人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第07讲 拓展一：异面直线所成角（原卷版）

第07讲拓展一：异面直线所成角（传统法与向量法）一、知识点归纳1、（传统法）核心技巧：平移使相交具体操作，通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角2、（向量法）用向量运算求两条直线所成角已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为两异面直线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的任意两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0.二、题型精讲题型01求异面直线所成角（定值）(传统法）【典例1】（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）在平行六面体SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则异面直SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值为（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023春·河南开封·高一河南省杞县高中校考阶段练习）正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为______．

【变式1】（2023春·吉林四平·高一校考阶段练习）在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023春·河南郑州·高一河南省新郑市第一中学校考阶段练习）如图，SKIPIF1<0是半圆柱底面的直径，SKIPIF1<0是半圆柱的高，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为________．

题型02求异面直线所成角（定值）(向量法）【典例1】（2023春·湖北武汉·高二校联考期中）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在多面体SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是正方形，则SKIPIF1<0______；异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为______．【变式1】（2023春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考阶段练习）如图所示，已知正方体SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是正方形SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中心，则SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023春·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期中）如图，圆柱的轴截面为矩形SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在上、下底面圆上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式3】（2023春·浙江·高一期中）已知直三棱柱SKIPIF1<0的侧棱与底面边长都相等，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，那么异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值等于________．题型03易错题型求异面直线所成角忽略角的取值范围【典例1】（2023春·江苏·高二校联考阶段练习）如图所示，在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0=λSKIPIF1<0，若异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0的余弦值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，将SKIPIF1<0的菱形SKIPIF1<0沿对角线SKIPIF1<0折起，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为正三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型04求异面直线所成角（最值或范围）【典例1】（2023·辽宁大连·校考模拟预测）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为SKIPIF1<0的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角的余弦值的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<02，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0在上底面SKIPIF1<0上，且满足三棱锥SKIPIF1<0的体积等于1，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的正切值的最小值为_________.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知正四面体SKIPIF1<0内接于半径为SKIPIF1<0的球SKIPIF1<0中，在平面SKIPIF1<0内有一动点SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是______；直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角的取值范围为______.【变式1】（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）如图，四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．现将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，当二面角SKIPIF1<0处于SKIPIF1<0过程中，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图所示，正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为底面SKIPIF1<0的中心，点SKIPIF1<0在侧面SKIPIF1<0的边界及其内部移动，若SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值的最大值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式3】（2023·全国·高三专题练习）三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0两两垂直，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0内的动点，且满足SKIPIF1<0，记直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的所成角的余弦值的取值范围为_____________．题型05已知线线角求参数【典例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且底面SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内运动（不与SKIPIF1<0重合），且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为___________.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且四边形SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成锐二面角的余弦值；（2）点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角最小时，求线段SKIPIF1<0的长.【典例3】（2022·天津·校联考一模）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值；(3)点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0