高考人教数学（理）一轮课件第二章第五节指数函数

第五节指数函数xn＝a

0无意义

(2)有理数指数幂的运算性质：①aras＝____(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝____(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝_____(a＞0，b＞0，r∈Q).ar＋s

ars

arbr

3．指数函数的图象及性质函数y＝ax(a＞0，且a≠1)

图象0＜a＜1a＞1图象特征在x轴____，过定点_____

当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升上方

(0，1)

函数y＝ax(a＞0，且a≠1)

性质定义域___值域_________

单调性____函数值变化规律当x＝0时，_____

当x＜0时，______；当x＞0时，_________当x＜0时，_______；当x＞0时，______R

(0，＋∞)

减增y＝1y＞10＜y＜10＜y＜1y＞13．指数函数的图象与底数大小的比较下图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．4．指数函数图象的对称规律函数y＝ax的图象与y＝a－x的图象关于y轴对称，y＝ax的图象与y＝－ax的图象关于x轴对称，y＝ax的图象与y＝－a－x的图象关于坐标原点对称．B

2．(基本方法：作指数函数图象)函数f(x)＝1－ex的图象大致是(

)A3．(基本能力：研究函数性质)函数y＝(ax＋1)ex过定点________．答案：(0，1)答案：a

＞c＞b答案：(1，＋∞)

D答案：47方法总结

1．这种循环根式型的化简，一般由里向外，将根式化为分数指数幂进行运算．2．指数幂运算的一般原则：(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式来表示，运用指数幂的运算性质来解答．

[典例剖析][典例]

(1)(2021·河北武邑中学调研)函数y＝e－|x－1|的大致图象是(

)解析：当x＝1时，y＝1，排除选项CD.当x＞1时，y＝e－(x－1)为减函数，排除选项A.B(2)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(

)A．a＞1，b<0 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0D解析：由题图可知，y随x的增大而减小，所以函数f(x)＝ax－b是单调递减的，则0<a<1.又因为函数图象与y轴的交点在点(0，1)的下方，所以函数f(x)＝ax－b的图象是由函数f(x)＝ax的图象向左平移得到的，所以b<0.(3)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________．解析：曲线y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可知，如果曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个公共点，则m的取值范围是(0，1).答案：(0，1)方法总结

1．对于y＝ax(a＞0，且a≠1)当a∈(0，1)且a逐渐变大时，图象右端(第一象限逐渐变“高”)，图象逐渐接近y＝1，当a＝1时，图象就是直线y＝1.当a∈(1，＋∞)时，a逐渐变大，在第一象限内图象逐渐接近于y轴．总之，图象过定点(0，1)，在第一象限内，逆时针方向看，底数逐渐变大．2．与指数函数有关图象问题的求解方法(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足，则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．[对点训练]1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(

)A解析：f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，所以f(x)的值域为(－∞，0]，因此排除选项BCD，只有选项A满足．B3．(母题变式)(1)将本例(3)变为：y＝|3x－1|与y＝m有且只有一个公共点，则m的范围为________．答案：{0}∪[1，＋∞)(2)若本例(3)条件变为：函数y＝|3x－1|在(－∞，m]上单调递减，则实数m的取值范围是________．答案：(－∞，0]

C方法总结对于函数y＝af(x)和复合函数y＝f(ax)的定义域、值域常利用换元法，其关键点：(1)函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同．f(ax)的定义域：使ax在f(x)的定义域内，解指数不等式．(2)y＝af(x)的值域：先确定f(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定y＝af(x)的值域．(3)y＝f(ax)的值域：先确定ax的值域、再利用f(x)的性质确定y＝f(ax)的值域．

AB方法总结

对于幂值的大小比较，若可化为同底数(指数不同)则借用指数函数单调性比较大小．若可化为同指数(底数不同)，则借用幂函数单调性比较大小．若不可化为同底(或同指)，可引入常数0，1，2等值进行比较．

类型3指数不等式[例3]

(1)不等式2x2－x＜4的解集为________.解析：不等式2x2－x＜4可转化为2x2－x＜22，利用指数函数y＝2x的性质可得，x2－x＜2，解得－1＜x＜2，故所求解集为{x|－1＜x＜2}．答案：{x|－1＜x＜2}(2)设f(x)＝32x－3x.若f(x)＞6，则x的取值范围是________．解析：由f(x)＞6得32x－3x＞6，即(3x)2－3x－6＞0，∴(3x－3)(3x＋2)＞0，∵3x＞0，∴3x＞3，∴x＞1.答案：(1，＋∞)方法总结1．形如ax＞ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．2．形如ax＞b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．3．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．

类型4指数型函数单调性判断[例4]

(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数).若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．(－∞，4](2)函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是________．解析：f(x)＝(2x)2－2·2x＝(2x－1)2－1，设t＝2x在R上为增函数，y＝(t－1)2－1在[1，＋∞)上为增函数，∴2x≥1，∴x≥0.答案：[0，＋∞)方法总结

利用复合函数判断形如y＝af(x)的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关．

方法总结

有关指数函数与其他函数复合之后的性质，要综合考虑函数的性质及研究方法．

A2．(2020·黑龙江七台河质检)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则(

)A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞a＞b D．b＞c＞a解析：由0.2＜0.6，0.4＜1，并结合指数函数的图象(图略)可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.A3．(母题变式)将例1(1)变为：函数y＝ax2＋2x－1，其值域为______