2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题二数列微专题2数列求和及简单应用大题考法1公式求和与分组求和

大题考法1公式求和与分组求和(2023·广东模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且8Sn＝(an＋2)2(n∈N*)．(1)证明：数列{an}为等差数列；(2)已知an＝logeq\r(3)bn，求数列{bn}的前n项和Tn.(1)证明：因为8Sn＝(an＋2)2，所以8Sn＋1＝(an＋1＋2)2，相减得，8Sn＋1－8Sn＝(an＋1＋2)2－(an＋2)2，所以8an＋1＝aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＋4(an＋1－an)，所以aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)－4(an＋1＋an)＝0，所以(an＋1＋an)(an＋1－an－4)＝0.因为an＋1＋an>0，所以∀n∈N*，an＋1－an＝4，又n＝1时，8S1＝8a1＝(a1＋2)2＝aeq\o\al(2,1)＋4a1＋4，得a1＝2，所以数列{an}是以2为首项，4为公差的等差数列．(2)解：由(1)得an＝a1＋(n－1)d＝2＋4(n－1)＝4n－2，因为an＝logeq\r(3)bn，所以bn＝(eq\r(3))an＝32n－1，即数列{bn}是以3为首项，9为公比的等比数列，所以Tn＝eq\f(3（1－9n）,1－9)＝eq\f(3（9n－1）,8).(2023·惠州模拟)数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1.(1)求证：数列{an－1}是等比数列；(2)若bn＝an＋n，求数列{bn}的前n项和Tn.(1)证明：因为an＋1＝2an－1，所以an＋1－1＝2(an－1)，因为a1＝2，则a2＝2a1－1＝3，a3＝2a2－1＝5，…，以此类推可知，对任意的n∈N*，an≥2，eq\f(an＋1－1,an－1)＝2，又a1－1＝1，所以数列{an－1}是以1为首项，2为公比的等比数列．(2)解：由(1)可知an－1＝2n－1，n∈N*，所以bn＝an＋n＝2n－1＋n＋1，又由题知Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(20＋2)＋(21＋3)＋(22＋4)＋…＋(2n－1＋n＋1)＝(20＋21＋22＋…＋2n－1)＋[2＋3＋4＋…＋(n＋1)]＝eq\f(1－2n,1－2)＋eq\f(n（2＋n＋1）,2)＝2n＋eq\f(n2＋3n,2)－1.1．如果数列是等差数列或等比数列，在求和时用公式求和即可，(1)等差数列：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.(2)等比数列：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))2．如果数列通项公式是两类不同式子的和，一般采用分组求和．1．(2023·汕头潮阳区三模)等差数列{an}和各项均为正数的等比数列{bn}满足：a1＝b1＝2，a3＝b3＝8.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)数列{cn}是由数列{an}和{bn}中不同的项按照从小到大的顺序排列得到的新数列，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S100.解：(1)由题意得an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)d，bn＝b1qn－1＝2qn－1，又2＋2d＝2q2＝8(q>0)，解得d＝3，q＝2，故an＝3n－1，bn＝2n(n∈N*)．(2)当n＝100时，a100＝299，由2n<299，得n≤8，n∈N*，又b1＝a1，b3＝a3，b5＝a11，b7＝a43，故在数列{an}的前100项中含有数列{bn}中的4项，所以S100＝a1＋a2＋…＋a100－(b1＋b3＋b5＋b7)＋(b2＋b4＋b6＋b8)，所以S100＝eq\f(100×（2＋299）,2)－(2＋8＋32＋128)＋(4＋16＋64＋256)＝15220.2．(2023·惠州模拟)记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn，2n的等差中项为an.(1)求证{an＋2}为等比数列；(2)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋3)))的前n项和为Tn，是否存在整数k满足Tn∈(k，k＋1)？若存在求k，否则说明理由．(1)证明：因为Sn，2n的等差中项为an，所以2an＝Sn＋2n，所以2an－1＝Sn－1＋2(n－1)，n≥2，两式相减可得：2an－2an－1＝an＋2，n≥2，所以an＋2＝2(an－1＋2)，n≥2，又2a1＝S1＋2＝a1＋2，所以a1＝2，所以a1＋2＝4，所以{an＋2}是以首项为4，公比为2的等比数列．(2)解：由(1)可知an＋2＝4·2n－1，所以an＝2n＋1－2，所以eq\f(1,an＋3)＝eq\f(1,2n＋1＋1)，又0<eq\f(1,2n＋1＋1)<eq\f(1,2n＋1)，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋3)))的前n项Tn>0，所以Tn＝eq\f(1,22＋1)＋eq\f(