专题13.5等边三角形的性质（限时满分培优训练）-【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（解析版）【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题13.5等边三角形的性质（限时满分培优训练）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春•砀山县校级期中）如图，△ABC为等边三角形，AP∥CQ．若∠BAP＝α，则∠1＝（）A．60°+α B．60°﹣α C．30°+2α D．120°﹣2α【答案】B【分析】根据等边三角形的性质得出∠ABC＝60°，再根据平行线的性质及角的和差求解即可．【解答】解：如图，过点B作BM∥AP，∵AP∥CQ，∴AP∥CQ∥BM，∴∠BAP＝∠ABM＝α，∠1＝∠CBM，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠ABC＝∠ABM+∠CBM，∴∠CBM＝60°﹣α，∴∠1＝60°﹣α，故选：B．【点评】此题考查了等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．2．（2021秋•南岗区校级期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝40°，则∠ADB的度数为（）A．25° B．60° C．90° D．100°【答案】D【分析】等边三角形的三个角都为60°，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∵∠ADB＝∠DBC+∠C，∠DBC＝40°，∴∠ADB＝40°+60°＝100°，故选：D．【点评】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三个角都为60°，和三角形的外角的性质．3．（2021秋•涿州市校级期末）由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小红设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可，如图1，衣架杆OA＝OB＝30cm．若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点间的距离是（）A．15cm B．30cm C．60cm D．都不对【答案】B【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可解答．【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝30cm，故选：B．【点评】此题考查等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定方法是解题的关键．4．（2022秋•济宁期末）如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】D【分析】易证△ABD≌△BCE，可得∠1＝∠CBE，根据∠2＝∠1+∠ABE可以求得∠2的度数，即可解题．【解答】解：在△ABD和△BCE中，AB=BC∠ABC=∠∴△ABD≌△BCE，∴∠1＝∠CBE，∵∠2＝∠1+∠ABE，∴∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应角相等的性质，等边三角形内角为60°的性质，本题中求证△ABD≌△BCE是解题的关键．5．（2023春•竞秀区期末）老师设计了“谁是卧底”游戏，用合作的方式描述下面的题目：“如图，在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E；点O在ED上，OA＝OB，OD＝2，OE＝4”，甲说：CE＝12；乙说：CB＝20；丙说：△AOB为等边三角形；丁说：过点O作OF⊥CB，可以求出BF＝10．若四个描述中，只有“卧底”的描述是错误的．则“卧底”是（）​A．甲 B．乙 C．丙 D．四个人都不是卧底【答案】D【分析】连接OC，作OF⊥BC于点F，根据含30°的直角三角形的性质求出CE，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一解答即可．【解答】解：连接OC，作OF⊥BC于点F，由题意得：DE＝OD+OE＝6，在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，∴CE＝2DE＝12，∠OEF＝60°，所以甲对；∵AD＝DC，ED⊥AC，∴OA＝OC，∵OA＝OB，∴OB＝OC，∵OF⊥BC，∴CF＝FB，在Rt△OFE中，∠OEF＝60°，∴∠EOF＝30°，∴EF=12OE＝∴CF＝CE﹣EF＝10，∴CB＝20，所以乙对；∴BE＝20﹣12＝8，∴BF=12BC＝在Rt△CDE中，CE＝12，DE＝6，由勾股定理可得CD＝63，∴AC＝2CD＝123，过B作BM⊥AC于M点，∵∠C＝30°，BC＝20，∴BM=12BC＝10，CM=3BM＝∴AM＝AC﹣CM＝23，在Rt△ABM中，由勾股定理可得：AB=AM2在Rt△COD中，CD＝63，OD＝2，由勾股定理可得：CO=CD2∴CO＝OA＝OB＝47，∴AB＝AO＝OB，∴△AOB为等边三角形，丙对，故四人都不是卧底，所以D选项说法正确，故选：D．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键6．（2023春•兴宁市期末）如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】A【分析】由等边三角形的性质可求解∠CAD＝30°，AD⊥BC，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ADE的度数，进而可求解．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，∵AD是等边三角形ABC的中线，∴∠CAD=12∠BAC＝30°，AD⊥∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵∠AED+∠ADE+∠CAD＝180°，∴∠ADE＝75°，∴∠EDC＝15°，故选：A．【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，求解∠ADE的度数是解题的关键．7．（2022秋•安次区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（）A．25° B．20° C．15° D．7.5°【答案】C【分析】利用等边对等角和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和依次计算∠GDC和∠E即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°．∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，∴∠CGD+∠CDG＝60°．∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°．∵∠CDG＝∠DFE+∠E，∴∠DFE+∠E＝30°．∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝15°．故选：C．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理的推论，等腰三角形的判定与性质，利用等边对等角和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和解答是解题的关键．8．（2023春•环江县期末）如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，PD+PE+PF＝6，则△ABC的周长是（）A．12 B．18 C．24 D．30【答案】B【分析】延长FP交BC于N，延长EP交AB于M，由条件推出四边形PMBD，四边形PNCE是平行四边形，△PFM，△PDN是等边三角形，得到BC＝PF+PD+PE＝6，即可求出△ABC的周长．【解答】解：延长FP交BC于N，延长EP交AB于M，∵PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，∴四边形PMBD，四边形PNCE是平行四边形，∴CN＝PE，BD＝PM，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠PDN＝∠B＝60°，∠PND＝∠C＝60°，∴∠DPN＝180°﹣∠PDN﹣∠PND＝60°，∴△PDN是等边三角形，同理：△PFM是等边三角形，∴PD＝DN，PF＝MP，∴PF＝BD，∴BC＝BD+DN+CN＝PF+PD+PE＝6，∴△ABC的周长为：6×3＝18，即△ABC的周长是18．故选：B．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是由等边三角形的性质，平行四边形的性质证明BC＝PF+PD+PE＝6．9．（2019秋•镇赉县期末）如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB＝AC，顶角∠BAC＝120°，跨度BC＝10m，AD为支柱（即底边BC的中线），两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF等于（）A．10m B．5m C．2.5m D．9.5m【答案】B【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠B＝∠C＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得到DE=12BD，DF=12DC，两式相加，即可证明DE+【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F，∴DE=12BD，DF=∴DE+DF=12BD+12DC=12（BD∴DE+DF=12BC=12×故选：B．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及含30度角的直角三角形的性质的综合运用，用到的知识点为：等边对等角；三角形内角和为180°；直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半．10．（2020春•淄川区期末）在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是（）A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大后变小【答案】A【分析】在AC上截取CN＝AE，连接FN，易证AD＝EN，DE＝EF，由∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠NEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED120°﹣∠AED，得出∠ADE＝∠NEF，由SAS证得△ADE≌△NEF，得出AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，推出FN＝CN，求出∠ECF＝30°，即可得出结果．【解答】解：在AC上截取CN＝AE，连接FN，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，AB＝AC，∵BD＝2AE，∴AD＝EN，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝EF，∠DEF＝60°，∵∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣60°﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠NEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED＝180°﹣60°﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∴∠ADE＝∠NEF，在△ADE和△NEF中，AD=EN∠ADE=∠NEF∴△ADE≌△NEF（SAS），∴AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，∴FN＝CN，∴∠NCF＝∠NFC，∵∠FNE＝∠NCF+∠NFC＝60°，∴∠NCF＝30°，即∠ECF＝30°，故选：A．【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2023春•龙川县校级期中）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，BC＝4，则△ABC的周长是12．【答案】12．【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判断出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质解答．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵BC＝4，∴△ABC的周长＝3×4＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，判断出△ABC是等边三角形是解题的关键．12．（2023春•零陵区期中）如图，l1∥l2，等边△ABC的顶点A，B分别在l1，l2上，∠2＝40°，则∠1的度数为20°．【答案】20°．【分析】如图，由平行线的性质可得出∠3＝∠2＝40°．根据等边三角形的性质可得出∠ABC＝60°，即可由∠1＝∠ABC﹣∠3求解．【解答】解：如图，∵l1∥l2，∴∠3＝∠2＝40°．∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠1＝∠ABC﹣∠3＝20°．故答案为：20°．【点评】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质．利用数形结合的思想是解题关键．13．（2023春•唐河县期末）如图，将边长为5cm的等边△ABC沿边BC向右平移4cm得到△A′B′C′，则四边形AA′C′B的周长为23cm．【答案】23cm．【分析】根据平移的性质得到A′C′＝AC＝5cm，AA′＝BB′＝4cm，B′C′＝BC＝5cm，结合图形计算，得到答案．【解答】解：由平移的性质可知，A′C′＝AC＝5cm，AA′＝BB′＝4cm，B′C′＝BC＝5cm，∴四边形AA′C′B的周长＝AB+BC′+A′C′+A′A＝AB+BB′+B′C′+A′C′+A′A＝15+8＝23（cm），故答案为：23cm．【点评】本题考查了平移的性质，理解平移的性质是解题的关键．14．（2023春•安源区期末）如图，点D，E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB₁，EB1分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝84°，则∠CEG的度数为36°．【答案】36°．【分析】由对顶角相等可得∠CGE＝∠FGB1，由两角对应相等可得△ADF∽△B1GF，那么∠CGE等于∠ADF的度数，进而利用三角形内角和得出答案．【解答】解：由翻折可得∠BDE＝∠EDF，∠BED＝∠DEG，∵∠ADF＝84°，∴∠BDE＝∠EDF＝48°，∵∠B＝60°，∴∠BED＝∠DEG＝72°，∴∠CEG＝180°﹣72°﹣72°＝36°，故答案为：36°．【点评】本题考查了翻折变换问题；得到∠CGE等于∠ADF的度数的关系是解决本题的关键．15．（2023•碑林区校级模拟）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为3．【答案】3．【分析】过点C作CH⊥DE于点H，易证△AFE≌△CHE（AAS），根据全等三角形的性质可得EH＝EF＝1，再证明△CDE是等腰三角形，可得DH＝EH＝1，进一步可得DF的长．【解答】解：过点C作CH⊥DE于点H，则∠CHE＝90°，∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°，∴∠AFE＝∠CHE，∵E是AC的中点，∴AE＝CE，在△AFE和△CHE中，∠AFE=∠CHE∠AEF=∠CEH∴△AFE≌△CHE（AAS），∴EH＝EF＝1，在等边△ABC中，∠B＝∠ACB＝60°，∵∠BFE＝90°，∴∠D＝30°，∴∠DEC＝60°﹣30°＝30°，∴CE＝CD，∴△CDE是等腰三角形，∵CH⊥DE，∴DH＝EH＝1，∴DF＝DH+EH+EF＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．16．（2020春•成都期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接AD，作∠DAE＝∠BAC，且AD＝AE，连接CE．（1）如图1，当CE∥AB时，若∠BAD＝35°，则∠DEC＝25度；（2）如图2，设∠BAC＝α（90°＜α＜180°），在点D运动过程中，当DE⊥BC时，∠DEC＝α﹣90°．（用含α的式子表示）【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据已知条件得到∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE，根据平行线的性质得到∠BAC＝∠ACE，推出△ABC是等边三角形，得到∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，求得△DAE是等边三角形，于是得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB=12（180°﹣α）＝90°-12α，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE＝90°-12α，求得∠DCE＝2（90【解答】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠BAC＝∠B，∴AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，∴△DAE是等边三角形，∴∠AED＝60°，∴∠DEC＝180°﹣35°﹣60°﹣60°＝25°，故答案为：25；（2）∵∠BAC＝α，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB=12（180°﹣α）＝90°∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝90°-1∴∠DCE＝2（90°-12α）＝180∵DE⊥BC，∴∠CDE＝90°，∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝α﹣90°．故答案为：α﹣90°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．三．解答题（共7小题）17．（2022秋•海门市期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．（1）求证：CE＝2CF；（2）若CF＝2，求△ABC的周长．【答案】（1）见解析；（2）24．【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠ACB＝60°，再由DF⊥BE可知∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）由CF＝2可得出CD＝4，故可得出AC的长，进而可得出结论．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵DF⊥BE，∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，∴DC＝2CF．∵CE＝CD∴CE＝2CF；（2）解：∵CF＝2，由（1）知CE＝2CF，∴DC＝2CF＝4．∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴AB＝BC＝AC＝2DC＝8，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+8+8＝24．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知边三角形的三个内角都相等，且都等于60°是解题的关键．18．（2023春•铁西区期末）如图，已知AB∥CD，△ACE是等边三角形，∠DCE＝40°，求∠EAB的度数．【答案】20°．【分析】由△ACE是等边三角形，得到∠ACE＝∠CAE＝60°，由平行线的性质得到∠DCE+∠ACE+∠CAE+∠EAB＝180°，又∠DCE＝40°，即可求出∠EAB＝20°．【解答】解：∵△ACE是等边三角形，∴∠ACE＝∠CAE＝60°，∵CD∥AB，∴∠DCE+∠ACE+∠CAE+∠EAB＝180°，∵∠DCE＝40°，∴∠EAB＝20°．【点评】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，关键是由平行线的性质得到∠DCE+∠ACE+∠CAE+∠EAB＝180°．19．（2023•荆州）如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD＝CE．【答案】见解析．【分析】根据等边三角形的性质得到BD⊥AC，∠ACB＝60°，求得∠DBC＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠DBC＝30°，求得∠E＝∠2＝30°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：∵BD是等边△ABC的中线，∴BD⊥AC，∠ACB＝60°，∴∠DBC＝30°，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°，∵∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°，∴∠E＝∠CDE＝30°，∴CD＝CE．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．20．（2023春•南海区校级月考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F分别为垂足，△DEF是等边三角形．（1）求∠A的度数；（2）求证：EF∥BC．【答案】（1）120°；（2）见解析．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠DEF＝∠DFE＝∠EDF＝60°，再根据垂直定义和平角定义可求得∠AEF＝∠AFE＝30°，再利用三角形的内角和等于180°求解即可；（2）证明Rt△BED≌Rt△CFD，则∠B＝∠C，再根据三角形的内角和定理和平行线的判定可证得结论．【解答】解：（1）∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝∠DFE＝∠EDF＝60°，DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，∴∠A＝180°﹣（∠AEF+∠AFE）＝120°；（2）∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在Rt△BED和Rt△CFD中，DE=DFBD=CD∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴∠B＝∠C，则∠B=1∴∠B＝∠AEF，∴EF∥BC．【点评】本题考查了等边三角形的性质、垂直定义、三角形的内角和定理、全等三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握等边三角形的性质以及HL定理是解答的关键．21．（2022春•兰州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求证：BQ⊥CP．【答案】证明过程见解析．【分析】由等边三角形的性质可得出∠ACP＝∠CBQ＝60°，求出∠BCP＝30°，由三角形内角和定理得出∠BHC＝90°，则可得出结论．【解答】证明：∵△CAP和△CBQ都是等边三角形，∴∠ACP＝∠CBQ＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCP＝∠ACB﹣∠ACP＝30°，在△BCH中，∠BHC＝180°﹣∠BCH﹣∠CBH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴BQ⊥CP．【点评】本题考查了等边三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．22．（2021秋•龙马潭区期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE＝CD，（1）求证：DB＝DE．（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF＝4，求△ABC的周长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，再根据角之间的关系求得∠DBC＝∠CED，根据等角对等边即可得到DB＝DE．（2）由DF的长可求出CD，进而可求出AC的长，则△ABC的周长即可求出．【解答】（1）证