第01讲 圆的基本概念和性质（知识解读）（解析版）

第01讲圆的基本概念和性质在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；2.了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；3.通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.知识点1：圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。确定圆的条件：1）圆心；2）半径。备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆。圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。知识点2：圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB，读作圆弧A等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。【题型1圆的定义及性质】【典例1】（2021秋•大同区校级期末）能决定圆的位置的是（）A．圆心 B．半径 C．直径 D．周长【答案】A【解答】解：根据圆的定义可知，能决定圆的位置的是圆心，故选A．【变式1-1】（2022秋•椒江区校级月考）下列图形为圆的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：根据题意得，A图形为圆．故答案为：A．【变式1-2】（2022春•广饶县期末）画圆时圆规两脚间可叉开的距离是圆的（）A．直径 B．半径 C．周长 D．面积【答案】B【解答】解：画圆时圆规两脚间可叉开的距离是圆的半径．故选：B．【变式1-3】（2022秋•巴东县期中）一个圆的面积为πcm2，则它的半径为（）cm．A．±1 B．π C．0 D．1【答案】D【解答】解：设圆的半径为rcm，根据题意得：πr2＝π，解得：r＝1，故选：D．【变式1-4】（2022秋•涪城区期中）下列结论正确的是（）A．半径相等的两条弧是等弧 B．半圆是弧 C．半径是弦 D．弧是半圆【答案】B【解答】解：A、在等圆或同圆中，半径相等的两条弧是等弧，原结论不正确；B、半圆是弧，原结论正确；C、半径只有一个端点位于圆上，不是弦，原结论不正确；D、根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，原结论不正确；故选：B．【典例2】（2022秋•朝阳区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE的度数．【答案】40°．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝25°，∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝65°，∵∠CDB＝∠DCE+∠A，∴∠DCE＝65°﹣25°＝40°．【变式2-1】（海口模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（）A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】D【解答】解：∵AD∥OC，∴∠AOC＝∠DAO＝70°，又∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO＝70°，∴∠AOD＝180﹣70°﹣70°＝40°．故选：D．【变式2-2】（崆峒区期末）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．（1）求∠AOB的度数．（2）求∠EOD的度数．【答案】（1）20°（2）60°【解答】解：（1）连OB，如图，∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝BO，∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；（2）∵∠2＝∠A+∠1，∴∠2＝2∠A，∵OB＝OE，∴∠2＝∠E，∴∠E＝2∠A，∴∠DOE＝∠A+∠E＝3∠A＝60°．【典例3】（2022秋•公安县月考）已知⊙O的半径是4cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】C【解答】解：∵⊙O的半径是4cm，∴⊙O中最长的弦，即直径的长为8cm．故选：C．【变式3-1】（2021秋•互助县期末）已知⊙O的直径为10cm，则⊙O的弦不可能是（）A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm【答案】D【解答】解：∵⊙O的直径为10cm，则⊙O的弦不可能大于10cm．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．【变式3-2】（2022秋•玉林期末）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（）A．猫先到达B地 B．老鼠先到达B地 C．猫和老鼠同时到达B地 D．无法确定【答案】C【解答】解：以AB为直径的半圆的长是：π•AB；设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，则a+b+c+d＝AB．则老鼠行走的路径长是：a+πb+πc+πd＝π（a+b+c+d）＝π•AB．故猫和老鼠行走的路径长相同．故选：C．【题型2圆的有关概念】【典例4】（2022秋•长顺县月考）下列4个说法中，正确的有（）①直径是弦②弦是直径③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴④弧是半圆A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：①直径是最长的弦，故本小题说法正确；②弦不一定是直径，故本小题说法错误；③经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故本小题说法正确；④半圆是弧，但弧不一定是半圆，故本小题说法错误．故选：B．【变式4-1】（2022秋•巧家县期中）下列说法中，正确的是（）A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是圆中最长的弦 C．相等长度的两条弧是等弧 D．顶点在圆上的角是圆周角【答案】B【解答】解：A、过圆心的弦是圆的直径，故A不符合题意；B、直径是圆中最长的弦，故B符合题意；C、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，故C不符合题意；D、顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角是圆周角，故D不符合题意；故选：B．【变式4-2】（2022秋•下城区校级月考）下列说法正确的是（）A．劣弧一定比优弧短 B．面积相等的圆是等圆 C．长度相等的弧是等弧 D．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等【答案】B【解答】解：A、在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短．故本选项错误；B、面积相等的圆是等圆；故本选项正确；C、能完全重合的弧才是等弧，故本选项错误；D、必须在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误．故选：B【变式4-3】（2022春•莘县期末）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；②弦不一定是直径，错误，不符合题意；③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，正确的有3个，故选：C．1．（2023•怀宁县一模）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，则∠E等于（）A．42° B．29° C．21° D．20°【答案】B【解答】解：连接OD，如图，∵OB＝DE，OB＝OD，∴DO＝DE，∴∠E＝∠DOE，∵∠1＝∠DOE+∠E，∴∠1＝2∠E，而OC＝OD，∴∠C＝∠1，∴∠C＝2∠E，∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，∴∠E＝∠AOC＝×87°＝29°．故选：B．2．（2023•增城区一模）如图，在半圆所对应圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（）A．C1＞C2 B．C1＜C2 C．C1＝C2 D．不能确定【答案】B【解答】解：设半圆的直径为a，则半圆周长C1为：aπ+a，4个正三角形的周长和C2为：3a，∵aπ+a＜3a，∴C1＜C2故选：B．3．（2022•南山区校级模拟）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（）A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分” B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形” C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线” D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”【答案】C【解答】解：A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“四边形的不稳定性”，故本选项错误，不合题意；B．车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”，故本选项错误，不合题意；C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，故本选项正确，符合题意D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故本选项错误，不合题意．故选：C．4．（2022•路南区三模）在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（）A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【解答】解：在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为：所有到定点P的距离等于1cm的点的集合，故选：A．5．（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（）A． B．8 C．6 D．5【答案】D【解答】解：如图，连结CD，∵CD是直角三角形斜边上的中线，∴CD＝AB＝×10＝5．故选：D．6．（2022•广陵区二模）如图，在扇形AOB中，D为上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD＝OA，∠O＝75°，则∠A的度数为（）A．35° B．52.5° C．70° D．72°【答案】C【解答】解：连接OD，如图，设∠C的度数为n，∵CD＝OA＝OD，∴∠C＝∠DOC＝n，∴∠ADO＝∠DOC+∠C＝2n，∴OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2n，∵∠AOC+∠C+∠A＝180°，∠AOC＝75°，∴75°+n+2n＝180°，解得n＝35°，∴∠A＝2n＝70°．故选：C．7．（2022•金沙县一模）下列说法中，不正确的是（）A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B．圆有无数条对称轴 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．圆的对称中心是它的圆心【答案】C【解答】解：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；B．圆有无数条对称轴，正确；C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；D．圆的对称中心是它的圆心，正确；故选：C．8．（2022•南山区模拟）一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为6cm，则该圆的直径是（）A．1.5cm B．1.5cm或4.5cm C．4.5cm D．3cm或9cm【答案】D【解答】解：当点在圆外，则该圆的直径＝6cm﹣3cm＝3cm；当点在圆内，则该圆的直径＝6cm+3cm＝9cm，即该圆的直径为3cm或9cm．故选：D．9．（2023•南关区一模）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（）A．a B．b C．a+b D．a﹣b【答案】C【解答】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值a+b．故选：C．1．下列说法中，正确的是（）A．长度相等的弧是等弧 B．在同圆或等圆中，等弦对等弧 C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等【答案】D【解答】解：A、能够重合的弧是等弧，说法错误，故选项不符合题意；B、在同圆或等圆中，等弦所对的劣弧和劣弧相等，优弧和优弧相等，说法错误，故选项不符合题意；C、优弧一定比劣弧长，说法错误，条件是同圆或等圆中，故选项不符合题意；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，说法正确，故选项符合题意．故选：D．2．下列图形中表示的角是圆心角的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：四个图中只有A中图形是圆心角．故选：A．3．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，若∠COD＝35°，则∠AOE的度数是（）A．35° B．55° C．75° D．95°【答案】C【解答】解：∵，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝35°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝75°．故选：C．4．在⊙O中＝2，则弦AB与弦CD的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．AB＝CD【答案】C【解答】解：AB＜2CD．取的中点E，连接EA、EB，则＝＝，所以EA＝EB＝CD，在△ABE中，AE+BE＞AB，即2CD＞AB，则AB＜2CD，∴CD＜AB＜2CD，故选：C．5．下列说法正确的是（）A．等弧所对的弦相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．相等的圆心角所对的弦相等【答案】A【解答】解：A、等弧所对的弦相等，故A符合题意；B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故B不符合题意；C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C不符合题意；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故D不符合题意；故选：A．6．如图，半径OC⊥AB，弧BC的度数为70°，则∠AOC＝（）A．20° B．35° C．55° D．70°【答案】D【解答】解：∵弧BC的度数为70°，∴∠BOC＝70°，∵OC⊥AB，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC＝70°．故选：D．7．如图，一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是（）A．4πr B．2πr C．πr D．2r【答案】B【解答】解：圆心经过的距离就是圆的周长，所以是2πr．故选：B．8．有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；②直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．其中错误说法的是①③两个．故选：B．9．下列说法：①直径是弦②弦是直径③半圆是弧，但弧不一定是半圆④长度相等的两条弧是等弧中，正确的命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：①直径是弦，正确；②弦不一定是直径，错误；③半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，所以长度相等的两条弧是等弧错误；所以，正确的命题有①③共2个．故选：B．10．如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是（）A．a＝b B．a＜b C．a＞b D．不能确定【答案】A【解答】解：设小明走的半圆的半径是R．则小明所走的路程是：πR．