2023学年上海高二数学教学同步练习（沪教版2020必修第三册）

10.2空间的平行直线（第1课时）（作业）

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2021.上海市南洋模范中学高二阶段练习）给出下列命题：

①若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；

②若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角或直角相等；

③若一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补；

④若两条直线同时平行于第三条直线，则这两条直线平行

其中真命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2021•上海市新场中学高二期中）空间四边形ABC£>,E、F、G、”分别是48、BC、CD.AO的中点，

当4C、8。满足（）时，四边形EFG”是菱形.

A.AC=BDB.AC垂直2。

C.AC平行8。D.AC=BQ且4c垂直3。

3.（2019•上海市罗店中学高二期中）在四面体A8CO中，M、N分别是AACD、ABCD的重心，连接DM、

ON分别延长并交AC、BC于点E、F,则AB、AE.BF、E尸中，与MN平行的直线的条数是（）

A.。条B.1条C.2条D.3条

4.（2021・上海•闵行中学高二期中）若空间三条直线。、b、c满足:,力，bile,则直线。与c（）

A.一定平行B.一定垂直C.一定是异面直线D.一定相交

二、填空题

5.（2021•上海市延安中学高二期中）已知空间四边形两对角线的长分别为8和10,所成的角为60。，依次

连接各边中点所得四边形的面积是.

6.（2021•上海市亭林中学高二期中）已知。、b、c为不重合的三条直线，且a〃c,bile,则。与b的位置

关系是.

7.（2021•上海市控江中学高二期中）空间四边形A6C。中，E、尸、G、H分别是A8、8C、CZ\D4的中点，

S.AC1BD,则四边形EFGH的形状是.

8.（2016•上海•曹杨二中高二期中）设E、尸、G、//分别是空间四边形ABC。的边A3、BC、CD.DA

的中点，则四边形EFGH的形状一定是.

JT

9.（2021.上海.华东师范大学松江实验高级中学高二阶段练习）如果。4〃。/4,OBHO^i,ZAOB=-,则

NAQ/Bi=.

10.（2021•上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）设NA与D8的两边分别平行，若/4=40。，则

ZB=

三、解答题

II.（2019•上海•华师大二附中高二阶段练习）在正方体48/。。/-ABC。中，E、F分别是BC、A/D的中

点.

（1）求证：四边形是菱形;

（2）作出直线A/C与平面的交点（写出作图步骤）.

12.（2019•上海・华师大二附中高二期中）在正方体ABC。-中，E,尸分别是BC，A。的中点.

求证：字可四边形B、EDF是菱形.

4

【能力提升】一、单选题

1.（2022.上海.高三专题练习）空间中八条直线两两平行，且两两之间的距离相等，则正整数“至多等于（)

A.2B.3C.4D.5

2.（2021•全国•高一课时练习）若一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角

A.相等B.互补C.相等或互补D.无法确定

3.（2022•全国•高三专题练习）如图，棱长为1的正方体AB8-ABCQ中，P为线段4片的中点，分

别为线段AG和棱BC上任意一点，则的最小值为（

C.73D.2

4.（2022.全国•高一专题练习）若NAOB=N4O/B/,且。4〃。/4,OA与0/4方向相同，则下列结论正

确的是（）

A.08〃。向且方向相同

B.OB//OIBI,方向可能不同

C.与。田/不平行

D.OB与0由/不一定平行

5.（2020•全国•高一课时练习）下列命题中，正确的结论有（）

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；

②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；

③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；

④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、多选题6.（2021.山东潍坊.高二期中）（多选题）下列说法中，正确的结论有（）

A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等

B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等

C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补

D.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行

7.（2021•全国•高一课时练习）已知空间四边形ABC。，顺次连接四边中点所得的四边形可能是（）

A.空间四边形B.矩形C.菱形D.正方形

三、填空题

8.（2021・全国•高二课时练习）空间四边形43a＞中，E,F,G,"分别是AB,DA,BC,CO的中点，

四边形EFHG是形；当______时，四边形是菱形；当_____时，四边形是矩形；当_______

时，四边形是正方形.

四、解答题

9.（2019•上海市嘉定区第二中学高二期中）空间四边形ABCQ中E、F、G、4分别为AB、BC、CC、A。上的点

（1）求证：当E、&G、H分别为各边的中点时;四边形EFGH为平行

四边形;

（2）当E、&G、H满足什么条件时，四边形E尸GH为梯形？说明理由.

10.（2016♦上海•曹杨二中高二期中）如图，A是△8CO所在平面外一点，M、N为AABC和△AC。重心,

BD=6；

（1）求MN的长;

（2）若A、C的位置发生变化，MN的位置和长度会改变吗？

11.（2021・全国•高一课时练习）如图，在三棱锥A-8CD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA

的中点.

⑴求证：四边形EFG4是平行四边形;

（2）若AC=BD,求证：四边形EFG”是菱形；

（3）当AC与8。满足什么条件时，四边形EFGH是正方形?

12.（2021・全国•高一课时练习）如果。4//。0，OB/ZO^,那么NAO3与NAQ瓦之间具有什么关系？

13.（2021•广东・忠信中学高一阶段练习）如图，在正方体A8CO-44CQ中，M,M分别是棱AO和4。

的中点.

（1）求证:四边形BAM”为平行四边形;

(2)求证：NBMC=NBMG.

14.（2021.全国•高一课时练习）在如图所示的正方体ABC。-A/B/G2中，E,F,©,B分别是棱AB,

AD,BC,GS的中点,

求证：（1）后尸2鸟耳；

⑵/EAF=/ECFi.

15.（2021・全国•高一课时练习）如图，平面a〃夕，线段AB分别交a,/?于",N线段AO分别交%?于C,。

线段8尸分别交a,尸于F,E.若AM=9,MN=11,M3=15,S.c=78.求.END的面

16.（2021・全国•高一课时练习）如图，E,E，分别为长方体ABCD-A'8'CTy的棱4D,A'D的中点，求证

ZBEC=ZBEC.

D'C

AB17.（2021・全国•高二课时练习）在三棱柱ABC—48/G中，M,N,P分别为

A,Ci,AC和A8的中点.求证：NPNA尸NBCM.«

10.2空间的平行直线（第1课时）（作业）

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2021.上海市南洋模范中学高二阶段练习）给出下列命题：

①若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；

②若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角或直角相等;

③若一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补；

④若两条直线同时平行于第三条直线，则这两条直线平行

其中真命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】由平行角定理，可以判断①的真假；根据直线夹角的定义，可以判断②的真假；根据直线垂直的

儿何特征，我们可以判断③的真假；根据平行公理，可以判断④的真假.

【详解】解：①中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故①错误;

②中，如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故②正确;

③中，如图，在长方体中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角不一定相等或互

补，如图a，c,bLd,但两角不一定相等，故③错误；

④中，如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故④正确；

F、G、H分别是48、

A.AC=BDB.AC垂直8。

C.AC平行BOD.AC=BO且AC垂直8。【答案】A

【分析】先利用三角形中位线定理及平行四边形的判定定理证明四边形EFG”为平行四边形，然后再根据

菱形的定义即可求解.

【详解】解：如图所示，连结AC,BD,

­.£>F、G、”分别为空间四边形ABC。的边A8、BC、CD、AO的中点,

"1"1

:.EH=-BD,FG=-BD,

22

ii

:.EH=FG'

四边形EFG”为平行四边形,

所以当AC=8。时，有EF=EH,

所以由菱形的定义如四边形EFG〃为菱形.

故选：A.

3.（2019•上海市罗店中学高二期中）在四面体中，M、N分别是AACD、ABCZ）的重心，连接DM、

ON分别延长并交AC、BC于点、E、F,则A3、AE.BF、EF中，与MN平行的直线的条数是（）

A.。条B.1条C.2条D.3条

【答案】C

【分析】作出图形，可知点E、F分别为AC、BC的中点，利用重心的性质、中位线的性质，结合平行线

的传递性，可得出与宜线MN平行的直线.

【详解】如下图所示：

由题意可知，点E、尸分别为AC、8c的中点，则EF//4},由重心的性质可知

DMDN2

——=——=-,MN//EF,：.MN//AB,

DEDF3

若MNHAE,则g//山，矛盾，同理可知，与所也不平行,

因此，AB.AE、BF、E尸中，与MN平行的直线有两条.

故选C.

【点睛】本题考查直线与直线平行的判定，涉及到重心性质的应用、中位线的性质以及平行线的传递性，

考查推理能力，属于中等题.

4.（2021•上海•闵行中学高二期中）若空间三条直线。、b、c满足；_£，，bile,则直线。与c（）

A.一定平行B.一定垂直C.一定是异面直线D.一定相交

【答案】B

【分析】根据等角定理可得出结论.

【详解】Qa±b,则。、6所成的角为直角，

又因为b〃c,所以，a、c所成的角为直角，即。，。.

故选：C.

二、填空题

5.（2021•上海市延安中学高二期中）已知空间四边形两对角线的长分别为8和10,所成的角为60。，依次

连接各边中点所得四边形的面积是.

【答案】10%

【分析】空间四边形A8CO中，分别取A8、BC、CD、D4的中点E、F、G、H,连接EEFG、GH、HE,

则连接各边中点可得平行四边形，利用平行四边形的面积公式可求出结果.

【详解】如图，空间四边形ABCO中，

两对角线AC、8。的长分别为8和10,所成的角为60。，

分别取AB、BC、CD、D4的中点E、F、G、H,连接EF、FG、GH、HE,

则EF//GH//AC,且EF=GH=^AC=4,

EHHGFHBD,史EH=GF=yBD=5,

：.ZWEF=60°,或尸=120°,

不妨取N”EF=60。

.••连接各边中点所得四边形的面积是：

SEFCH=sin60°=10g.故答案为：10A/3.

A

（2021•上海市亭林中学高二期中）已知。、b、c为不重合的三条直线，且

a!1c,力/c,则"与b的位置关系是.

【答案】平行

【分析】利用平行公理即可得到.

【详解】因为a〃c,b//c,且。、〃、c互不重合，

由平行公理得：a//b.

故答案为：平行

7.（2021•上海市控江中学高二期中）空间四边形ABCD中，E、尸、G、H分别是A8、8C、CD、D4的中点,

且AC，8。，则四边形EFGH的形状是.

【答案】矩形

【分析】先由中位线的性质证明EFGH是平行四边形，然后再由已知垂直即可求解.

【详解】

因为£\F、G、”分别是A3、3C、CD、D4的中点,

所以EHj/BD,FG//BD艮EH=FG=H，

所以四边形EFG”为平行四边形，又因为ACLBD,HG//AC,EH//BD,

所以J_〃G,

所以四边形EFG”为矩形，

故答案为：矩形.

8.（2016•上海・曹杨二中高二期中）设E、F、G、”分别是空间四边形A8CO的边AB、BC、CD,DA

的中点，则四边形EFGH的形状一定是

【答案】平行四边形

【分析】证明FG//EH，且FG=EH即可得出结论.

【详解】解：如图，连接30.因为FG是ACBZ）的中位线，所以FG//BD,FG=\-BD.

2

又因为E"是A4BQ的中位线，所以EH=；BD.

根据公理4,FG//EH,且尸G=E".

所以四边形EFG”是平行四边形.

故答案为：平行四边形

【点睛】主要考查知识点：简单几何体和公理四，证明平行四边形常用方法：时边

平行且相等；或对边分别平行；或对角线相交且平分.要注意：对边相等的四边形不一定是平行四边形.

■JT

9.（2021・上海・华东师范大学松江实验高级中学高二阶段练习）如果。4〃。/4,OBHOIBLZA0B=-9则

/AQiB尸_______________

【答案】9或4

【分析】根据等角定理，结合直线的方向，即可得到答案；

【详解】：。1//。4,0BH0B,

TT

当直线,。氏。与中方向都相同或都相反时，幺。蜴=至，

当直线。4,04，中方向有一条不同，一条相反时，幺。出=与，故答案为：（或等

10.（2021・上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）设乙4与B8的两边分别平行，若24=40。，则

NB=.

【答案】40。或140。.

【分析】根据等角定理即可得到答案.

【详解】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补.

故答案为：40。或140。.

三、解答题

11.（2019・上海•华师大二附中高二阶段练习）在正方体A/B/。。/-ABC。中，E、F分别是BC、A/D的中

点、.

（1）求证：四边形是菱形;

（2）作出直线A/C与平面B/EFO的交点（写出作图步骤）.

【分析】（1）取4。中点G,连接FG,BG,可证四边形B/BGF为平行四边形，四边形BEQG为平行四边

形，得到四边形B/ECF为平行四边形，再由凡可得B/E=BiF,得到四边形B/ED尸是菱形;

（2）连接A/C和AG,则A/C与AC/的交点O,即为宜线4c与平面B/EFO的交点.

【详解】（1）证明：取4）中点G,连接FG,BG,如图1所示,

则BiB//FG,BiB=FG,

，四边形8/BG尸为平行四边形，则BG〃BiF,

由A8CO-4B/C/S为正方体，且E,G分别为8C,4力的中点,

可得8EZ）G为平行四边形，J.BG//DE,BG=DE,则B户〃。E,且B/F=QE,

.,•四边形B/££>/为平行四边形，由△B/5E四△B/A/F,可得B；E=BiF,

，四边形8/££>尸是菱形;

（2）连接A/C和A0,则A/C与AC/的交点。,

即为直线A/C与平面8/EPD的交点，如图所示.

【点睛】本题考查了空间中的平行关系应用问题,也考查了空间想象与逻辑推理

能力，是中档题.关键是掌握正方体的性质和熟练使用平行公理.

12.（2019•上海・华师大二附中高二期中）在正方体ABC。-AAGR中，E,F分别是的中点.

求证：至回四边形四项乃是菱形.

（分析】取B,C,中点G,连接G。、GE，证明四边形GEDDt,FgGR都是

平行四边形，从而得到四边形瓦EDF是平行四边形，再证明qE=8/,得到空间四边形与即尸是菱形.

【详解】证明：取8c中点G,联结GR、GE,

则GE||C,C||D、D,GE=C,C=D,D,

四边形GEOR是平行四边形，GDt\\ED,GDt=ED,

FD.IIB、G,FD\=4G:.四边形尸2。"是平行四边形，，BtF\\GD,B、F=GD,||ED,BtF=ED,

二四边形四瓦不是平行四边形,

B,E=BXF,空间四边形片EOF是菱形.

【点睛】本题考查正方体内线段之间的关系，空间四边形的证明，属于简单

【能力提升】

一、单选题

1.（2022・上海•高三专题练习）空间中〃条直线两两平行，且两两之间的距离相等，则正整数〃至多等于（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】取与〃条平行线垂直的平面a,则”条直线在平面a内的投影为〃个点，将直线问题转化为平面内

的点的问题解决.

【详解】取平面a,使得两两平行的"条直线与平面a垂直，则〃条直线在平面a内的投影为"个点，且这

”个点之间的距离两两相等.

«的最大值为3,此时"个投影点组成一个正三角形.

故选:B.

【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系，将空间问题转化为平面问题是解题的关键，考查空间想

象能力，属于中等题.

2.（2021.全国•高一课时练习）若一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角

A.相等B.互补C.相等或互补D.无法确定

【答案】C【详解】解：如图，当/I,Z2,与/3的两边互相平行且在同一平面，

二/3=/4,Z4=Z1,Z4+Z2=180°；

.,.Z3=Z1,Z3+Z2=180°.

.,•这两个角相等或互补.

当/I与N2的两边且方向相同（或相反）互相平行且不在在同一平面,

设4N2的顶点分别为A，A，

分别在两对应的平行边取AB=AtBl,AC=AG，

连M,8综Cq,因为AB//A,Bt,AC//A.C,,

所以四边形MQWAAGC为平行四边形，

所以抽〃网,M//CC”M=BB、=CC,,

所以BB"/Cq,从而四边形是平行四边形，

所以BC=片G,所以AABC三AA'B'C,

:.ABAC=ZB'A;C',即N1=N2,

若4,N2方向相反，则其中一个的对顶角跟另一个角方向相同,

同理可证一个角等于另一角的对顶角，

若4N3两边分别平行但方向不相同也不相反，

则N3的补角与N1方向相同或相反，

同理可证Z1等于N3的补角，此时NLN3互补,

综上：一个角的两边分别和另一个角的两边平行，

那么这两个角相等或互补.

点评：解决本题时要联想平行线的性质定理，正确认识基本图形，就不会漏掉互补的情况.

3.（2022•全国•高三专题练习）如图，棱长为1的正方体ABC。-A4CQ中，尸为线段A片的中点，M,N分

别为线段AG和棱B£上任意一点，则2HW+V5MN的最小值为（）

C.GD.2

【答案】D

【解析】取AC中点E,过M作M7F面A/CQ,可得AMFN为等腰直角三角形，由A4PM三A4EM,可

得PM=EM,当MN_LBCi时，MN最小，由MF=^MN,故

2

（五、

2PM+y[2MN=2PM+—MN=2（EM+MF）22AAi=2,即可求解.

k2J

【详解】取AC中点E,过M作MF_L面A4G2，如图:

则AAPM=AA£例，散PM=EM,

而对固定的点M,当与G时.，MN最小.

此时由怖_1面4声6。「可知AA/FN为等腰直角三角形，MF=^MN,

（万、

故2PM+近MN=2PM+—MN=2（EW+MF）22AA=2.

\J

故选：D

【点睛】本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题.

4.（2022・全国・高一专题练习）若NAOB=NAQ/B/,且。4〃0/4,OA与。4方向相同，则下列结论正

确的是（）

A.OB〃O/B/且方向相同

B.OB//O1B1,方向可能不同

C.OB与OIBI不平行

D.与0/8/不一定平行

【答案】D

【详解】如图，

当NA08=NA。g时，且OV/QA，与的方向相同，0B与。也是不一定平行，如上图所示，故

选D.

5.（2020・全国•高一课时练习）下列命题中，正确的结论有（）

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；

②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；

③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；

④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【详解】①中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故①错误；②

中，如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故②正确；

③中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，在空间中，两角大小关系不确定，故③错误；④中,

如果两条宜线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故④正确；故选B.

二、多选题

6.（2021•山东潍坊•高二期中）（多选题）下列说法中，正确的结论有（）

A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等

B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等

C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补

D.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行

【答案】BD

【分析】由等角定理可判断A的真假；根据直线夹角的定义可判断B的真假；举反例可判断C的真假；由

平行公理可判断D的真假.

【详解】对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A

错误；

对于选项B：如果两条相交直线和另两条相交宜线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故选

项B正确;

对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互

补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，NAAG与NABG满足C^IQB,

TT

但是NAAG=1二者不相等也不互补.故选项c错误;

对于选项D：如果两条宜线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确.

故选：BD.

7.（2021・全国•高一课时练习）已知空间四边形ABCO,顺次连接四边中点所得的四边形可能是（）

A.空间四边形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】BCD

【分析】作出图形，连接AC、BD,推导出所求四边形为平行四边形，再根据AC和8D的长度和位置关系

可判断出所求四边形的形状.

【详解】如下图所示：

连接AC、BD,设E、F、G、H分别为AB、BC、CD、D4的中点,

则且同理可得FG//8D且尸G=LB/),所〃AC且EF=，AC,

222

EHHFGnEH=FG,则四边形EFGH为平行四边形.

®^AC1BD,则此时，四边形EFG”为矩形；

②若AC=5£>,则EH=EF,此时，四边形EFG”为菱形；

③若AC_LBD且AC=B£),则EHLEF且EH=EF,此时,，四边形EFG〃为正方形.

故选：BCD.

【点睛】本题考查空间四边形截面形状的判断，考查了空间中平行线传递性的应用，考查推理能力，属于

中等题.

三、填空题8.(2021・全国•高二课时练习)空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,DA,BC,CD

的中点，四边形EFEG是形；当______时，四边形EFEG是菱形；当______时，四边形EFHG是矩

形；当______时，四边形EFHG是正方形.

【答案】平行四边BD=ACBDYAC3D=AC且_LAC

【分析】首先结合：角形的中位线证得G"〃成，且GH=EF,进而得到EH7G为平行四边形，然后结合

菱形、矩形以及正方形的几何特征即可得出结论.

【详解】

.4

/\/甲因为E,尸别是A8,ZM的中点，所以EF"BD,EF=^BD

C

因为G,，分别是A3,OA的中点，所以GH//8DG”=g8。，

因此GH〃£F,且GH=EF,所以四边形EFHG为平行四边形,

因为BO=AC,所以所=FH,所以四边形EFHG为菱形，

因为8OJ.AC,所以EFLFH,所以四边形EFEG为矩形，

因此当班＞=AC且即，AC时，所以四边形EFHG为正方形.

故答案为：平行四边；BD=AC-,BD1AC-,80=4c且8。J_4c.

四、解答题

9.（2019•上海市嘉定区第二中学高二期中）空间四边形A8CD中E、&G、〃分别为AB、8C、CO、A。上的点

（1）求证：当瓦F、G、H分别为各边的中点时，四边形EFGH为平行

四边形;

（2）当欧F、G、H满足什么条件时，四边形EFG”为梯形？说明理由.【分析】根据题意，结合中位线证明

四边形EFGH的一组对边平行且相等，即可证明四边形EFGH为平行四边形；

（2）根据题意，要使四边形EFG”为梯形，只需满足一组对边平行而另一边不平行，结合相似三角形即可求

解.

【详解】（1）在AABC中，因E、尸分别为A3、BC的中点,

所以EF〃AC,且EF=g4C,

同理用〃AC,且“G=[AC,

2

所以用〃EF,且HG=EF,

所以四边形EFGH为平行四边形;

⑵①当41=黑CFCGuAECFn,

—=—且一丰—时四边形EFG”为梯形.

ACCBCDABCB

A.pAfJ

因为一=—,所以△A£HS/^ABD,所以EH〃BD,

ABAC

同理FG〃8D,

所以FG〃E〃,

又因为A黑T/三CF，所以痔与用不平行，

ADCO

所以四边形EFGH为梯形.

ArCFAHCGAFAH

②当而，,茄=而且7T耘时,四边形MG”为梯形.证明过程同理于①.

„AEAHCFCG、、AECFAECFAHCGAEAH.

故当——=——，一=—且一H——或一=—，——=——a且一关——时，

ABACCBCDABCBABCBADCDABAD

四边形EFGH为梯形.

10.（2016.上海.曹杨二中高二期中）如图，A是△88所在平面外一点，M、N为AABC和4人。重心,

BD=6；

（1）求MN的长;

（2）若A、C的位置发生变化，MN的位置和长度会改变吗？

【答案】（1）2；（2）位置改变，长度不改变；【分析】（I）利用三角形的重心的性质，可得M、N分

别是A4BC与MCD的中线的一个三等分点，得桨=槊=1,由此利用平行线的性质与三角形中位线定理,

AEAF3

算出MN与8。的关系，即可得到MN的长.

（2）由（1）可得位置改变，长度不改变.

【详解】解：（1）延长AM、AN,分别交BC、C£＞于点E、F,连结EF.

M、N分别是MBC和MCD的重心,

•・AE、•分别为MBC和AACD的中线，且黑=等号，

2

可得MN//EF且MN=EF,

尸为MCD的中位线，可得=

:.MN=-BD=2；

3

（2）由（1）可得位置改变，长度不改变.

本题着重考查了三角形的重心性质、平行线的性质和三角形的中位线定

理等知识，属于中档题.

11.（2021.全国•高一课时练习）如图，在三棱锥A—BCD中，E,F,G,”分别是边AB,BC,CD,DA

的中点.

A

⑴求证：四边形EFGH是平行四边形;

(2)若AC=8。，求证：四边形EFGH是菱形；

(3)当AC与30满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？

【答案】⑴见解析；⑵见解析；(3)AC=8D且ACLB。【分析】⑴利用三角形中位线的性质，根据平行

四边形的判断方法，即可得到结论；

(2)利用有一组邻边相等的平行四边形，可证结论.

(3)根据邻边相等且垂直即可得解.

(1)

E,F,G,H分别是边AB,BC,CRZM的中点.

二EF//AC,GH//AC,EF=；AC,GH=^AC,

EF//GH,EF=GH,

四边形EFGH是平行四边形；

(2)同(1)可得EH〃FG,EF=FG=LBD

若AC=BD,则EF=E”，

:四边形EFGH是平行四边形，

二四边形EFG”为菱形.

(3)要使EFGH为正方形，则需满足EH=FG=EF="G且EFLEH,

即AC=8。且AC_LB。即可.

12.(2021•全国•高一课时练习)如果。4//00,OBHOR,那么ZAO3与NAG耳之间具有什么关系？

【答案】相等或互补

【分析】按NAO8与NA0内在同一平面内和不在同一平面内分别推理判断作答.

【详解】当NAO8与鸟在同一平面内时，令。8交4/0/于点M,如图：

因04〃01A，贝lJNA0B=NAM8,NCOB=NO、MB,

又OB//O,B},则幺0£=ZAtMB,因此，ZAOB=/4日与，NC0B+4。国=Z.0.MB+NAMB=180,

显然C与A可换位，

所以NAO3与NA。筋之间相等或互补；

当NAO3与幺0万不在同一平面内时,

若射线OA与O/A/同方向，射线OB与0/8/同方向,

在射线与。/4上分别取点E,E],使OE=O£,在射线。8与。向上分别取点。，。/，使

连接00/,DDi,EE,,ED,EIDI,如图,

因。A〃qA，则四边形0EB0/是平行四边形，EE)11001,且用尸。。/,同

理。。/〃00〃BLDD,=OOI,

于是得且EE/=O£>/,则四边形OEE/D是平行四边形，即有E庆臼

从而有AEOD祥ERD、,则ZEOD=,即NAOB=ZA.QB,,

射线0C是射线。4的反向延长线，则有NC0B+40B=180°，即NC08+NA。冉=18(X,显然C与A可

换位,

因此，NAOB与乙404之间相等或互补，

若射线OA与0/4方向相反或射线0B与。/8/方向相反，则射线0A的反向延长线与Oi\i同方向或射线

0B的反向延长线与。向同方向，在其反向延长线I：按上述同样的方式进行，可得NAOBH内之间相

等或互补，

所以N4O8与幺。青之间相等或互补，

综上得：NAO8与NA。内之间相等或互补.

13.(2021・广东・忠信中学高一阶段练习)如图，在正方体ABC。-A4GA中，M,M分别是棱A。和

的中点.

(1)求证:四边形为平行四边形;

(2)求证：NBMC=ZB\MG.

【分析】(1)根据正方体的性质和平面几何知识可得证;

(2)根据空间两个角相等定理或三角形全等可得证.

【详解】解：⑴：A8CD-A瓦CQ为正方体・•••AO=AQ,且AD//AR,

又必分别为棱A。，AQ的中点，且AM〃A陷,

二四边形为平行四边形，...=明且MM"4V

又A4,=B片且的〃阴，MM]=BB,且MMJ/BB、,

二四边形为平行四边形.

(2)法一：由(1)知四边形BBM"为平行四边形，

同理可得四边形CCMM为平行四边形，和NBMC方向相同,

.4.4BMC=ZB,M.C,.

法二：由⑴知四边形84MM为平行四边形，.•.瓦=

同理可得四边形CCMM为平行四边形，,CM=CM.

又;•B©=BC,：.,.：NBCM=NB£M].14.（2021・全国•高一课时练习）在如图所

示的正方体A8CO-A/8/C/功中，E,F,EhB分别是棱AB,AD,BQ,C/功的中点，

求证：⑴E尸幺耳耳；

Q）/EAIF=NEICFI.

试题分析：（D连接BO,B、D、,由三角形中位线定理可得所〃18。，%F=BR,根据正方体的性质可

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得故而可得结论；（2）取AM的中点M,连接首先证明四边形BC耳M是平行四边

形，得到MB//CK，再证四边形EBMA是平行四边形及平行的传递性，得到AE