奥数-裂项法一含答案

奥数专题一一裂项法（一）

同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成

同分母分数后再计算。

（一）阅读思考

例如工―这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积,

3412

把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：

G|J--一匚=—]—

nn+1〃（〃+1）

-111

+n1

下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。

【典型例题】

例1.计算：---------+---------+---------+....+---------

1985x19861986x19871987x19881994x1995

分析与解答：

上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为

0,这一来问题解起来就十分方便了。

像这样在计算分数的加、减时;先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一

部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。

例2.计算：-+—^―+——-——+…+-------------

11+21+2+31+2+3+—+100

公式的变式

当〃分别取1,2,3,……,100时,就有

例3.设符号（）、<>代表不同的自然数，问算式，=」一+—匚中这两

6（）<>

个符号所代表的数的数的积是多少?

分析与解：减法是加法的逆运算，!=」-+」-就变成!--,与前

6()<>6()<>

面提到的等式工-一匚=」一相联系，便可找到一组解，即4=工+-1

n〃+1n{n+1)6742

另外一种方法

设〃、x、y都是自然数，且x/y,当工='+_1时，利用上面的变加为减的想法，

nxy

得算式==」。

nxy

这里L是个单位分数，所以X-〃一定大于零，假定％-〃="(),则》=〃+九代

y

入上式得—--=—,BPy=—+no

yi

又因为y是自然数，所以，一定能整除〃2,即f是/的约数，有〃个，就有〃个门

这一来我们便得到一个比,-一匚=—^更广泛的等式，即当x=〃+r,y=—^n,

n〃+1n{n+1)t

，是〃2的约数时，一定有1_=_1+工，即

nxy

上面指出当x=〃+r,>=或+〃，r是〃2的约数时，一定有_L=工+工，这里

tnxy

〃=6,/=36,36共有1,2,3,4,6,9,12,18,36九个约数。

当7=1时，*=7,y=42

当f=2时，x=8,y=24

当r=3时，x=9,y=18

当,=4时，x=l(),y=I5

当r=6时，x=12,y=io

当，=9时，x=15,y=IO

当r=12时，x=18,y=9

当r=18时，x=24,y=8

当f=36时，x=42,y=7

故（）和〈＞所代表的两数和分别为49,32,27,25。

【模拟试题】（答题时间：20分钟）

二.尝试体验：

1.计算:

111111111111

2.计算:4---1---1---1---1----1----1---1---1----1----1---1----1----

3610152128364555667891105120

3.已知x、y是互不相等的自然数，当,=」+工时，求x+y。

18xy

【试题答案】

1.计算:

111111111111

2.计算:3+6+10+15+21+28+36+45+55+66+78+91+105+120

3.已知x、y是互不相等的自然数，当，=工+工时，求x+y。

ISxy

x+y