现代数学基础学习报告

现代数学基础学习报告Banach压缩映像原理及其应用院系：信息与电气工程专业：电子与通信工程导师：刘爱军姓名：崔少鹏学号：12S130046摘要在科学技术迅速发展的今天，各学科对数学的要求越来越高，如工程、经济、管理中涉及的数学知识越来越多、越来越深刻。泛函分析是数学中比较年轻的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数，内容极其丰富，体系更加系统、严谨，观点尤为深刻，作为一种研究工具已经渗入到工程、化学、生物以及数学的许多分支。在微分方程、概率论、力学、控制论等许多学科得到广泛的应用。对于数学工作者和以数学为工具的工程技术人员来说，泛函分析是一个非常有效的数学工具。本文将利用泛函分析中的Banach压缩映像理论研究求解代数方程、微分方程、积分方程以及数值分析中迭代算法收敛性的理论依据，该方法是数学和工程计算中最常用的方法之一。文中首先介绍Banach压缩映像原理理论，然后将其用到代数方程、微分方程以及积分方程的求解中。关键词：Banach压缩映象，微分方程，积分方程，线性方程组随着现代电子计算机技术的发展，我们在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的过程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。几乎可以这样说：对一个方程，只要给定一个迭代公式，就算求出了这个方程的解，我们仍需要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题。但是在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是收敛序列，否则就毫无意义了，而迭代法求解方程的实质就是寻求变换（映射、映照）的不动点。例如求解方程的根，我们就可以令，则求的根就变成求的不动点，即求，使。而通常求映射的不动点的方法中，最简单的就是下面我们所讲述的Banach压缩映像原理。下面我们通过几个有用的定义和例子慢慢引出Banach压缩映像原理。定义1设T是集合X到X的映射，若存在，使得,则称x为映射T的不动点（fixedpoint）。例1平移映射为，则没有不动点。例2定义映射为，则T有两个不动点：0和1。例3投影映射定义为，对每一个，，则有无穷多个不动点。我们一般比较关心映射在什么条件下存在唯一的不动点，在本文中，我们将指出，完备的度量空间X到自身的某一类映射（称为压缩映射），存在唯一的不动点。这就是Banach压缩映象原理，在证明该原理的过程中，具体地给出了如何求不动点的方法，即迭代法。定义2设是度量空间，映射。若存在一个常数，使得一切，有，则映射T称为X上的压缩映射（contractionmapping）。定理1（Banach压缩映象原理）设是完备的度量空间，映射为压缩映射，则T存在唯一的不动点，即存在唯一的使得。证明存在性。任取，我们采取如下迭代法构造一个序列，令由假设为压缩映射，则存在，使得（）。我们证明为Cauchy序列。由于对于任意的正整数，由三角不等式及上式得=。由于，那么当时，，对任意给定的，当n充分大时，。这就证明了是Cauchy序列。由于X是完备的，则可设.现在证明序列的极限x就是T的不动点，事实上由。因此。唯一性。若，则，于是由以及，则，从而。证毕。注（1）从定理的证明过程中发现，迭代序列的初始值可任意选取，最终都能够收敛到唯一的不动点，（2）该定理提供了近似计算不动点的误差估计公式（3）因为完备度量空间的任何闭子集在原度量下仍然是完备的，所以定理中的压缩映象不需要在整个空间X上有定义，只要在某个闭集上有定义，且象也在该闭集内，定理的结论仍然成立。然而在实际的应用中，有时候T本省未必是压缩映象，但T的若干次复合是压缩映象，这是T仍然有唯一的不动点，这就是下面所述的对压缩映象原理的改进定理。定理2设X是完备度量空间，是一个映射。如果存在某个自然数，使是压缩映射，那么T存在唯一的不动点（这里是T的次复合，即）。证明由定理1知，存在唯一的，使得。现证明点x也是映射T的唯一不动点。由于，故也是的不动点，由的不动点的唯一性得到。又若也是T的不动点，即，则。这说明是的不动点，再由的不动点唯一性得到。推论1设是完备的度量空间，映射在Y=上的压缩映射，并且满足，其中是压缩映射T决定的常数，则T在Y中存在唯一的不动点。证明设是完备的度量空间，那么也是完备的度量空间，由假定在Y=上是压缩映射，及对任意的，，下面证明T限制到Y上时，T将Y映射到Y中。由假设，所以。对任意的，,所以。因此是压缩映射，根据定理1，T在Y中存在唯一的不动点。Banach压缩映象原理的应用本小节通过代数方程、微分方程、积分方程的解的存在性和唯一性的研究为例，说明压缩映象定理1和定理2的具体应用。定理3线性代数方程组均可写成如下形式，其中。如果矩阵C满足条件，则存在唯一解，且此解可以由迭代求得。证明取，定义度量为，。构造映射为,那么方程的解等价于映射T的不动点。对于，由于，记，由条件,因此T是压缩映象，于是T有唯一不动点，所以方程有唯一解，且此解可由如下迭代序列近似计算求得。定理4Fredholm积分方程形如，其中是定义区间上的未知数。设该核函数是矩形区域上的连续函数（从而K在D上有界，可设），是一个给定的上的连续函数，若参数满足，则积分方程有唯一的解。证明对任意的，令，由于v，K都是连续的，则上式定义了一个映射。积分方程的解的存在唯一性等价于映射T在中有唯一不动点。由于又由假设，得到，所以T是完备的度量空间C上的压缩映射，应用Banach压缩映像原理，有唯一的，使得，也就是说此满足方程。例4在上考虑积分方程，，其中。证明：对任意的，积分方程都存在唯一连续解。证明对固定的，令算子，则，那么积分方程解的存在唯一性等价于算子T在上存在唯一的不动点。考虑算子的作用，由于不知道的大小，不能够判定算子T是否为压缩映射，采用迭代法，讨论是否为压缩映射。一般地，假定，那么。根据归纳原理，上面估计对一切正整数都成立。于是。所以当n充分大时，，这表明算子是压缩映射，依定理2，算子T存在唯一的不动点，使，从而积分方程存在唯一解。定理5（常微分方程解的存在定理）考虑具有初值条件的微分方程，其中是二元连续函数，并且关于y满足Lipschitz条件：则当时，此微分方程存在唯一连续解。证明取空间C（这里），如果微分方程有解，那么对微分方程积分得到。反过来，如果积分方程有解，那么微分方程也有解。定义映射如下,则是方程的解当且仅当是T的不动点。由Lipschitz条件，按C中的范数有当时，T是C上的压缩映射，由于C是完备的，有定理1知T有唯一的不动点，从而方程存在唯一连续解。例5（Newton法）设是定义在上的二次连续可微的实值函数，，使得，。求证存在的邻域，使得，迭代序列是收敛的，并且。证明考虑，则有。因为，，在点处连续，所以，从而的邻域，使得，于是，对，是收敛的。设，，联合，，可以推得，故有。总结通过这学期对泛函分析的学习，让我对现代数学基础有了一个比较系统全面的了解，这几周的泛函分析的学习中，我们主要对泛函的值域进行了讨论，接下来分别讨论了度量（距离）空间，赋范线性空间，内积空间作为定义域的性质，接下来就是对泛函本身进行了讨论，但主要是限于线性算子实数有很多很好的性质：确界存在定理，单调有界数列必有极限，闭区间套定理，有界数列必有极限，cauchy列的收敛性，连续映射、闭区间映射到闭区间、开区间映射到开区间的等价性。紧性、列紧性。接下来对距离空间、赋范空间、内积空间的讨论也都是基本上围绕着这些展开以及一些各自的性质，如距离空间的baire纲定理，赋范空间的有限维赋范空间上的任意两个范数的等价性，内积空间的正交性。另外还学习了黎曼积分之外的另一种积分勒贝格积分，感觉收获还是很大的，以前学习的一些知识不知道如何去理解，学过泛函后有了新的发现。特别是在专业领域的研究和学习中有很大的帮助，在没有学习泛函分析之前，对专业的论文阅读，理解分析都有很大的困难，有很多数学公式根本就看不懂，经过这学期泛函分析的学习让我真正认识理解了这些公式的含义，同时也为以后专业方向更深入的研究打好了基础。微分方程、积分方程和线性方程组在各个学科专业中都有涉及，通信专业更是离不开对此类方程的分析计算，特别是线性方程组解的存在性、唯一性以及解的稳定性。因此本次我选择泛函分析中的一个重要原理——Banach压缩映像原理，进行了分析与理解，同时并将它运用到微分方程、积分方程和线性方程组的求解中，对解的唯一性和存在性给予了一定的证明，加深了对Banach压缩映像原理的理解和学习。同时，选取了