝45°，求CF的长．【点拨】（1）由圆心角、弧、弦之间的关系得出AE=DC，由圆周角定理得出∠ADE＝∠DBC，证明△ADE≌△（2）连接CO并延长交AB于G，作OH⊥AB于H，则∠OHG＝∠OHB＝90°，由切线的性质得出∠FCG＝90°，得出△CFG、△OGH是等腰直角三角形，得出CF＝CG，OG=2OH，由等边三角形的性质得出∠OBH＝30°，由直角三角形的性质得出OH=12OB＝1，【解析】（1）证明：∵AE＝DC，∴AE=∴∠ADE＝∠DBC，在△ADE和△DBC中，∠ADE=∠DBC∠E=∠BCD∴△ADE≌△DBC（AAS），∴DE＝BC；（2）解：连接CO并延长交AB于G，作OH⊥AB于H，如图所示：则∠OHG＝∠OHB＝90°，∵CF与⊙O相切于点C，∴∠FCG＝90°，∵∠F＝45°，∴△CFG、△OGH是等腰直角三角形，∴CF＝CG，OG=2OH∵AB＝BD＝DA，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠OBH＝30°，∴OH=12OB＝∴OG=2∴CF＝CG＝OC+OG＝2+24．（2019•海淀区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，半径OD⊥弦AC于点E，F是BA延长线上一点，∠CDB＝∠BFD．（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明；（2）若CD∥AB，AB＝4，求DF的长．【点拨】（1）利用圆周角定理以及平行线的判定得出∠FDO＝90°，进而得出答案；（2）根据已知条件得到四边形ACDF是平行四边形，求得DF＝AC，根据垂径定理得到AE=12AC，求得AE=【解析】解：（1）DF与⊙O相切．理由：∵∠CDB＝∠CAB，又∵∠CDB＝∠BFD，∴∠CAB＝∠BFD．∴AC∥DF．∵半径OD垂直于弦AC于点E，∴OD⊥DF．∴DF与⊙O相切．（2）∵AC∥DF，CD∥AB，∴四边形ACDF是平行四边形，∴DF＝AC，∵OD⊥弦AC，∴AE=12∴AE=12∴OA=12∴OF＝4，∵OD＝2，∴DF=42-5．（2019•东莞市期末）如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，点E是AB的中点，连接CE交⊙O于点F，连接AF并延长交BC于点H．（1）若连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由；（2）求证：AH是⊙O的切线；（3）若AB＝6，CH＝2，则AH的长为132【点拨】（1）证明AE∥OC，AE＝OC，可得四边形AECO为平行四边形；（2）根据SAS证明△AOD≌△AOF，可得∠ADO＝∠AFO，证得∠AFO＝90°，则结论得证；（3）由切线长定理可得CH＝FH，AD＝AF，设BH＝x，则BC＝2+x，AD＝AF＝2+x，可得AH＝4+x，在Rt△ABH中，可得AB2+BH2＝AH2，得出关于x的方程62+x2＝（4+x）2，解出x即可．【解析】（1）解：连接AO，四边形AECO是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD．∵E是AB的中点，∴AE=12∵CD是⊙O的直径，∴OC=12∴AE∥OC，AE＝OC．∴四边形AECO为平行四边形．（2）证明：由（1）得，四边形AECO为平行四边形，∴AO∥EC∴∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC．∵OF＝OC∴∠OCF＝∠OFC．∴∠AOD＝∠AOF．∵在△AOD和△AOF中，AO＝AO，∠AOD＝∠AOF，OD＝OF∴△AOD≌△AOF（SAS）．∴∠ADO＝∠AFO．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADO＝90°．∴∠AFO＝90°，即AH⊥OF．∵点F在⊙O上，∴AH是⊙O的切线．（3）∵CD为⊙O的直径，∠ADC＝∠BCD＝90°，∴AD，BC为⊙O的切线，又∵AH是⊙O的切线，∴CH＝FH，AD＝AF，设BH＝x，∵CH＝2，∴BC＝2+x，∴BC＝AD＝AF＝2+x，∴AH＝AF+FH＝4+x，在Rt△ABH中，∵AB2+BH2＝AH2，∴62+x2＝（4+x）2，解得x=5∴AH=4+5故答案为：1326．（2019•海港区期末）如图，已知AB＝10，以AB为直径作半圆O，半径OA绕点O顺时针旋转得到OC，点A的对应点为C，当点C与点B重合时停止．连接BC并延长到点D，使得CD＝BC，过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，AC．（1）AD＝10；（2）如图1，当点E与点O重合时，判断△ABD的形状，并说明理由；（3）如图2，当OE＝1时，求BC的长；（4）如图3，若点P是线段AD上一点，连接PC，当PC与半圆O相切时，直接写出直线PC与AD的位置关系．【点拨】（1）由圆周角定理得到AC⊥BD，结合已知条件CD＝BC和等腰三角形“三线合一”性质推知AD＝AB＝10；（2）△ABD是等边三角形．理由：由等腰△ABD“三线合一”性质得到AD＝BD；又由（1）的结论可以推知AD＝AB＝DB，即△ABD是等边三角形；（3）分类讨论：点E在线段AO和线段OB上，借助于勾股定理求得BC的长度；（4）由三角形中位线定理知OC∥AD，又由切线的性质知PC⊥OC，所以根据平行线的性质推知PC⊥AD．【解析】解：（1）∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC．又∵BC＝CD，∴AD＝AB＝10．故答案是：10；（2）△ABD是等边三角形，理由如下：如图1，∵点E与点O重合，∴AE＝BE，∵DE⊥AB，∴AD＝BD，∵AD＝AB，∴AD＝AB＝DB，∴△ABD是等边三角形；（3）如图2，∵AB＝10，∴AO＝BO＝5，当点E在AO上时，则AE＝AO﹣OE＝4，BE＝BO+OE＝6，∵AD＝10，DE⊥AO，∴在Rt△ADE和Rt△BDE中，由勾股定理得AD2﹣AE2＝BD2﹣BE2，即102﹣42＝BD2﹣62，解得BD＝230，∴BC=12BD当点E在OB上时，同理可得102﹣62＝BD2﹣42，解得BD＝45，∴BC＝25，综上所述，BC的长为30或25；（4）PC⊥AD．理由如下：如图3，连接OC．∵点C是BD的中点，点O是AB的中点，∴OC是△ABD的中位线，∴OC∥AD．又∵PC与半圆O相切，∴PC⊥OC，∴PC⊥AD．7．（2019•香坊区期末）已知：△ABC内接于⊙O，连接CO并延长交AB于点E，交⊙O于点D，满足∠BEC＝3∠ACD．（1）如图1，求证：AB＝AC；（2）如图2，连接BD，点F为弧BD上一点，连接CF，弧CF＝弧BD，过点A作AG⊥CD，垂足为点G，求证：CF+DG＝CG；（3）如图3，在（2）的条件下，点H为AC上一点，分别连接DH，OH，OH⊥DH，过点C作CP⊥AC，交⊙O于点P，OH：CP＝1：2，CF＝12，连接PF，求PF的长．【点拨】（1）如图1中，连接AD．设∠BEC＝3α，∠ACD＝α．想办法证明∠ACB＝∠ACB即可解决问题．（2）如图2中，连接AD，在CD上取一点Z，使得CZ＝BD．证明△ADB≌△AZC（SAS），推出AD＝AZ即可解决问题．（3）连接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延长