第05讲一次函数的简单应用（13类题型）（原卷版）

第05讲一次函数的简单应用（13类题型）课程标准学习目标1.一次函数与二元一次方程（组）；2.一次函数与一元一次不等式的关系；3.一次函数的应用；1.掌握一次函数与二元一次方程（组）的关系；2.掌握一次函数与一元一次不等式的关系；3、掌握一次函数的应用，包括方案问题、销售利润问题，行程问题和几何问题；知识点01：一次函数与二元一次方程（组）的关系（重点）a1x＋b1y＝c1a2x＋b2y＝ca1x＋b1y＝c1a2x＋b2y＝c2（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y＝和y＝的图象的交点坐标．一次函数的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图像上.在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法.【即学即练1】1、（2022秋·安徽蚌埠·八年级校考期中）用图象法解二元一次方程组：【即学即练2】2、已知方程组的解为则一次函数与的图象的交点坐标为（）A． B． C． D．【即学即练3】3、如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（﹣2，4），则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是．知识点02.二元一次方程组的解的情况1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．【即学即练4】4、若一次函数y1=k1x+b1与一次函数y2=k2x+b2的图象没有交点，则方程组的解的情况是()A．有无数组解 B．有两组解 C．只有一组解 D．没有解【即学即练5】5、若一次函数y1=k1x+b1与一次函数y2=k2x+b2的图象没有交点，则方程组的解的情况是()A．有无数组解 B．有两组解 C．只有一组解 D．没有解知识点03一次函数与一元一次不等式的关系（1）一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．【即学即练6】6、（2022秋•定远县校级月考）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x＞0的解集为（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞0 D．﹣1＜x＜0知识点04：一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．知识点05：一次函数综合题（1）一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．（2）一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．（3）用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．【即学即练7】7、（2021秋·安徽六安·八年级校考期中）A，B两地相距12千米，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线和线段，分别表示甲、乙两人与A地的距离、与他们所行时间之间的函数关系，且与相交于点M．(1)求与x的函数关系式以及两人相遇地点与A地的距离；(2)求线段对应的与x的函数关系式；(3)直接写出经过多少小时，甲、乙两人相距6千米．【即学即练8】8、（2022秋•泗县期中）一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地驶往C地，乙车从A地驶往B地，两车同时出发并以各自的速度匀速行驶．乙车中途因汽车故障停下来修理，修好后立即以原速的两倍继续前进到达B地；如图是甲、乙两车与A地的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的大致图象．（1）求B、C两地之间的距离；（2）什么时候乙追上甲；（3）当两车相距40千米时，甲车行驶了多长时间．题型01已知直线与坐标轴交点求方程的解1．（2023春·山东聊城·八年级校联考期末）在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（

）A．当时， B．当时，C．方程的解是 D．不等式的解集是2．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）如图，直线过点和点，则方程的解是．3．（2022春·重庆大足·八年级重庆市大足中学校考期中）已知是的一次函数，且当时，；当时，．(1)求这个一次函数的解析式；(2)函数图像与轴、轴分别交于点、，求线段的长．题型02由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点1．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为(

)A． B． C． D．2．（2023·青海西宁·统考二模）在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为，点在轴上，且使线段的值最小，则点的坐标是．3．（2023春·湖南株洲·八年级统考期末）已知一次函数与x轴的交点为A，与y轴的交点为B．(1)求出点A和点B的坐标？(2)求出的面积？题型03利用图象法解一元一次方程1．（2023春·河北石家庄·八年级校考期中）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图像可知，关于的方程的解是（）A． B． C． D．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，一次函数与的图象交于点A，则关于x的方程的解．3．（2022秋·八年级课时练习）根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案：（1）关于x的方程kx+b＝0的解；（2）代数式k+b的值；（3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解．题型04由直线与坐标轴的交点求不等式的解集1．（2023秋·安徽淮北·八年级校联考阶段练习）如图，已知一次函数的图像经过点，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．2．（2022秋·福建福州·九年级校考开学考试）如图，直线过点与直线交于点，则不等式的解集为．3（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）如图，根据图中信息解答下列问题：(1)求关于的不等式的解集；(2)当时，求的取值范围；(3)当时，求的取值范围．题型05两根据两条直线的交点求不等式的解集1．（2022春·云南楚雄·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数与的图象，如图所示，则关于x的不等式的解集为（

）A． B． C． D．2．（2023春·四川眉山·八年级校考阶段练习）如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是．3．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在直角坐标系中，直线：经过点，直线与交于点，与y轴交于点B，点A关于x轴对称的点A在直线上．(1)求直线的函数表达式；(2)求的面积；(3)若直线的函数为，直线的函数为，当满足________时，．题型06两直线的交点与二元一次方程组的解1．（2023秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·广东深圳·八年级北大附中深圳南山分校校考阶段练习）如图，直线与直线交于点，则方程组的解为．3．（2021秋·陕西铜川·八年级校考阶段练习）如图，已知函数和的图象交于点，点的横坐标为1，求关于的方程组的解和的值．题型07图象法解二元一次方程组1．（2023春·八年级课时练习）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（

）A． B． C． D．2（2023·全国·七年级专题练习）如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得，二元一次方程组的解是．3．（2023春·江苏南京·七年级南京市第一中学校考阶段练习）利用图象法解下列二元一次方程组：(1)(2)题型08求直线围成的图形面积1．（2023春·湖北武汉·八年级武汉市卓刀泉中学校考阶段练习）如图，直线分别交轴、轴于A、B，直线交轴于点C，交直线于点P，则的面积是（

）A．2 B．3 C． D．12．（2023秋·安徽六安·八年级阶段练习）若一次函数与坐标轴围成的三角形面积为9，则这个一次函数的解析式为．3．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，且经过定点，直线与交于点．(1)求k、b和m的值；(2)求的面积．题型09一次函数应用之分配方案问题1．（2023春·上海·八年级专题练习）某公司话费收费有套餐（月租费元，通话费每分钟元）和套餐（月租费元，通话费每分钟元）两种．当月通话时间为（

）时，，两种套餐收费一样．A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟2．（2022秋·北京朝阳·九年级统考期末）某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如下表所示：盒子型号ABC盒子容量/升234盒子单价/元569其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，则购买费用为元；（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为．（写出一种即可）3．（2023·浙江·模拟预测）某礼品经销商在春节前购进了甲、乙两种规格的礼品盒盒，共花费了元．已知甲、乙两种规格的礼品盒的进价和售价如下表：类别甲规格乙规格进价(元)售价(元)(1)该礼品经销商购进甲、乙两种规格的礼品盒各多少盒？(2)由于市场供不应求，该礼品经销商计划再购进两种礼品盒共盒，而此次投入不超过元，为使得获利最大，应如何进货．题型10一次函数应用之最大利润问题1．（2023春·八年级课时练习）如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（）A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润2．（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）某公司新产品上市天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是元；已知当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，则第天的日销售利润为元．3．（2022春·河北保定·八年级统考期末）某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：商品甲乙进价（元/件）售价（元/件）若用元购进甲种商品的件数与用元购进乙种商品的件数相同．(1)求甲、乙两种商品的进价是多少元？(2)若超市销售甲、乙两种商品共件，其中销售甲种商品为件.设销售完这40件甲、乙两种商品的总利润为元，求与之间的函数关系式，并求出的最小值．题型11一次函数应用之行程问题1．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图，一条笔直的公路上依次有A、B、C三个村庄，甲从A村匀速骑自行车到B村，乙从C村经B村匀速骑摩托车到A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲骑车的时间为，甲、乙两人离A村的距离为，y与x之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（

）A．乙先到A村 B．甲的速度为C．乙的速度为 D．图中t的值2．（2023秋·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行二百步，善行者追之．问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是．3．（2022秋·山西太原·八年级统考期末）2月11日左右，河北省教育厅公布《河北省初中学业水平体育与健康科目考试方案》（下称《方案》）．方案提到，河北中考体育总分50分，跑步为必考项目．甲、乙两名同学相约在同一路段进行跑步训练，二人在起点会合后，甲出发3分钟时，乙出发，结果乙比甲提前2分钟到达终点．二人到达终点即停止，全程匀速．如图，设甲离开起点后经过的时间为x（分），甲离开起点的路程y（米）与x（分）之间的函数关系式为，图像为线段；乙离开起点的路程（米）与x（分）之间的函数关系用线段表示，请根据图像中的信息解决下列问题：(1)图像中m的值为_______，n的值为_______；(2)求线段BC对应的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）；(3)直接写出点D的坐标，并解释点D坐标表示的实际意义．题型12一次函数应用之几何问题1．（2022秋·广东深圳·八年级北大附中深圳南山分校校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，b的取值范围是（

）．A． B． C． D．2．（2023春·安徽宿州·七年级统考阶段练习）如图，李大爷要围成一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为．设边的长为，AB边的长为，则y与x之间的关系式是．3．（2022秋·广东清远·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O是坐标原点，点A，B，C的坐标分别是．有一动点P（不与点O重合）沿折线运动，到达点C时停止运动．(1)求所在直线的函数表达式；(2)当点P在线段上运动时，求线段长度的最小值．题型13一次函数应用之其他问题1．（2023·陕西西安·校考二模）在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力F（N）和所悬挂物体的重力G（N）的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断以下结论不正确的是（）A．物体的拉力随着重力的增加而增大B．当拉力时，物体的重力C．当物体的重力时，拉力D．当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为2．（2023秋·上海虹口·九年级上外附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知为整数，若函数与的图像的交点是整数点，则的值为．3．（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）有一种市场均衡模型是用一次函数来刻画的：根据市场调查，某种商品的市场需求量（吨）与单价（万元）之间的关系可看作是一次函数，该商品的市场供应量（吨）与单价（万元）之间的关系可看作是一次函数．(1)求关于的函数关系式；(2)当需求量等于供应量时，市场达到均衡，此时的单价（万元）称为均衡价格，需求量（供应量）称为均衡数量，求所述市场均衡模型的均衡价格和均衡数量；(3)根据以上信息分析，当该商品供不应求时，其单价在什么范围?A夯实基础1．（2023春·陕西汉中·七年级校考期中）一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港，行驶路程随时间变化的图象如图所示，下列结论错误的是（

）A．轮船的速度为km/h B．轮船比快艇先出发C．快艇的速度为km/h D．快艇比轮船早到2．（2023春·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期末）汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（时）之间的函数关系式为（

）A． B． C． D．3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考开学考试）如图所示，一次函数与轴的交点为，交轴于，那么不等式的解集为．4．（2023秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考开学考试）一支原长为的蜡烛，点燃后其剩余长度与燃烧时间之间的关系如下表：燃烧时间/分…剩余长度/…则这支蜡烛最多可燃烧分钟．5．（2023春·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）据研究，地面上空处的气温（℃）与地面气温（℃）有如下关系：．现用气象气球测得某时离地面处的气温为8.8℃，离地面处的气温为6.8℃．(1)求，的值．(2)求地面上空处的气温．6．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中的信息，解答问题：碗的数量（个）高度(1)求整齐叠放在桌面上碗的高度（单位：）与碗的数量（单位：个）之间的函数关系式；(2)当碗的数量为个时，这摞碗的高度是多少？B能力提升1．（2023·安徽宿州·统考模拟预测）学过一次函数的知识后，某数学兴趣小组通过实验估计某液体的沸点，经过几次测量，得到如下数据：时间（单位：）液体温度（单位：）当加热时，该液体沸腾，则其沸点温度是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市萧红中学校考开学考试）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图，若该用户本月用水21吨，则应交水费（

）A．元 B．48元 C．45元 D．42元3．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，直线交坐标轴于，两点，则不等式的解集为．4．（2023春·四川眉山·八年级校考阶段练习）若一次函数与两坐标轴围成的三角形面积为3，则．5．（2023秋·江苏南通·九年级统考阶段练习）甲、乙两家葡萄园采摘葡萄的收费标准如下．甲葡萄园：入园采摘葡萄不超过需付费40元，超过的部分每千克需另付5元．乙葡萄园：入园门票为每人12元，采摘的葡萄每千克另付b元，总费用y与采摘质量x之间的关系如图所示：(1)写出题中的变量：______；（至少写两个）(2)______；(3)若分别在甲、乙两家葡萄园采摘了8千克葡萄，所付费用相同．求y与x之间的函数表达式；(4)若分别在甲、乙两家葡萄园采摘了m千克葡萄，所付费用相差40元，请直接写出m的值．6．（2023·陕西西安·校考一模）李老师计划组织学生暑假去北京研学旅行，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同，针对组团旅游的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按八五折收费，超过人时，其中人每人仍按报价的八五折收费，则超出部分每人按七折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社研学旅行的人数均为人．(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团研学旅行的总费用（元）与（人）之间的函数关系式；(2)若李老师组团参加研学旅行的人数共有人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助李老师选择收取总费用较少的一家．C综合素养1．（2023秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）物理课上，于老师让同学们做这样的实验：在放水的盆中放入质地均匀的木块，再在其上方放置不同质量的铁块．已知木块全