高等数学下册同济第七版

高等数学下册同济第七版汇报人：汇报时间：第八章空间解析几何与向量代数第九章多元函数微分学第十章重积分第十一章曲线积分与曲面积分contents目录01第八章空间解析几何与向量代数第二季度第一季度第四季度第三季度向量的概念向量的加法向量的数乘向量的减法向量及其线性运算向量是一个有方向和大小的量，可以用几何图形、物理量等表示。在数学中，常用一条有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向。若有两个向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$，则可以通过平行四边形法则或三角形法则进行加法运算。一个实数$k$与向量$\overset{\longrightarrow}{a}$的数乘记作$k\overset{\longrightarrow}{a}$，其结果是一个新的向量，其大小是原来向量的大小乘以$k$，其方向与原向量相同。若有两个向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$，则可以通过三角形法则进行减法运算。两个向量的数量积是一个标量，记作$\overset{\longrightarrow}{a}\cdot\overset{\longrightarrow}{b}$，其大小等于两个向量对应分量乘积的和，其方向与两个向量的夹角$\theta$有关。两个向量的向量积是一个向量，记作$\overset{\longrightarrow}{a}\times\overset{\longrightarrow}{b}$，其大小等于两个向量对应分量乘积的矢量和，其方向垂直于两个向量所确定的平面。三个向量的混合积是一个标量，记作$\overset{\longrightarrow}{a}\cdot(\overset{\longrightarrow}{b}\times\overset{\longrightarrow}{c})$，其大小等于三个向量对应分量乘积的和，其方向与三个向量的夹角有关。数量积向量积混合积数量积、向量积、混合积曲面是一维图形在三维空间中的表现形式，它由多个点组成，每个点都对应于空间中的一个位置。曲面的概念曲面方程是描述曲面形状和大小的数学表达式。对于给定的曲面，可以通过在其上任取一点，并建立该点的坐标系来得到该曲面的方程。曲面方程例如，球面、锥面、柱面等都有对应的方程式。这些方程式描述了这些曲面的形状和大小，并且可以通过图形来直观地表现出来。常见曲面及其方程曲面及其方程空间曲线是一维图形在三维空间中的表现形式，它由多个点组成，每个点都对应于空间中的一个位置。与曲面不同，空间曲线没有封闭性，它可以是开放的也可以是闭合的。空间曲线概念空间曲线方程是描述曲线形状和大小的数学表达式。对于给定的曲线，可以通过在其上任取一点，并建立该点的坐标系来得到该曲线的方程。空间曲线方程空间曲线及其方程02第九章多元函数微分学多元函数的基本概念多元函数极限有多个自变量的函数。当自变量趋近某个值时，函数的值是否收敛。二元函数定义域连续有两个自变量的函数。自变量可以取值的范围。函数在各个点上的函数值连续。偏导数函数对某一个自变量的导数。高阶偏导数对一个自变量连续求导两次以上的导数。偏导数的几何意义表示函数在某一点处对某一自变量的变化率。偏导数的计算方法求导法则、链式法则、乘法法则等。偏导数123函数对所有自变量的偏导数乘以其自变量的增量之和。全微分表示函数在某一点处的切线斜率。全微分的几何意义先求偏导数，再将偏导数乘以其自变量的增量。全微分的计算方法全微分链式法则复合函数的求导法则，即一个复合函数的导数等于其内部函数的导数乘以外部函数的导数。乘法法则复合函数的求导法则，即两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第二个函数的导数乘以第一个函数。多元复合函数的求导法则VS一个方程可以确定一个函数，这样的函数称为隐函数。隐函数的求导公式通过对方程进行微分，得到隐函数的导数。隐函数隐函数的求导公式03第十章重积分二重积分的定义与性质是高等数学中的重要内容，包括定义、性质、几何意义等。二重积分是定积分在二维情况下的推广，可以理解为面积分。其定义为：对于一个二元函数f(x,y)，在平面区域D上，将D划分为n个小区域，每个小区域的面积记作dσ，那么二重积分定义为：∫∫f(x,y)dσ。其几何意义为以曲顶柱体的体积。二重积分的性质包括：线性性质、可加性、对称性等。总结词详细描述二重积分的概念与性质总结词二重积分的计算方法包括直角坐标系下的计算方法和极坐标系下的计算方法。要点一要点二详细描述在直角坐标系下，二重积分的计算步骤为：1）将积分区域D划分为n个小区间，得到n个小区间的面积；2）在每个小区间上，将f(x,y)的值乘以该小区间的面积，得到n个曲顶柱体的体积；3）将这n个曲顶柱体的体积相加，得到二重积分的值。在极坐标系下，二重积分的计算步骤为：1）将积分区域D划分为n个扇形；2）在每个扇形上，将f(r,θ)的值乘以该扇形的面积，得到n个曲顶柱体的体积；3）将这n个曲顶柱体的体积相加，得到二重积分的值。二重积分的计算方法三重积分是定积分在三维情况下的推广，可以理解为体积分。其定义为：对于一个三元函数f(x,y,z)，在空间区域V上，将V划分为n个小的四面体，每个小四面体的体积记作dV，那么三重积分定义为：∫∫∫f(x,y,z)dV。总结词三重积分的计算方法包括直角坐标系下的计算方法和球坐标系下的计算方法。在直角坐标系下，三重积分的计算步骤为：1）将积分区域V划分为n个小四面体；2）在每个小四面体上，将f(x,y,z)的值乘以该四面体的体积，得到n个曲顶柱体的体积；3）将这n个曲顶柱体的体积相加，得到三重积分的值。在球坐标系下，三重积分的计算步骤为：1）将积分区域V划分为n个小的球体；2）在每个球体上，将f(r,θ,φ)的值乘以该球体的体积，得到n个曲顶柱体的体积；3）将这n个曲顶柱体的体积相加，得到三重积分的值。详细描述三重积分及其计算总结词重积分的应用非常广泛，包括求面积、求体积、求质量等。详细描述重积分的应用包括求曲顶柱体的体积、求空间物体的质量、求平面的面积等。例如，利用二重积分可以求出平面区域的面积，利用三重积分可以求出空间物体的质量。此外，重积分还可以用于求解某些物理问题，如力学、电磁学、光学等问题。重积分的应用04第十一章曲线积分与曲面积分总结词计算曲线图形在某段弧长内某物理量的累积值。详细描述对弧长的曲线积分主要用于计算曲线图形在某段弧长内某物理量的累积值，如线密度、质量、面积等。求解方法通常为定义法、参数方程法、公式法等。对弧长的曲线积分总结词计算曲线图形上某段区域内某物理量的累积值。详细描述对坐标的曲线积分主要用于计算曲线图形上某段区域内某物理量的累积值，如热量、功率等。求解方法通常为定义法、参数方程法、公式法等。对坐标的曲线积分一个联系平面区域上对坐标的曲线积分与对弧长的曲线积分的公式。总结词格林公式是一个联系平面区域上对坐标的曲线积分与对弧长的曲线积分的公式，它提供了将曲线积分转化为面积分的方法，从而简化了计算过程。格林公式适用于某些特定类型的二元函数和曲线图形，如圆形、椭圆形等。详细描述格林公式及其应用总结词计算曲面图形在某部分面积内某物理量的累积值。详细描述对面积的曲面积分主要用于计算曲面图形在某部分面积内某物理量的累积值，如质量、体积等。求解方法通常为定义法、参数方程法、公式法等。在具体问题中，还需考虑积分曲面的方向、不