专题10 等腰三角形专题复习 （原卷版）

专题10等腰三角形专题复习考点一等腰三角形的边与角【知识点睛】定义：有两条边长相等的三角形是等腰三角形等腰三角形的定义方面，常和△的三边关系、△的周长、边的奇偶性等考点一起出题，做题时注意考虑全面边与角：等边对等角等腰三角形的两底角相等，常和△内角和、△外角定理、平行线等考点一起出题，做题时谨遵一条——题目中出现什么概念，就立刻想其对应的性质。知二得一模型①角平分线、②平行线、③等腰三角形以上三个条件，已知任意两个，就可以推出剩余一个。等边三角形等边三角形的三条边相等，三个角都等于60°【类题训练】1．若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm2．等腰三角形的周长是10，其中一边长为2，则这个等腰三角形底边的长度为（）A．2 B．6 C．2或8 D．2或63．如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（）A．28° B．36° C．45° D．72°4．如果等腰三角形的周长是35cm，一腰上中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是4cm，则这个等腰三角形的底边长是．5．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．6．等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°7．如果等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角度数为（）A．30° B．75° C．30°或75° D．60°8．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线DE，FG分别经过点B，C，DE∥FG．若∠DBC＝45°，∠ACG＝10°，则∠ABE的度数为（）A．100° B．105° C．110° D．115°9．如图，BE∥AD，AC＝BC，若∠CBE＝108°，则∠A的大小是（）A．36° B．38° C．46° D．72°10．已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．50° B．65° C．50°或65° D．50°或80°或65°11．如图，∠CAD＝20°，AD＝BD＝AC，则∠B的度数为°．12．已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是．13．在等腰三角形中，已知顶角与底角的度数比为1：2，则顶角的度数是．14．等腰三角形中有一个内角是70°，则另外两个内角的度数分别为．15．如图，BE是△ABC的角平分线，点D在AB上，且DB＝DE．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠A＝60°，∠AED＝50°，求∠CBE的大小．16．已知一个等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长为11．（1）写出y与x的关系式为；（2）若y≤3，请求出符合条件的整数x的值．17．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．考点二等腰三角形的“三线合一”【知识点睛】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，简称等腰“三线合一”三线合一相关结论：①等腰三角形的轴对称性：对称轴为底边上的中线（顶角平分线、底边上的高线）所在的直线；②等腰三角形的三线合一在用于求角度时，多注意角平分线与垂直所得90°的关系，同步应用三角形内角和与外角定理特别注意：①等边三角形三边均存在“三线合一”，对称轴有3条，分别是“三线”所在的直线②等腰三角形的对称轴有1条或3条【类题训练】1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝．2．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（）A．10° B．15° C．20° D．25°3．如图，在△ABC中，AB＝AC．AD是BC边上的中线，点E在边AB上，且BD＝BE．若∠BAC＝100°，则∠ADE的大小为度．4．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，下列结论不成立的是（）A．∠1＝∠2 B．∠EBC＝∠2 C．∠BAC＝∠AFE D．∠AFE＝∠C5．如图：△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，DE⊥AB．（1）求证：∠BAC＝2∠EDB；（2）若AC＝6，DE＝2，求△ABC的面积．6．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠CHD的度数是（）A．25° B．35° C．45° D．55°7．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝3，点E为中线AD上一点，已知△ABE和△CDE的面积分别为1.5和2，则AD的长度为．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，AB＝AC＝16，D为BC中点，点N在线段AD上，NM∥AC交AB于点M，BN＝6．（1）求∠CAD度数；（2）求△BMN的周长．9．如图，在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝；（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝；（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示；（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．考点三等腰三角形的判定【知识点睛】等腰三角形的判定定义法：如果一个三角形的两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形等角对等边等边三角形的判定：三条边（或三个角）都相等的三角形是等边三角形有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形有两个角是60°的三角形是等边三角形【类题训练】1．如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB≠AC，若用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点D，使△ACD是等腰三角形，则下列作法中，正确的有（）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③3．在△ABC中，∠A＝40°，当∠B＝时，△ABC是等腰三角形．4．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC．求证AB＝AC．以下是排乱的证明过程：①又∠1＝∠2，②∴∠B＝∠C，③∵AD∥BC，④∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，⑤∴AB＝AC．证明步骤正确的顺序是（）③→②→①→④→⑤B．③→④→①→②→⑤ C．①→②→④→③→⑤ D．①→④→③→②→⑤5．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限（∠1不等于60°），点P在x轴上．若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．如图，下列3个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（填序号）．7．下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（）A．∠A＝∠B＝60° B．∠B+∠C＝120° C．∠B＝60°，AB＝AC D．∠A＝60°，AB＝AC8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）在点D的运动过程中，当∠BDA的度数是时，△ADE是等腰三角形．9．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，∠BAC的角平分线AD⊥BD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（）A．1.5 B．3 C．4.5 D．910．如图，等边△ABC的边长为12cm，M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边顺时针运动，点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N两点同时停止运动，则当M，N运动时间t＝s时，△AMN为等腰三角形．11．如图，已知∠MON，在边ON上顺次取点P1，P3，P5…，在边OM上顺次取点P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是；（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON的度数α的取值范围是．12．在△ABC中，∠A＝∠C＝∠ABC，BD是角平分线，求：（1）∠A的度数？（2）求证：△DBC是等腰三角形．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，M、N分别是AB，AC边上的点，并且MN∥BC．（1）求证：△AMN是等腰三角形；（2）点P是MN上的一点，并且BP平分∠ABC，求证：△BPM是等腰三角形．14．如图，在△ABE中，∠EAC＝∠B，点C在BE上，AD平分∠BAC，交BC于点D，EF⊥AD，∠AEF与∠DEF相等吗？请说明理