2012年数学建模D题机器人避障问题论文

:第i段切线的长度。：第j段圆弧的长度。L：从原点到达最终目标点的最短路径的总长度。K:障碍物上的任一点与行走路径之间的最短距离。模型的建立5.1模型猜想：猜想一：具有圆形限定区域的最短路径是由两部分组成的：一部分是平面上的直线段，另一部分是限定区域的部分边界（即圆弧段），这两部分是相切的，连续的。（即问题分析中的拉绳子拉到最紧时的状况）证明：假设在平面中有A(-a,0)和B(a,0)两点，中间有一个半圆形的障碍物，证明从A到B的最短路径为AQUOTEB。平面上连接两点最短的路径是通过这两点的直线段，但是连接两点的线段于障碍物相交，所以设法尝试折线路径。在y轴上取一点C0,y，若y适当大，则折线ACB与障碍物不相交，折线ACB的长度为：ACB=2a2+y2显然ACB随着y的减小而减小，减小y得y→y1，即C→C1,使得AC1与C1B都与障碍物相切，切点分别为E和F,显然AC1B是这种折线路径中最短的。由于满足0<∠AC1O∠π2的角满足,所以易知弧EF小于EC为了使结果更具有说服力，下面再考察一条不穿过障碍物的任何一条路径，设其分别于OE和OF的延长线交与P、Q两点，记A和P之间的路径长度为APQUOTE，显然QUOTEAP>|AP|,又因AEEO,所以|AP|>AE,从而APQUOTE>AE同理可得BQQUOTE再来比较PQ之间路径长度QUOTEPQ和圆弧EF的长度的大小。若PQ之间的路径可有极坐标方程QUOTEρ=ρ(θ),则有QUOTEρ>1,可得：PQ即路径APQB的长度超过路径AEFB的长度。以上证明足以说明AEFB是满足条件A到B的最短路径。猜想二：假设一个圆环可以绕着环上一个定点转动，那么过圆环外两定点连接一根绳子，并以该圆环为支撑拉紧绳子，达到平衡时，圆心与该顶点以及两条切线的延长线的交点共线图2证明猜想：如图2所示，E点就是圆环上的一个顶点，AQUOTEB就是拉紧的绳子，就是切线AC和BD的延长线的交点，证明、E、三点共线。我们可以用力学的知识进行证明，因为是拉紧的绳子，所以两边的绳子拉力相等，设为，它们的合力设为，定点对圆环的作用力设为。那么由几何学的知识我们可以知道一定与共线，而又由力的平衡条件可知：=-即与共线，、和三点一定共线。5.2模型一的准备1）、有了5.1的定理，我们就可以认为，无论起点到目标点的途中有多少个障碍物，最短路径都应该是由若干个线圆结构所组成的。根据本题中存在障碍物的情况，且障碍物在拐角处的危险区域是一个半径为10的圆弧。所以结合定理5.1，求两点之间的最短路径时，我们应该按照最小的转弯半径来计算才可达到最优。线圆结构5.21如线圆结构5.21，设A点坐标为(X1,Y1),B点坐标为(X3,Y3)QUOTEQUOTE分别为机器人经过拐点分别于隔离危险线拐角小圆弧的切点，圆的半径为r，AB的长度为c，AO的长度为a，BO的长度为b,角度==QUOTE,=QUOTE，∠COD=QUOTE.求AQUOTEB的长度，设为解法如下：如上图可得有以下关系：∵L=ACCDBDa=b=c=α=arccosβ=arccosγ=arccosθ=2π-α-β-γ∴L=2）、而对于下图两种情况我们不能直接采用线圆的结构来解决，需要做简单的变换。情况一如图4所示：线圆结构5.22我们假设A点坐标为(X1,Y1)QUOTE，两圆心坐标分别为O(X2,Y2)和O(X3,Y3)这样我们可以利用5.21中的方法，先求A到M，再求M到B，这样把整个过程分成两段进行解即：L=+情形二：线圆结构5.23这里我们依然设圆心坐标分别为O1(x2,y2)QUOTEQUOTE和O2(x3,y3)QUOTE半径为ACCDDE=EF=rBFbaOdbaOd这样用D和E任意一点作为分割点都可以将上图分割成两个如图2所示的线圆结构，这样就可以对其进行求解。求解方法运用MATLAB软件进行求解（程序见附录）。同理有多个这样的转弯时，用同样的方法都可以进行分割计算。4）、模型一的建立假设机器人从原点O到达任意目标点QUOTE,由5.2知机器人所走路径一定是由直线段和圆弧组成。设有m条线段，n条圆弧，那么目标函数可以表示为：Min=S.t=建立此模型运用MATLAB软件就可对原点到目标点之间的最短路径进行优化求解（见附表）。5)、模型二的建立图6如图6所示，建立直角坐标系，C点坐标为(0,300)，B点为(300,0)，坐标系中阴影5为正方形，CB与OA相垂直，交点为D(x,y),阴影5的左上角的坐标为(80,210)，半径r在线段CB上，利用两点之间的距离公式得出：（机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位），再利用求导公式求出半径的最小值。a=b=c=cabdd=r六、模型的求解一、模型一的求解1、以下给出的是原点O到各个目标点的可能的最短路径：1）、如下图7，解决的就是O到目标点A的最短路径问题。图中给出了可能路径的最短路径（图中标注红色箭头的黑色线段），我们可以分别计算出两条可能路径的最短路径的长度，然后进行比较，求得的最小值就是O到A的最短路径。图72）、如下图8，解决的是O到目标B的最短路径问题。图中给出了两条可能路径的最短路径（图中标注红色箭头的黑色线段），我们同样可以分别计算出两条可能的最短路径，取最小值即为O到B得最短路径。图83）、如下图9所示，解决的是O到C的最短路径问题。图中给出了两条可能路径的最短路径（图中的红线所示），我们采用上述同样的计算方法，分别计算出两条可能的最短路径，选择最小值作为O到C得最短路径。图94）、如下图10所示，解决的是原点的最短路径问题。图中给出了两条可能路径的最短路径（图中的红线、黑线所示，有一部分路径重叠），我们采用同样的三中分法来计算，分别计算出两条可能路径的最短路径，然后通过分析比较选出最小值作为的最短路径。图102、计算结果如下：1）、原点O到A点的可能的最短路径有两条，如图7所示，运用matlab编程求解O到A第一条路径是绕过障碍物5，且走在其上方的总距离为471.0372；第二条路径走在障碍物的下方的总距离为498.4259；比较得到O到目标点A的最短路径为：471.0372。（最短路径详细数据见下表）起点坐标终点坐标圆弧圆心坐标圆弧半径直线长或弧长机器人行走总时间OQUOTE线段一0,070.506,213.1406224.499444.89988圆弧一70.506,213.140676.6064,219.406680,210109.0513.6204线段二76.6064，219.4066300,300237.486847.49736机器人行走总距离471.037296.017642）、原点O到B点的可能的最短路径有两条，如图8所示，一条是：机器人从障碍物6的左下顶点处经过到达B点；另一条是走在了障碍物6的右上顶点到达B点。机器人绕过障碍物到达B点的这条路径由六条线段和五段圆弧组成。直接用1）中的解发不能求解出来。于是我们采用三中分法把路径分为如图5.21、5.22、5.23的情况，分别求出每段线段（或圆弧）的长度然后总的相加，便可找出O到B的两条路径，即从障碍物6的左下顶点处经过到达B点的路径为877.384，从障碍物6的右上顶点到达B点的路径为853.7001。最终求得最短路径为853.7001。（最短路径详细数据见下表）起点坐标终点坐标圆弧圆心坐标圆弧半径直线长或弧长机器人行走总时间OQUOTE线段一0,050.1353,301.6396305.777761.15554圆弧一50.1353,301.6396,51.6795,305.547060,300104.23301.6932线段二51.6795,305.5470141.679,440.6795162.249832.44996圆弧二141.679,440.6795147.9621,444.7901150,435107.77563.11024线段三147.9621,444.7901222.0379,460.209975.663815.13276圆弧三222.0379,460.2099230,470220,4701013.65575.46228线段四230,470230,5306012圆弧四230,530225.4967,538.3538220,530109.88833.95532线段五225.4967,538.3538158.3538,591.646296.953619.39072圆弧五158.3538,591.6462140.6916,605.2542150,600106.14742.45896线段六140.6916,605.2542100,700111.355322.27106机器人行走总距离853.7001179.080043）、原点O到C点的可能的最短路径同样也是两条，如图9所示，我们同样采用上述中三中分的方法把两条路径分割成如图5.21、图5.22、图5.23的形式，再分别求每段路径的长度然后总的相加，即走在障碍物5左上顶点处的距离为1098.9548，另一条走在了其下方距离为1090.8041，得到O到C的最短路径为1090.8041。(最短路径详细数据见下表)起点坐标终点坐标圆弧圆心坐标圆弧半径直线长或弧长机器人行走总时间OQUOTE线段一0,0407.4009,90.2314421.900584.3801圆弧一407.4009，90.2314418.3448,107.7203410,100107.71663.08664线段二418.3448,107.7203491.6552,205.5103134.164126.83282圆弧二491.6552,205.5103508.5213,194.7666500,200103.31271.32508线段三508.5213,194.7666727.9377,525.2334388.201077.6402圆弧三727.9377,525.2334730,520720,520,106.53812.61524线段四730,520730,60079.372515.8745圆弧四730,600727.7178,606.3589720,600106.89162.75664线段五727.7178,606.3589700,64043.58908.7178机器人行走总距离1090.8041223.229024）、原点QUOTE的可能最短路径有两条，如图10（图中的红线、黑线所示，有一部分路径重叠），利用三中分法并结合线圆结构（图5.21、图5.22、图5.23），分别计算出两条可能路径的最短路径，即黑色线为2716.0471，红线距离为2772.0445，然后经比较选出的最短路径为2716.0471.（最短路径详细数据见下表)起点坐标终点坐标圆弧圆心坐标圆弧半径直线长或弧长机器人行走总时间OQUOTE线段一0,070.5060,213.1406224.499444.89988圆弧一70.5060,213.140676.6959,219.438480,210109.14593.65836线段二76.6959,219.4384286.5939,313.9504231.055746.21114圆弧二286.5939,313.9504300.7093,309.0475291.4707,305.22021015.36096.14436线段三300.7093,309.0475229.7525,532.2111235.019247.00384圆弧三229.7525,532.2111225.4967,538.3538220,530106.80982.72392线段四225.4967,538.3538144.5033,591.646296.953619.39072圆弧四144.5033,591.6462140.2475,597.7891150,600105.70622.28248线段五140.2475,597.789199.9635,688.4328101.113820.22276圆弧五99.9635,688.4328110.2329,703.9685108.14,694.19106.80982.72356线段六110.2329,703.9685269.6405,689.9935161.245232.24904圆弧六269.6405,689.6635272,689.7980270,680103.50391.40156线段七272,689.7980368，670.202097.979619.59592圆弧七368,670.2020370，670370,680102.01360.80544线段八370,670430,6706012圆弧八430,670435.5878,671.7068430,680105.92912.37164线段九435.5878,671.7068542.5741,738.2932119.163823.83276圆弧九542.5741,738.2932540,740540,730105.92912.37164线段十540,740670,74013026圆弧十670,740679.7788,732.0917670,7301011.48554.5942线段十一679.7788,732.0917700.1603,636.806297.440919.48818圆弧十一700.1603,636.8062702.7889,631.9068709.9391,638.8979106.74472.69788线段十二702.7889,631.9068727.1502,606.991034.84636.96926圆弧十二727.1502,606.9910730，600720,600107.32342.92936线段十三730，600730,5208016圆弧十三730,520711.4787，525.2334720,520106.53812.61524线段十四711.4787,525.2334492.0623,206.0822387.814477.56288圆弧十四492.0623,206.0822491.6552,205.5103500,200103.31271.32508线段十五491.6552,205.5103418.3448,94.4897133.041426.60828圆弧十五418.3448,94.4897412.1387,90.2314410,100107.71663.08664线段十六412.1387,90.23140，0421.544884.30896机器人行走总距离2716.0471564.075二、模型二的求解：图11图11A的坐标为（），圆心O的坐标（），B点坐标为（），根据各线段之间的位置关系以及线段与角的位置关系，列出了以下的函数关系式：（1）（2）(3)(1)(2)取等号联立利用导数求得r的极值利用MATLAB求解得=87.0711把（=87.0711）代入求得r=20;然后把x1=0,y1=0,x2=87.0711,y2=202.9289,x3=300,y3=300,r=20代入求得最短时间94.2697秒（Matlab程序见附录模型二的求解）七、模型评价一、模型优点1、本模型简单易懂，便于实际的检验与应用，易于推广。2、模型优化后运用解析几何进行求解，精确度比较高。3、运用多个方案对路径进行优化求解，对相对优化的解进行比较得到最优解。总的来说，该模型科学合理，考虑仔细，精确度高。比如在求解过程中全面的考虑了机器人所要途经的各种路线情况，然后依据题目要求，优化选择了与题意紧密相关的路线进行求解分析，找出了符合题目要求的最佳路径。二、模型改进在障碍物较多时且形状不规则时，模型还需进一步改进。在本题中有12个障碍物，从起点到终点的路径是有限的，我们利用线圆结构、枚举法求解比较科学合理，求得结果较符合提意要求。当障碍物增多时，我们可以考虑采用另为一种求解方式，如dijkstra算法等。八、模型推广该模型科学合理，首先全面地考虑了机器人在到达各目标点时所要行走的所有路线，然后根据题目要求，选择与题目紧密关联的路线进行分析求解，最终求出符合题意要求的最短路径。求解过程中简单易懂，便于实际问题的求解与应用，易于推广。虽然本模型是为计算机器人行走的最短路问题而建立的，但根据本模型的特点，仍然可以运用到现实生活中的最短路问题的求解。如：油气管道的布置问题、城市交通的规划问题、排水系统的规划问题等。九、参考文献[1]韩忠庚，数学建模使用教程，北京：高等教育出版社，2012.[2]尤承业，解析几何，北京：北京大学出版社，2004.[3]黄玉清，梁靓，机器人导航系统中的路径规划算法[J],微计算机信息，2006.7：[4]王沫然，MATLAB与科学计算，北京：电子工业出版社，2004.[5]胡海星，RPG游戏中精灵的移动问题，杂志《程序员》，2011。[6]邦迪，图论及其应用，西安，西安科学出版社，1984十、附录附表一计算线圆结构模型5.21symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=0;y1=0;x2=80;y2=210;x3=300;y3=300;r=10;（输入对应已知数据）a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1（线圆结构模型5.22分解为两个模型5.21进行计算）计算线圆结构模型5.23Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=0;y1=0;x2=50;y2=40;x3=20;y3=23;x4=30;y4=20;r=10;（输入对应已知数据）a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)路径O→A第一条：symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=0;y1=0;x2=80;y2=210;x3=300;y3=300;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=471.0372路径O→A第二条：symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=0;y1=0;x2=230;y2=60;x3=300;y3=300;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=498.4259路径O→B第一条：symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=0;y1=0;x2=80;y2=210;x3=157.5;y3=255;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=321.9278Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=157.5;y1=255;x2=235;y2=300;x3=220;y3=530;x4=185;y4=565;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=389.4767symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=185;y1=565;x2=150;y2=600;x3=100;y3=700;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=165.9795路径O→B第二条：Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=0;y1=0;x2=60;y2=300;x3=150;y3=435;x4=185;y4=452.5;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=517.8680Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=185;y1=452.5;x2=220;y2=470;x3=220;y3=530;x4=185;y4=565;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=169.8526symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=185;y1=565;x2=150;y2=600;x3=100;y3=700;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=165.9795路径O→C的第一条：Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=0;y1=0;x2=80;y2=210;x3=400;y3=330;x4=416.7;y4=343.3;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=602.0599Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=416.7;y1=343.3;x2=550;y2=450;x3=640;y3=520;x4=730;y4=560;r1=80;r2=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r1^2);b1=acos(r1/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r1*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r2/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r2*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r1^2)+r1*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r2*d2+sqrt(b^2-r2^2)L3=406.4143symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=730;y1=560;x2=720;y2=600;x3=700;y3=640;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=90.4806路径O→C的第二条：symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=0;y1=0;x2=410;y2=100;x3=455;y3=150;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=496.1377>>symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=455;y1=150;x2=500;y2=200;x3=610;y3=360;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=263.7405>>Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=610;y1=360;x2=720;y2=520;x3=720;y3=600;x4=700;y4=640;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=330.9259路径O→A→B→C→O的第一条：symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=0;y1=0;x2=80;y2=210;x3=185.7354;y3=257.6101;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=349.1733Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=185.7354;y1=257.6101;x2=291.4707;y2=305.2202;x3=220;y3=530;x4=185;y4=565;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=422.1021Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=185;y1=565;x2=150;y2=600;x3=108.14;y3=694.19;x4=189.07;y4=687.095;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=259.8770symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=189.07;y1=687.095;x2=270;y2=680;x3=320;y3=680;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=133.7345>>Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=320;y1=680;x2=370;y2=680;x3=430;y3=680;x4=485;y4=705;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=176.5144>>Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=485;y1=705;x2=540;y2=730;x3=670;y3=730;x4=689.9696;y4=684.4490;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=257.8321>>symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=689.9696;y1=684.4490;x2=709.9391;y2=638.8979;x3=714.9696;y3=619.4490;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=74.9790>>Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=714.9696;y1=619.4490;x2=720;y2=600;x3=720;y3=520;x4=610;y4=360;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=305.6100>>symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=610;y1=360;x2=500;y2=200;x3=455;y3=150;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=236.7405symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=455;y1=150;x2=410;y2=100;x3=0;y3=0;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=496.1377路径O→A→B→C→O的第二条：symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=0;y1=0;x2=80;y2=210;x3=190;y3=255;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=352.3992>>Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=190;y1=255;x2=300;y2=300;x3=220;y3=530;x4=185;y4=565;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=432.9754Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=185;y1=565;x2=150;y2=600;x3=100;y3=700;x4=167.5;y4=695;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=255.0408Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=167.5;y1=695;x2=235;y2=690;x3=500;y3=600;x4=570;y4=560;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=433.9867>>Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=570;y1=560;x2=640;y2=520;x3=720;y3=520;x4=730;y4=560;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=222.1430symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=730;y1=560;x2=720;y2=600;x3=700;y3=640;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=90.4806Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=700;y1=640;x2=720;y2=600;x3=720;y3=520;x4=610;y4=360;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=330.9259>>symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=610;y1=360;x2=500;y2=200;x3=455;y3=150;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=263.7405>>symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=455;y1=150;x2=410;y2=100;x3=0;y3=0;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=496.1377计算线圆结构模型5.21切点坐标symsxx1x2yy1y2rx1=0;x2=80;y1=0;y2=210;r=10;（输入已知对应数据）(y-y2)*(y-y1)*(x-x2)^(-1)*(x-x1)^(-1)+1a='(x-x2)^2+(y-y2)^2-r^2=0';(x-x2)^2+(y-y2)^2-r^2b='ans=0';s=solve(a,b)double(s.x(1))double(s.x(2))double(s.y(1))double(s.y(2))计算线圆结构模型5.23的切点symsxx1x2x3yy1y2y3rx1=0;y1=0;x2=80;y2=210;x3=300;y3=300;r=10;（输入已知对应数据）>>(y-y2)/(x-x2)*(y3-y2)/(x3-x2)+1ans=9/22*(y-210)/(x-80)+1>>a='9/22*(y-210)/(x-80)+1=0';>>(x-x2)^2+(y-y2)^2-r^2ans=(x-80)^2+(y-210)^2-100>>b='(x-80)^2+(y-210)^2-100=0';s=solve(a,b)s=x:[2x1sym]y:[2x1sym]>>double(s.x(1))ans=83.7863double(s.x(2))double(s.y(1))计算线圆结构5.21各个对应的弧长：symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=0;y1=0;x2=80;y2=210;x3=300;y3=300;r=10;%输入已知的数据a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=r*d1%求对应的弧长计算线圆结构5.23各对应弧长Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=190;y1=255;x2=308.7976;y2=295.2457;x3=220;y3=530;x4=185;y4=565;r=10;%输入已知数据a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;L3=r*d1或L3=r*d2%对应弧1的长度和对应弧2的长度计算路径经过A点时点A所在圆弧的圆心symsxyk1k2>>k1=(y-530)/(x-220);>>k2=(y-300)/(x-300);>>(k2-k1)/(1+k1*k2)-sqrt(3)/2ans=((y-300)/(x-300)-(y-530)/(x-220))/(1+(y-530)/(x-220)*(y-300)/(x-300))-