高等混凝土A技术报告

高等钢筋混凝土结构学参考书：王传志、滕智明主编，《钢筋混凝土结构理论》，中国建筑工业出版社，1985周氐、康清梁、童保全编，《现代钢筋混凝土基本理论》，上海交通大学出版社，

1989赵国藩主编，《高等钢筋混凝土结构学》，中国电力出版社，1999讲授者：刘肖凡

2013.091第一章

材料23·*

英制单位的意义及换算1

lbf=4.448

N；1

in=25.4mm；1

ft=12in=304.8mm。1psi=1

lbf

/in2=0.006894N/mm2；1

Ksi=1000psi=6.894

N/mm2

；1

K=1000

lbf。4第一节

钢筋一、建筑钢材的分类和命名1、分类低碳钢：含碳量<0.25%；中碳钢：含碳量0.25%~

0.6%；高碳钢：含碳量0.6%~

1.4%；2、命名含碳量(10/000)+合金元素+该合金元素的含量(1%)

+注：合金元素的含量>2.5%时标3，<1.5%时不注数量。例：热处理钢筋40Si2Mn表示含碳量40/000

(0.4%)；硅(Si)含量2%；锰

(Mn)含量小于1.5%。二、钢筋的强度及应力—应变曲线（略）三、钢筋的塑性性能延伸率：是衡量钢筋塑性性能的一个指标。我国对10和5

(即标距为l＝10d和标距l=5d)钢筋延伸率用

延伸率来表示。钢筋的延伸率大小，影响到结构的破坏是塑性还是脆性。屈服点的应变值到极限应变值的大小，反映了钢筋的延性。5冷弯性能：反映钢筋的加工性能，塑性变性能力，材质均匀性。为了使钢筋使用时不会脆断，在加工时不会断裂，要求钢筋具有一定的冷弯性能。冷弯是将直径为d的钢筋围绕直径为D的弯心(D规定1d、2d、3d等)弯曲成一定的角度（90º或180º），弯后无裂纹、鳞落和断裂现象。6四、无明显屈服台阶钢筋的应力应变曲线的数学模型1

没有明显屈服台阶的高强钢筋或钢丝的应力应变曲线的数学模型，一般采用

Ramberg—Osgood多项式的形式，共表达式为：s、

s——钢筋的应力和相应的应变值，K、n——参数，根据钢筋类型来确定。2

K的确定：取一点

p(>

e),73

n值约在7—30之间，n值愈大非弹性部分应力应变曲线愈平缓。4

钢筋应力应变曲线完整的方程式：考虑到：s→

e时,

s=

s/Es；s→

p时,

s=

p=ep+p/Es。89五、钢筋的徐变和松弛徐变：在不变的高应力作用下，随时间增长钢筋应变继续增加。松弛：钢筋受力后，长度保持固定不变，其应力随时间增长而降低的现象。下图中：曲线(I)—瞬时钢筋的应力应变曲线；曲线(Ⅱ)—钢筋假定经过无限长的时间后的应力应变曲线；曲线(t)—经过任意(t)时间后的应力应变曲线。：1、松弛与徐变的关系△T(∞)—钢筋初始应力为T的最终松弛值；△T(t)—经过(t)时间后的松弛值；f(∞)—钢筋最终的徐变值；f(t)—钢筋经过t时间的徐变值。徐变和松弛的关系：ET——应力—应变曲线中在T应力处的斜率。102、影响松弛的因素：松弛随时间而增长，且与初始应力大小，温度和钢材种类等因素有关。1

松弛与时间的关系中国建筑科学研究院等单位对我国冷拉热轧钢、冷拔低碳钢丝、钢绞线进行了试验研究表明：·钢筋的松弛发展较混凝土快得多；·随时间增长松弛率逐渐减小；·如用时间为对数坐标时，基本为直线关系。11❏一般松弛设计使用时常假定1000小时的松弛为100％国际预应力混凝土协会(FIP)给出100小时的松弛约占1000小时值的55％左右。我国一些单位的试验结果表明，第1小时和24小时完成的松弛已超过上述值；实际上钢筋松弛超过1000小时后仍继续增加。法国Guyon给出1000小时的松弛约占总的可能损失值的72％左右。❏松弛和时间关系一般采用指数曲线，FIP给出松弛随时间关系公式如下：❏式中

pi为初始应力；

△

pt、

△

pT为在时间t和T应力损失；K为系数，与预应力钢材类型有关，表示在T时间以后直线的斜率。122

松弛和张拉应力的关系：松弛损失与钢筋初始张拉应力夹小有关，张拉控制应力值低时，应力松弛损失值小，张拉应力控制值高时，应力松弛损失值大。中国建筑科学研究院对热处理钢筋的松弛研究说明：当

con=0.6

b时，一次张拉应力的松弛损失为(1.08~1.73)％con

；当松弛损失为(1.45~2.04)％con=0.7

b时，一次张拉应

con。铁道科学院验成果13143

松弛和钢筋种类的关系：松弛损失值也与钢筋类型有关，一般冷拉热轧钢筋松弛损失较冷拔低碳钢丝、碳素钢丝和钢绞线的低，钢绞线的应力松弛较用同样材料钢丝的松弛都大。冷拉热轧钢筋控制应力当

con=(0.85~0.90)

s时,1小时松弛损失平均在3.4～4.5％左右；冷拔低碳钢丝控制应力

con=0.7

b时，

1000小时5.46％；碳素钢丝控制应力

7.85)％；钢绞线在控制应力con=0.7

b时，1000小时为(5.0con=(0.65~0.70)

b时仅336小松弛损失已达(6~7)％。b加。T.Cahill，G.D.Branch给出了在初始应低于0.75

时，在1000小时，在不同温度时钢筋徐变和松弛损失值。4

松弛和温度的关系： 松弛随着温度增加而增15163、减小松弛损失的措施为了减少钢材的松驰损失，曾采用一些措施：超张拉：中国建筑科学研究院的试验结果认为超荷张拉一般可减少松弛损失40～50％。采用低松弛钢材(高强钢筋、钢丝和钢绞)：国外：①应力消除的高强钢丝和钢绞线；②松弛的高强钢丝、钢绞线。国内：①普通松弛（I类）；②低松弛（II）❏形变热处理工艺：在一定温度（如350C）和拉应力下预先张拉钢丝，可大大减少钢丝的松弛。一般低

松弛钢丝的松弛损失只有应力消徐钢丝的1／3～1／4。承受单向重复荷载（即受拉或受压）时的加载、卸载在破坏前的应力一应变曲线；当承受反复拉压荷载时的钢筋试件，当应力达到塑性阶段时，其反复荷载下的应力一应变曲线1“包兴格(Bauschinger)效应”：钢筋经过拉伸

(或受压)超过弹性变形而产生塑性变形后，其反向受压(或受拉)的弹性极限，将显著降低，荷载超过弹性极限愈多，则反向受力时的弹性极限降低愈多。六、钢筋的包兴格效应17182应力逐次增加时的反复荷载下的应力一应变曲线 加滕、Park等人分析了在应力逐次增加的情况下反复荷载下的应力一应变曲线图。这种应力应变曲线由三部分组成—骨架部分、卸载部分、包兴格效应的软化部分。骨架部分——从前一次卸载应力开始的加载部分。图中重黑线部分。将每次反复荷载的骨架部分拉压应力一应变曲线相互连接，与同类型的钢材试件在单调加载下的应力一应变曲线相同。所以，可以认为骨架部分的应力一应变曲线为单调加载应力一应变曲线的一部分。卸载部分：图中细实线，

~

关系为直线，斜率与始加载弹性阶段相同。软化部分：图中虚线，弹性极限很低。3

影响包兴格效应的因素钢材的原始性能（晶粒大小、退火、回火等）；加载速度；加载历史：①初始加载时塑性应力越大，反向应力软化降低越多；②循环次数越多，变形刚度越大，软化影响越小。应力-应变的骨架、卸载及包兴格效应部分194

包兴格效应的数学模型·

西恩（A.Singh)指数公式：|fs|=4440-3630(0.838)1000s(kg/cm2)形式简单，与不同加载历史的情况符合较差。A.Singh的指数公式20s、

s—前次同号循环荷载的最大骨架应力及相应应变；a—参数，a=E/(E-EB)；E=d

/d

；EB=-[Elog10(10s)]/6。·加滕双曲线公式：加滕的双曲线公式21·

Kent，Park公式：fs、

s

—钢筋的应力和应变；fch、

ch

—与钢筋屈服强度及上次加载时的22钢筋塑性应变有关的应力应变值；r—与加载次数有关的参数，fch、

ch、r的确定见[1]PP23~24。23七、钢筋的疲劳1、疲劳的概念；疲劳—在周期反复荷载作用下，经过一定的次数后，钢材破坏从塑性→脆性，smax<fy。smax<b，有时疲劳强度—在某一规定的应力幅度内，经受一定

次数循环荷载要求后才发生疲劳破坏的最大应力(fyf)。低周疲劳区：1~1万次；有限疲劳寿命区：1万~100万次；长疲劳寿命区：100万次以上。242、影响钢筋疲劳的因素（1）应力幅度值S应力幅度值—一次循环应力中的最大应力值与最小应力值之差。S=fmax-fmin有限疲劳寿命区（n<100万次），n与S成斜直线关系，S↑，n↓。长疲劳寿命区(n>100万次），S的影响很小。（2）应力特性

：=fmin/fmax，↓，fyf↓。➢

=-1，完全循环，fyf最低；➢

=1，相当于承受长期静载。25（3）最小应力值fmin当fmin为拉应力时，fmin↑，fyf↓；当fmin为压应力时，fmin↑，fyf↑。（4）钢筋表面形状：变形钢筋，肋底应力集中，fyf↓。钢筋直径：d↑，fyf↓。钢筋强度：fy↑，fyf↓。（只在有限疲劳寿命内）3、我国钢筋疲劳强度的取值ks—考虑钢筋强度分散性，设计计算假定与实际值的不同，施工质量造成截面尺寸及陪配位置偏差等因素影响安全的系数，可取ks=1/(1.15

1.0)=0.79；s—钢筋疲劳折减系数，指在不同

(=fmin/fmax)要求满足循环荷载次数为2

106下的最大应力值与钢筋标准抗拉强度的比值。b—钢筋的静力极限抗拉强度。铁道科学院的试验：16Mn钢钢筋，d=16mm，

=0.2，

s=0.54；d=25mm,且

相差0.1，

s相差1.1倍(

大，s=0.45。s大；

小，2627第二节

混凝土·1

试块尺寸及强度换算关系：我国：fcu，标准试块150mm150mm150mm。不同尺寸试块的强度折减系数：·

200mm200mm200mm，1.05·

100mm100mm100mm，0.95美国、日本、新西兰等国：fc，圆柱体试块dh=6in

12in，约152.4mm

304.8mm。fc

/fcu

≈0.79~0.8128一、简单受力条件下的混凝土强度1、混凝土的立方体抗压强度（略）2、混凝土的轴心抗压强度和轴心抗拉强度（略）3、混凝土的抗剪强度纯剪强度剪摩强度0—截面正应力等于0时的抗剪强度—截面正应力不等于零时的抗剪强（1）纯剪强度0·测试方法1

直剪试验：截面上除受剪外，还有受弯等引起的斜向受压的影响，并不是真正的纯剪强度。·测试方法2三轴试验—按莫尔强度理论：·各个主应力圆的包络线所代表的剪应力与正应力关系，就是混凝土内剪切滑移面上相应正应力下抗剪强度的变化。·包络线与纵轴相交点处的剪应力值为混凝土的纯剪强度，或受纯剪力时的抗剪强度(

0)。29❏方法2所得结果：在一般混凝土强度条件情形下,混凝土的纯剪强度约为其圆柱体抗压强度(fc)的1/6～1/4范围内变化，其平均值为轴拉强度的2倍左右。也可采用下列公式：（2）剪摩强度

：混凝土的抗剪强度实际上是相当复杂的。与纯剪强度

0有关；与正应力

有关；与摩擦系数有关，摩擦系数f

为摩尔圆包络线倾角的正切值，即

f=tg。·对整浇混凝土内的摩擦系数常定为1.4；·当混凝土新浇在已硬结混凝土平面上时，其摩擦数常定为1.0。30中国建筑科学研究院结构所的统计资料：31324、混凝土的抗扭强度实际结构中很少单独存在扭矩作用的情况，过去常把抗扭强度作为次要问题考虑。由于各种异形结构的出现，突出了抗扭作用的重要性。混凝土构件受纯扭，会产生斜拉应力。这种斜拉应力是由扭矩在截面内产生的剪应力所引起。混凝土抗剪强度远大于抗拉强度，因此，当斜向主拉应力达到抗拉强度时，就会出现倾角为45

的斜向裂缝。抗扭强度与抗拉强度之间的关系，即和试件大小形状有关，也因所用计算方法而不同。弹性理论：剪应力按直线分布；塑性理论：砂堆比拟法。二、混凝土的微裂缝及破坏1、混凝土内部裂缝的形成和传播·荷载作用前，混凝土内部已有微裂缝存在。粘结裂缝：较大骨料颗粒与砂浆或水泥石接触面处形成。成因：混凝土硬化时，水泥石干缩。对混凝土的影响：·导致破坏；·使混凝土产生非线性性质。·在荷载作用下，裂缝可在骨料与砂浆接触面上传播和发展，在水泥石砂浆体内或甚至在骨料颗粒内产生，并传播发展。33342、混凝土内裂缝开展过程混凝土的破坏过程，实际上就是其内部裂缝的产生、发展、扩展的过程，分四个阶段：1

干缩裂缝开裂阶段：受荷载前，裂缝一般为较大粗骨料表面上的粘结裂缝。2

稳定裂缝产生阶段：对单轴中心受压时，破坏荷载的30~50％以下荷载作用下应力一应变关系为直线变化；以出现新的粘结裂缝为主，同时在砂浆内出现裂缝；当荷载保持不变或卸载时,不再产生新的裂缝混凝土基本处于弹性工作阶段；35裂缝为分散的局部细短裂缝，没有联成长缝。只要不存在反向加载和反复循环加截，这种局部断裂稳定裂缝对混凝土强度不会有很大的有害影响。3

稳定裂缝传播阶段：单轴中心受压试件，加载至破坏荷载的30~50以上时；应力一应变曲线逐渐偏离直线形变化；在此阶段内，主要是已有裂缝的长度和宽度随之传播延伸扩展，即主要是粘结裂缝向砂浆内延伸传播，与砂浆内增长的砂浆裂缝形成连缝；荷载不增加，裂缝也不扩展；对破坏强度有一定影响，重复荷载下导致疲劳破坏。364不稳定裂缝扩展阶段：荷载或应力达到或超过所谓临界值(N>Ncr，Ncr

0.7~0.9Nu,c=0.0012~0.0018由砂浆内产生的砂浆裂缝急剧地增加发展，联成通缝，成为在常值荷载下可以自行继续传播扩展的非稳定裂缝。荷载是否继续增加或保持常值裂缝都会扩展传播。贯通混凝土试块整体的连续通缝，使混凝土

分裂成为若干彼此分离的小柱体，在继续加载下，将导致整体的最后破坏。·由此可见，即使是在受压的条件下，混凝土的破坏也是由于裂缝扩展引起的，是由连续材料变为不连续材料的过程。37三、复杂应力下的混凝土强度（一）混凝土在双轴应力状态下的变形和强度特性符号规定：1>σ2；拉应力为正，压应力为负，且拉应变为正，压应变为负，且ε1>ε2；fcˊ为混凝土圆柱体单轴抗压强度；➢

=

1/

2。1、应力一应变及变形特性在不同应力比下，σ-ε曲线的初始斜率不同双轴压状态，初始斜率随侧压力的增大而增大双轴拉压状态，初始斜率随拉应力的增大而减小；双轴拉状态，初始斜率随侧拉力的增大而38增大双轴压状态下混凝土的应力一应变关系曲线双轴拉压状态下混凝土的应力一应变关系曲线39双轴拉状态下混凝土的应力一应变关系曲线双轴应力状态下，混凝土的延性随应力比的不同而变化双轴压状态下的延性比单轴压状态大很多(对应峰值应力的平均最大压应变大约为0.0037，平均最大拉应变约为0.003～0.004

)；在双轴拉压状态，最大主压应变和最大主拉应变的大小都随拉应力的增加而减小；在双轴拉状态，最大主拉应变随应力比α的变化不明显；双轴压和双轴拉压应力状态下，σ-ε曲线随应力的增大而表现出明显的非线性，且有下降段40状单大，，定..55，，随2、强度混凝土在双轴压态下的抗压强度比轴压状态下的强度并且增大的幅度决于应力比α（在α＝0时，增加25％左右在应力比α=1时，一般仅增加16％）。在双轴拉压状态混凝土的抗压强度混凝土在双轴压力状态下的强度包络线拉应力增大而成降低。在双轴拉状态，近似认为双轴拉强度与单轴拉相41

同Kupfer和Gerstie公式（1973）（

=

1/

2）42Nelisson公式(=

1/

2，

1、

2以拉为正，fc43Liu、Nilson、Slate公式（双向受压）443、破坏形态混凝土的破坏是由于与最大受拉应力(或应变)方向正交的表面受拉断

裂而引起的受拉应变在破坏准则和破坏机理很重要。双轴压力状态下混凝土的破坏形态45(二)混凝土在三轴应力状态下的变形和强度特性1．应力一应变应力比α=σ1/σ3，ρ=σ2/σ3。三轴压状态，σ-ε曲线的初始斜率决定于材料的弹性性质及侧向压应力。在同样应力比下，单轴弹性模量越大，初始斜率也越大；在同样单轴弹性模量下，侧向压应力越大，初始斜率越大。随侧向压应力的增大，σ-ε关系曲线的线性段及极限强度、极限应变均增大，延性及下降段的稳定性比双轴压状态大大改善；残余应力水平增加，三轴受压状态，σ-ε曲线的非线性性质非常明显。46(a)(b)(c)三轴压力状态下混凝土的应力—应变曲线47三轴拉压状态下混凝土的应力—应变关系曲线48三轴受拉状态下混凝土的应力—应变关系曲线49三轴受压时中间主应力越大，峰值应力和应变越大;三轴受压状态，混凝土的非弹性体积膨胀随侧压力的增大而减小。三轴受压状态，按侧压力的大小，混凝土表现出半脆性、塑性软化或塑性硬化等材料特性；混凝土在二压一拉和二拉一压状态下的σ-ε关系，随应力比中拉应力的增大，非线性性能减弱，峰值应力和应变减小；混凝土在三轴受拉状态下的σ-ε关系曲线，可近似看成线性关系，且峰值应力小于单轴拉曲线的峰值应力。502、强度三轴压应力状态下的强度，σ3／fc比单轴压提高很多（由σ1、σ2的侧向约束所致，压应力比由1：0.25：0.变为1：0.25：0.25时，其σ3／fc值增大了1倍多）；对二压一拉情况，混凝土破坏强度显著降低（混凝土的拉压混合受力状态是最危险的情形，在应力比为

1：0.5：-0.1下，抗压强度降低为单压的30％，抗拉强度降低为单拉的36％）；三轴受拉状态下混凝土强度低于单轴抗拉强度。传统的混凝土结构设计中按单轴抗压、抗拉强度作为设计准则，不仅有保守的一面(对于三轴压状态)，而且也有不安全的一面(对于拉压及多轴拉状态)。51（1）三轴受压

（有不同组合）1>

2=

3（侧向等压）：侧压较小时：侧压较大时：1c>fc+4.1r(

r=

2=31c>fc+k.r

(

r=

2=

3，r/fc

1时，k=4.0~5值与

r/fc的大小有关，当1=

2>

3>0（侧向不等压）：当轴能支承的强度比侧向等压（3保持常值时，2=

3

）时较高一些（受

2>

3的影响）。1>

2>

3>0（三向不等压）：1c与2、

3有关3/fc一定时，

2c/fc~

1c/fc的关系与双轴受压类似但强度值较高，且随3/fc的增大而增大。521>0（压），2>0（压），3<0（拉）1>0（压），2<0（拉），3<0（拉）受压轴的抗压强度随拉应力的增加而降低，受拉轴的抗拉强度随压应力的增加而降低。三轴受拉，试验资料很少，一般认为受拉强度等于或小于单轴抗拉强度。（2）三轴不等号受力3、破坏面在三轴荷载下，破坏面是三个主应力的函数；假定混凝土是各向同性的，其弹性极限面(稳定裂缝传播的开始)、不稳定裂缝开始传播面以及破坏极限面都可以用一个三维主应力空间曲面来表示。5354三维主应力空间中破坏面的一般形状由等斜面中的横截面形状及于午面上的子午线形状来描述。对于各向同性材料，轴1、2、3可以调换，故破坏面的横截面形状是三重对称的封闭曲线；ξ轴为静水压力轴——主应力空间中与互相垂直的三个主应力轴距离相等的各点的连线（静水压力轴上每一点的应力状态均符合σ1=σ2=σ3）。主应力空间中任一点至静水压力轴的距离用r表示。垂直于静水压力轴的平面称为偏平面；三个主应力轴在偏平面上的投影互成120∘角；偏平面上，r与σ1轴投影间的夹角称为罗德角用θ表示。静水压力轴和一个主应力轴组成的平面称为子午面。子午面通过另两个主应力轴的等分线；子午面与破坏包络面的交线称为子午线。三维应力空间混凝土破坏面的横截面（偏平面）(a)坐标系及主应力空间中应力的分解；(b)偏平面；(c)不变量ξ、r、θ几何表示55破坏面的子午面56在等斜面(即偏平面)上的破坏曲线具有以下特性：破坏曲线是光滑的破坏曲线是外凸的破坏曲线的形状在拉应力或压应力很小时近似为三角形(相当于较小的ξ)，当压应力增高时，偏平面曲线接近圆形(相当于ξ增大或较高静水压力)。当应力状态为静水应力与单向拉应力迭加时，θ=0∘故θ=0∘的于午线称为受拉于午线。将单向拉应力换为压应力，则相应于受压于午线，θ=60∘。4、破坏形态三轴应力状态下，根据应力比的不同，混凝土的破坏形态可分为拉断、柱状压坏、层状劈裂、斜剪破坏和挤压流动。混凝土的破坏形态5758拉断破坏：属于这种破坏的应力状态有三轴拉压(当|σ1/σ3|≥0.1)和三轴拉状态。一般沿最大主拉应力σ1直方向突然发生断裂，裂缝通常只有一条。柱状压坏：主要见于三轴压状态σ1/σ3和σ2/σ3均较小的情况（如σ1/σ3≤0.1，σ2/σ3≤0.1，随σ3的增大，非应力方向逐渐变成拉应变）。层状劈裂破坏：在三轴拉压状态，当拉应力σ1所占比例很小，而σ2/σ3又较大，则破坏时将形成片状劈裂破坏。斜剪破坏：在三轴受压状态，当σ1/σ3相对较大，同时σ2/σ3也足够大。挤压流动。这种破坏只发生在三向等压以及σ1/σ3

和σ2/σ3都较大的状态。59四、混凝土变形（本构关系

~

）影响混凝土

~

关系的因素：材料（水泥、砂）品种、骨料性质、配合比；实验方法、应变梯度、侧向约束；压力机刚性等。混凝土本构模型可分为应力空间的本构模型和应变空间的本构模型。应力空间的本构模型还可分为四类：以弹性力学为基础的模型；以塑性力学为基础的模型；以内时理论为基础的模型；和以损伤力学为基础的模型。应变空间的本构模型主要以塑性力学为基础。（一）混凝土单轴受力时的

~

曲线1、Hognested公式：二次抛物线上升，直线下降。602、Lee公式：认为轴压与偏压相同，用一条二次抛物线描述。613、Rüsch公式：二次抛物线+水平直线624、Smith和Young公式：指数方程=

0处，

=

0，d

/d

=063645、清华大学公式：清华大学在1979年进行了混凝土

~

全曲线研究。~

曲线应满足的条件（设x=

/

0，y=

/

0)x=0，y=0；0

x

1时，dx/dy单调下降，曲线无拐点，即d2y/dx2<0；曲线为单峰值：x=1，y=1时，dx/dy=0；xf

1处，有一拐点，d2y/dx2=0；xe

1处，有一个点的曲率最大，d3y/dx3=0；x

时，y

0，dx/dy=0；x

0，y

0。公式形式上升段（x1）：y=a.x+(3-2a).x2+(a-2).x3下降段（x>1）：、a有实验确定，例如对C40混凝土，可取a=1.7,或2.0。

=2.0，

0=0.0018。656、GB50010-2002推荐公式（附录D）混凝土单轴受压的应力-应变曲线方程：当x≤1时：y=

a.x+(3-2

a)x2+(

a-2)x3当x>1时：

y=x/[

d(x-1)2+x]cx=

/y=

/f*c6667f*c(N/mm2)1520253035404550556c(×10-6)13701470156016401720179018501920198020a2.212.152.092.031.961.901.841.781.711.d0.410.741.061.361.651.942.212.482.743.u/

c4.23.02.62.32.12.01.91.91.81.注：

u为应力-应变曲线下降段上应力等于0.5f*c时的混凝土压应变。式中：

a、d—单轴受压应力-应变曲线上升段、

下降段的参数值，按下表采用；f*c—混凝土的单轴抗压强度(fck、fc或fcm)；c—与f*c相应的混凝土峰值压应变，按下表采用。68混凝土单轴受拉的应力-应变曲线方程: 当x≤1时：y=1.2x-0.2x6当x>1时：y=x/[tt—单轴受拉应力-应变曲线下降段的参数值，t(x-1)1.7+x]x=

/

y=

/f*t式中按下表取用；f*t—混凝土的单轴抗拉强度(ftk、ft或ftm);t—与f*t相应的混凝土峰值拉应变，按下取用。f*t

(N/mm2)1.01.52.02.53.03.54.0t(×10-6)658195107118128137t0.310.701.251.952.813.825.00（二）混凝土双轴受力时的

~

曲线□

=

1/

2有关，且不是唯一的；应用中，与实验资料及采用的理论有关，不同理论有不同的形式和参数。1、八面体应力-应变模型八面——通过所交的点并与该点主平面成等倾角的平面，共有八个。69八面体应力及应变正应力：剪应力：oct=oct=2-

3)2+(1)2]1/2正应变：剪应变：oct=oct=·(

1+·[(

1-·(

1+

2+

3)·[(

1-

2)2+(2+

3)2)2+(2-

3)2+1)2]1/2割线体积模量Ks和割线剪切模量Gs70Kupfer和Gerstle公式（1973）fc(N/mm2)G0/fcamK0/fccp19

650

2.9

2.0

830

470

1.90324253.42.45564202.2071G0、K0——混凝土的弹性剪切模量和弹性体积模量；6a1、m、2c6、1p、5G.03、K04都.0是与4混15凝土5强00度fc3有.3关5的试验常数，见下表。72公式的应用方法：由(c)、(d)式求得Gs、Ks；再由(a)、(b)式解出材料常数E、

；将E、代入各向同性材料的平面问题中，得到应力-应变关系的表达式：这一模型假定双向应力下混凝土为各向同性。2、等效单轴受力模型由泊松比的影响，在双向受力下，材料刚度增大。单向受压时的弹性模量为E，双向受压下在

i方向的弹性模量成为E／(1-

)，其中

为两向压应力的值

=

1/

2，

为泊松比。73Saenz公式i—主应力（i=1,2

）；iu—等效单轴受力应变；E0—原点切线弹模，与单轴时相同；ic

/

icEs—相应于最大应力

ic时的割线模量，

Es=ic—相应于最大应力ic时的等效单轴受力应变，74753、GB50010-2002推荐公式二维、三维结构或处于多维应力状态的杆系结构的局部；由线弹性分析、非线性分析或试验方法求得应力分布和混凝土主应力值

i；混凝土多轴强度验算应符合下列要求：│

i│≤│f

i│

(i=1,2,3)式中

i——混凝土主应力值：受拉为正，受压为负且

1≥

2≥

3；f

i——混凝土多轴强度：受拉为正，受压为负，且f1≥f2≥f3，宜按混凝土多轴强度相对值（f

i/f*t或f

i/f*c）计算。在二轴(压-压、拉-压、拉-拉)应力状态下，混凝

土的二轴强度可

按右图所示的包

络图确定。在三轴拉-压(拉-拉-压、拉-压-压)应力状态下，混凝土的多轴强度可不计

2的影响，按二轴拉-压强度取值。76在三轴受压(压-压-压)应力状态下，混凝土的抗

压强度(f3)可根据应力比

1/

3按右图插值确定，其

最高强度值不宜

超过5f*c。在三轴受拉(拉-拉-拉)应力状态下，混凝土的抗

拉强度(f1)可取

0.9f*t。77五、混凝土破坏准则混凝土在多轴应力下的破坏准则；分为应力空间的破坏准则和应变空间的破坏准则。（一）破坏准则的表达方式用主应力表示：f(

1，

2，

3)=k1用应力及应变的不变量表示：f(I1，I2用

平面及其坐标表示：，I3

)=k22□等应力轴（静水压力轴、等倾轴）—在

1，3坐标系中，与各坐标轴距离相等的点的连线。平面—在

1，

2，

3坐标系中，通过原点O且等应力轴垂直的平面。78平面及点P的坐标79主应力空间内任意点P(

1，2，

3)为考察1=

2=

3；，垂直ON的分量等倾轴用ON表示，在ON上，矢量OP在ON上的分量记为记为r；矢量OP在平面上的投影长度也等于r；1在

平面上投影的夹，r，

)=k3；矢量OP可由模r、r与来确定；破坏准则的表达式：f(与应力不变量的关系：8081（二）混凝土的破坏面、偏平面、子午面破坏面：在三轴荷载下，以上破坏准则的表达式是三个主应力的函数；在

1、

2、

3空间中为一曲面。偏平面：垂直于静水压力轴的平面。同一偏平面上，

=常数；平面即为

=0的偏平面。子午面：静水压力轴和一个主应力轴组成的平面。子午面通过另两个主应力轴的等分线；同一子午面内，

=常数。子午线：子午面与破坏包络面的交线。三维应力空间混凝土破坏面的横截面（偏平面）(a)坐标系及主应力空间中应力的分解；(b)偏平面；(c)不变量ξ、r、θ几何表示82（三）混凝土破坏准则的表达式1、单参数模型单参数模型不能全面地适应混凝土。最大正应力理论用应力表示：1=ft；

2=ft；

3=ft；破坏面垂直于主应力轴。用应力不变量表示：83子午面所截的曲线84平面所截的曲线将r、

、

与I、I的关系代入，可得用

1、表示得关系式。最大正应变理论适用于脆性材料拉断的情况。◆

=(1-3)=k0(也称Tresca条件）或

1-3

=2k最大剪应力理论：可近似用于静水压力