2023-2024学年江苏省无锡市江阴市南菁高级中学实验学校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省无锡市江阴市南菁高级中学实验学校九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP＝5时，点A与⊙O的位置关系为（）A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定2．方程（x﹣5）（x﹣6）＝x﹣5的解是（）A．x＝5 B．x＝5或x＝6 C．x＝7 D．x＝5或x＝73．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的直径AB为（）A．5cm B．4cm C．6cm D．8cm4．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（）A．11π B．7π C．13π D．9π5．当用配方法解一元二次方程x2﹣3＝4x时，下列方程变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝76．2023年连花清瘟胶囊经过两次降价，从每盒43元下调至13.8元，设平均每次降价百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A．43（1﹣x2）＝13.8 B．43（1﹣x）2＝13.8 C．43（1﹣2x）＝13.8 D．13.8（1+x）2＝437．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC＝（）A．2 B． C． D．38．如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，与AB垂直的半径OC交于点D且CD＝2OD，则折痕AB的长为（）A． B． C．6 D．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿边CD以2cm/s的速度向点D移动．设运动时间为t，当PQ＝10cm时，t＝（）A． B．或4 C．或 D．410．如图，O为等边△ABC的外心，四边形OCDE为正方形．现有以下结论：①O是△ABE外心；②O是△ACD的外心；③∠EBC＝45°；④设BE＝x，则；⑤若点M，N分别在线段BA，BC上运动（不含端点），随着点E运动到每一个确定位置时，△EMN的周长都有最小值，．其中所有正确结论的序号是（）A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处）11．若矩形的长和宽是方程x2﹣6x+m＝0（0＜m≤9）的两根，则矩形的周长为．12．已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝5，则直线l与⊙O的位置关系是．13．如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7＝°．14．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值是．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F．若BD＝10，AD＝3，则＝．16．如图，扇形OAB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C、D、E分别在OA、、OB上，AF⊥ED，交ED的延长线于点F．则图中阴影部分面积是．17．如图，，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，将线段BD绕着点B逆时针旋转60°得到线段BA，则线段AC的取值范围是．18．如图，在半圆O中，C是半圆上的一个点，将沿弦AC折叠交直径AB于点D，点E是的中点，连接OE，若OE的最小值为，则AB＝．三、解答题（本大题共9小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）用适当的方法解下列方程．（1）x2﹣2x﹣1＝0（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6（3）（2x﹣1）2﹣9＝0（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝020．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B若直径AC＝12cm，∠P＝60°，求弦AB的长．21．已知一元二次方程x2+ax+a﹣2＝0．（1）当其中一个根为1时，求另一个根．（2）证明不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．22．如图，是一个△ABC纸板，其中∠C＝90°，∠B＝60°，AC＝3．操作（1）：可以剪出一个直径在直角边AC上的最大半圆，请用无刻度直尺和圆规作出符合条件的半圆；操作（2）：若将（1）中的半圆剪下，围成一个圆锥的侧面，剩下部分能再剪出一个完整的圆作为圆锥的底面吗？若能，求出底面半径；若不能，请说明理由．23．关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足a2+b2＝c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”．请解决下列问题：（1）请写出一个“勾系方程”：；（2）求证：关于x的“勾系方程”必有实数根；（3）如图，已知AB、CD是半径为5的⊙O的两条平行弦，AB＝2a，CD＝2b，且关于x的方程是“勾系方程”，求∠BDC．24．如图，AB为⊙O的直径，E为AB的延长线上一点，作直线EC交⊙O于点C，连接AC、BC，使得∠BCE＝∠CAB，过点A作AD⊥EC交EC延长线于点D．（1）求证：直线EC是⊙O的切线；（2）若BE＝1，CE＝2，求⊙O的半径及AD的长．25．某杨梅采摘园收费信息如下表：成人票儿童票带出杨梅价格不超过10人超过10人18元/人30元/斤30元/人每增加1人，人均票价下降1元，但不低于儿童票价（1）某社团共35人去该采摘园进行综合实践活动，购买了10张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过1530元，求本次活动他们最多共带出杨梅多少斤？（2）某公司员工（均为成人）在该杨梅采摘园组织团建活动，共支付票价384元，求这次参加团建的共多少人？26．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，﹣5），以原点O为圆心，3为半径作圆．P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴负半轴运动，运动时间为t（s）．连结AP，将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．求△APQ有一边所在直线与⊙O相切时直线AP的解析式．27．定义1：如图1，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转θ（θ＝120°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标，实数a为点P的横坐标．定义2：在平面斜坐标系xOy中，若△ABC与⊙O有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边BC上（不与点B，C重合），则称△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．（1）已知⊙O的半径为1，△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．①如图2，点B（0，0），C（0，2），点A的横坐标的最小值为，在，这两个点中，点A可以与点重合；②若点A（1，0），点B（0，m），m＜0，∠B＝90°，BA＝BC，点C在x轴下方．求满足条件的点C轨迹长度；（2）已知⊙O的半径为r，点A（r，r），点C（4，0）．若平面斜坐标系xOy中存在点B，使得△ABC是等边三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．

参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP＝5时，点A与⊙O的位置关系为（）A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定【分析】OP＝5，A为线段PO的中点，则OA＝2.5，因而点A与⊙O的位置关系为：点在圆内．解：∵OA＝OP＝2.5，⊙O的半径为3，∴OA＜⊙O半径，∴点A与⊙O的位置关系为：点在圆内．故选：A．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d＝R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．2．方程（x﹣5）（x﹣6）＝x﹣5的解是（）A．x＝5 B．x＝5或x＝6 C．x＝7 D．x＝5或x＝7【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．解：方程移项得：（x﹣5）（x﹣6）﹣（x﹣5）＝0，分解因式得：（x﹣5）（x﹣7）＝0，解得：x＝5或x＝7，故选：D．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．3．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的直径AB为（）A．5cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为4cm，求出直径即可．解：如图，连接OD、OC，∵BC＝CD＝DA＝4cm，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．又OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝AD＝4cm，∴⊙O的直径AB为8cm．故选：D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定，解题的关键是利用“有一内角是60度的等腰三角形为等边三角形”证得△AOD是等边三角形．4．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（）A．11π B．7π C．13π D．9π【分析】根据题意，先找到圆心O，然后根据PA，PB分别与所在圆相切于点A，B，∠P＝40°可以得到∠AOB的度数，然后即可得到优弧AMB对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可．解：设所在圆的圆心为O，连接OA，OB，∵PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝40°，∴∠AOB＝140°，∴优弧AMB对应的圆心角为360°﹣140°＝220°，∴优弧AMB的长是：＝11π（cm）．故选：A．【点评】本题考查弧长的计算、切线的性质，解答本题的关键是求出优弧AMB的度数．5．当用配方法解一元二次方程x2﹣3＝4x时，下列方程变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝7【分析】原方程变形为x2﹣4x＝3，再在两边都加上那个22，即可得．解：x2﹣4x＝3，x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，故选：D．【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）：先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半的平方．6．2023年连花清瘟胶囊经过两次降价，从每盒43元下调至13.8元，设平均每次降价百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A．43（1﹣x2）＝13.8 B．43（1﹣x）2＝13.8 C．43（1﹣2x）＝13.8 D．13.8（1+x）2＝43【分析】根据药品经过两次降价，每瓶零售价由43元降为13.8元，可以列出方程43（1﹣x）2＝13.8，本题得以解决．解：由题意可得，43（1﹣x）2＝13.8．故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC＝（）A．2 B． C． D．3【分析】连接CD，由AD是⊙O的直径，得∠ACD＝90°，由∠ABC＝∠DAC，∠ABC＝∠D，得∠DAC＝∠D，则AC＝DC，所以AD＝＝AC＝4，求得AC＝2，于是得到问题的答案．解：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵∠ABC＝∠DAC，∠ABC＝∠D，∴∠DAC＝∠D，∴AC＝DC，∵AD＝4，且AD＝＝＝AC，∴AC＝4，∴AC＝2，故选：C．【点评】此题重点考查三角形的外接圆、圆周角定理、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．8．如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，与AB垂直的半径OC交于点D且CD＝2OD，则折痕AB的长为（）A． B． C．6 D．【分析】延长CO交AB于E点，连接OB，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB的长解：延长CO交AB于E点，连接OB，∵CE⊥AB，∴E为AB的中点，∵OC＝6，CD＝2OD，∴CD＝4，OD＝2，OB＝6，∴DE＝（2OC﹣CD）＝（6×2﹣4）＝×8＝4，∴OE＝DE﹣OD＝4﹣2＝2，在Rt△OEB中，∵OE2+BE2＝OB2，∴BE＝＝＝4∴AB＝2BE＝8．故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿边CD以2cm/s的速度向点D移动．设运动时间为t，当PQ＝10cm时，t＝（）A． B．或4 C．或 D．4【分析】过点P作PE⊥CD于点E，则PE＝BC＝6cm，利用时间＝路程÷速度，可求出点P到达点B所需时间，当运动时间为t（0＜t≤）s时，EQ＝|16﹣5t|，利用勾股定理，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．解：过点P作PE⊥CD于点E，则PE＝BC＝6cm，如图所示.16÷3＝（s）．当运动时间为t（0＜t≤）s时，AP＝3tcm，DQ＝（16﹣2t）cm，EQ＝|（16﹣2t）﹣3t|＝|16﹣5t|，根据题意得：PQ2＝PE2+EQ2，即102＝62+（16﹣5t）2，整理得：（16﹣5t）2＝82，∴16﹣5t＝8或16﹣5t＝﹣8，解得：t1＝，t2＝，∴t的值为或．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．如图，O为等边△ABC的外心，四边形OCDE为正方形．现有以下结论：①O是△ABE外心；②O是△ACD的外心；③∠EBC＝45°；④设BE＝x，则；⑤若点M，N分别在线段BA，BC上运动（不含端点），随着点E运动到每一个确定位置时，△EMN的周长都有最小值，．其中所有正确结论的序号是（）A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤【分析】本题命题思路是以等边△ABC外心为背景，进而得到A，E，C，B四点共圆，从而对角互补，利用旋转△ABE，可以转化四边形ABCE为一个规则的等边三角形EBF，最后利用轴对称性可解决AEMN周长最小值的问题．解：连接OA，OB；∵O为△ABC的外心；∴OA＝OB＝OC；∵正方形OCED；∴OC＝OE；∴OE＝OA＝OB；∴O是的△ABE外心；故①正确．对于②，连接AD，OD，∵OA＝OC≠OD，∴O不是△ACD的外心；故②错误．对于③，连接OB，∴OC＝OE＝OB，∴C，B，E，三点共圆；∴，∵∠COE＝90°，即∠EBC＝45°；故③正确．对于④，∵OC＝OE＝OB＝OA，∴E，A，B，C四点共圆，如图所示，以点B为旋转中心，把△BAE绕点B逆时针旋转60°，点E的对应点为点F，△ABE≌△CBF，∵∠ABE+∠CBE＝60°，∴∠CBF+∠CBE＝60°，即∠FBE＝60°，∵∠EAB+∠ECB＝180°，∴∠FCB+∠ECB＝180°，∴E，C，F三点共线；由旋转的性质可得，BE＝BF，∴△FBE是等边三角形；∵BE＝x，过点F作BE的垂线，垂足为P，∴FP⊥BE，∵∠PFB＝30°；在Rt△PFB中，tan30°＝，∴；∴；，∵SAECB＝S△FBE，∴；故④正确．对于⑤，如下图所示；作EM和EN关于AB和BC的对称线段，∴EM＝MP，EN＝NQ；C△EMN＝MN+MP+NQ，当P，M，N，Q四点共线时，C△EMN周长最小：即C△EMN＝MN+MP+NQ≥PQ，C△EMN＝PQ，连接EB，∴EB＝BP＝BQ，连接PQ，∴△BPQ是等腰三角形；∵∠EBM＝∠PBM，∠QBN＝∠EBN；∴∠EBA+∠EBC＝∠PBM+QBN；∵∠EBA+∠EBC＝60°，∴∠PBQ＝2∠ABC＝120°；∴三角形PBQ是以∠PBQ＝120°为顶角的等腰三角形；过点B作PQ的垂线，垂足为L，∵∠PBL＝30°，∴；在Rt△PBL中；∴；∴即故⑤错误；综上所述，①③④正确；故选：A．【点评】本题主要考查正方形的性质，等边三角形性质及其外心的性质，圆周角定理，四点共圆及圆内接四边形的性质，旋转变换，利用轴对称解决周长最小值，120°等腰三角形的解法及解直角三角形，见外心连顶点，到三个顶点距离相等，判定外心只需确顶点是都到三角形三个顶点距离相等，四边形对角互补要旋转，转化定型求面积，求周长最小值利用轴对称变换是关键，转化两点间距离最短即可，最后牢记特殊三角形的边长之比非常重要，例如120°等腰三角形三边之比为1：1．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处）11．若矩形的长和宽是方程x2﹣6x+m＝0（0＜m≤9）的两根，则矩形的周长为12．【分析】设矩形的长和宽分别为a、b，由于矩形的长和宽是方程x2﹣6x+m＝0（0＜m≤9）的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系得到a+b＝6，然后利用矩形的性质易求得到它的周长．解：设矩形的长和宽分别为a、b，根据题意得a+b＝6，所以矩形的周长＝2（a+b）＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了矩形的性质．12．已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝5，则直线l与⊙O的位置关系是相离．【分析】解一元二次方程可得x1＝﹣2，x2＝4，由题意得⊙O的半径为r＝5，再根据d＞r，可得：直线l与⊙O的位置关系是相离．解：∵x2﹣2x﹣8＝0，∴（x+2）（x﹣4）＝0，∴x1＝﹣2，x2＝4，∴⊙O的半径为r＝4，∵圆心O到直线l的距离d＝5，∴d＞r，∴直线l与⊙O的位置关系是相离；故答案为：相离．【点评】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系等，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．13．如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7＝54°．【分析】找出正十边形的圆心O，连接A7O，A4O，再由圆周角定理即可得出结论．解：如图，设正十边形内接于⊙O，连接A7O，A4O，∵正十边形的各边都相等，∴∠A7OA4＝×360°＝108°，∴∠A4A1A7＝×108°＝54°．故答案为：54．【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．14．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值是﹣1．【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得关于m的方程，然后解关于m的方程后利用一元二次方程的定义确定m的值．解：把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，解得m1＝1，m2＝﹣1，而m﹣1≠0，所以m＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的定义．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F．若BD＝10，AD＝3，则＝．【分析】由切线长定理得BE＝BD＝10，AF＝AD＝3，则AB＝13，连接OE、OF，则四边形OECF是正方形，设CE＝CF＝m，由勾股定理得（3+m）2+（10+m）2＝132，求得m＝2，则AC＝5，BC＝12，所以＝，于是得到问题的答案．解：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，BD＝10，AD＝3，∴BE＝BD＝10，AF＝AD＝3，AB＝BD+AD＝10+3＝13，连接OE、OF，则BC⊥OE，AC⊥OF，∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°，∴四边形OECF是矩形，∵OE＝OF，∴四边形OECF是正方形，设CE＝CF＝m，则AC＝3+m，BC＝10+m，∴（3+m）2+（10+m）2＝132，解得m1＝2，m2＝﹣15（不符合题意，舍去），∴AC＝3+2＝5，BC＝10+2＝12，∴＝，故答案为：．【点评】此题重点考查切线长定理、正方形的判定、勾股定理等知识，正确地作出辅助线并且证明CE＝CF是解题的关键．16．如图，扇形OAB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C、D、E分别在OA、、OB上，AF⊥ED，交ED的延长线于点F．则图中阴影部分面积是．【分析】通过观察图形可知DE＝DC，BE＝AC，弧BD＝弧AD，阴影部分的面积正好等于长方形ACDF的面积，根据正方形的性质求出扇形的半径，从而求出AC的长，即可求出长方形ACDF的面积．解：连接OD，∵正方形的边长为1，即OC＝CD＝1，∴OD＝＝，∴AC＝OA﹣OC＝﹣1，∵DE＝DC，BE＝AC，弧BD＝弧AD，∴图形ACD是面积等于图形BED的面积，∴S阴＝长方形ACDF的面积＝AC•CD＝．故答案为：．【点评】本题要把不规则的图形通过几何变换转化为规则图形的面积求解．如通过观察可知阴影部分的面积正好等于长方形ACDF的面积，直接根据相关条件求长方形ACDF的面积即可．17．如图，，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，将线段BD绕着点B逆时针旋转60°得到线段BA，则线段AC的取值范围是．【分析】以BC为边作等边三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC＝MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，由图象可知，DM⊥BC时，DM的值最大．OM＝OB•tan∠OBM＝2•tan60°＝6，代入AC最大值＝DM最大值＝OD+OM求得最大值；结合AC＞BC即可得解．解：以BC为边作等边三角形△BCM，将线段BD绕着点B逆时针旋转60°得到线段BA，连接AD，AC，如图，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM（SAS），∴AC＝MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC＝4，∠BDC＝90°，点D在以BC为直径的半圆⊙O上运动，由图象可知，DM⊥BC时，DM的值最大，在Rt△BOM中，∠OBM＝60°，∴OM＝OB•tan∠OBM＝2•tan60°＝6，∴AC最大值＝DM最大值＝OD+OM＝2+6．当D点无限接近B点时，AC的大小无限接近BC，即AC＞4，综上，线段AC的取值范围是．故答案为：．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．18．如图，在半圆O中，C是半圆上的一个点，将沿弦AC折叠交直径AB于点D，点E是的中点，连接OE，若OE的最小值为，则AB＝2．【分析】连接CE，OC，由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时OE最小，设的弧度为x°，求出的弧度为90°，设AB＝2r，利用勾股定理求出CE，即可得出OE＝CE﹣OC＝＝，解得2r＝2．解：连接CE，OC，由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时OE最小，设的弧度为x°，∴的弧度为：（180﹣x）°，∵∠CAD＝∠CAB，∴的弧度为：（180﹣x）°，由折叠得，的弧度为x°，∴的弧度为：x°﹣（180﹣x）°＝（2x﹣180）°，∵点E为弧AD中点，∴的弧度为：（2x﹣180）°＝（x﹣90）°，∴的弧度为：（180﹣x）°+（x﹣90）°＝90°，即所对圆心角为90°，设AB＝2r，∴⊙O半径为r，∴CE＝＝r，∴OE＝CE﹣OC＝＝，∴r＝，∴AB＝2r＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质是解题关键．三、解答题（本大题共9小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）用适当的方法解下列方程．（1）x2﹣2x﹣1＝0（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6（3）（2x﹣1）2﹣9＝0（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0【分析】（1）根据配方法进行求解方程即可；（2）整理后根据因式分解法求解方程即可；（3）根据直接开平方法进行求解方程即可；（4）根据因式分解法进行求解方程即可．解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2，∴x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6，整理，得2x2﹣5x+3＝0，（2x﹣3）（x﹣1）＝0，2x﹣3＝0或x﹣1＝0，∴x1＝，，x2＝1；（3）（2x﹣1）2﹣9＝0，（2x﹣1）2＝9，2x﹣1＝±3，∴x1＝2，x2＝﹣1；（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，（x﹣3）（3x﹣3）＝0，x﹣3＝0或3x﹣3＝0，∴x1＝3，x2＝1．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．20．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B若直径AC＝12cm，∠P＝60°，求弦AB的长．【分析】连接CB．PA、PB是QO的切线，由切线长定理知PA＝PB；又∠P＝60°，则等腰三角形APB是等边三角形，则有ABP＝60°；由弦切角定理知，∠PAB＝∠C＝60°，AC是直径；由直径对的圆周角是直角得∠ABC＝90°，则在Rt△ABC中，有∠CAB＝30°，进而可知AB＝ACsin∠CAB＝12×＝6（若取近似值，不扣分）．解：连接CB．∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，又∵∠P＝60°，∴∠PAB＝60°；又∵AC是⊙O的直径，∴CA⊥PA，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝30°，而AC＝12，∴在Rt△ABC中，cos30°＝，∴AB＝12×＝6（若取近似值，不扣分）．【点评】本题利用了切线长定理，等边三角形的判定和性质，弦切角定理，直角三角形的性质，正弦的概念求解．注意本题的解法不唯一．21．已知一元二次方程x2+ax+a﹣2＝0．（1）当其中一个根为1时，求另一个根．（2）证明不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【分析】（1）首先把x＝1代入方程求出a，然后设方程的另一根为x1，根据方程解的定义、根与系数的关系列出方程求出方程的另一根；（2）计算根的判别式的值得到Δ＞0，则根据根的判别式的意义得到结论；【解答】（1）∵x＝1是方程x2+ax+a﹣2＝0的根，∴1+a+a﹣2＝0，解得，∴方程为x2+＝0，∴1×，∴x1＝，即另一根为﹣；（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2），＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4，∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+4＞0∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系是解题的关键．还考查了根与系数的关系．22．如图，是一个△ABC纸板，其中∠C＝90°，∠B＝60°，AC＝3．操作（1）：可以剪出一个直径在直角边AC上的最大半圆，请用无刻度直尺和圆规作出符合条件的半圆；操作（2）：若将（1）中的半圆剪下，围成一个圆锥的侧面，剩下部分能再剪出一个完整的圆作为圆锥的底面吗？若能，求出底面半径；若不能，请说明理由．【分析】（1）选择AC直角边为直径所在的边，如图，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D；连接CD，分别以C、D为圆心，大于的长为半径画弧，连接两个交点，交AC于点O，点O即为圆心．（2）设圆锥底面半径为r；于是得到π＝2πr；求得圆锥底面半径，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：（1）如图所示；图中以点O为圆心的半圆是所求作的图形；（2）设圆锥底面半径为r；∵半圆的弧长为π，∴π＝2πr；∴圆锥底面半径，在Rt△ABC中，AC＝3，∠B＝60°，∠C＝90°，∴，∵，∴OB＝2，OC＝1，设⊙O'的半径为r'，在RtΔO'BG中，O'G＝r'，∠O'BG＝30°，∠O'GB＝90°，∴O'B＝2r'，∵OE+EO'+O'B＝OB＝2，∴1+3r'＝2，得；∵r＞r'∴不能剪出圆锥的底面．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线到现在，作图﹣基本作图，直角三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键．23．关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足a2+b2＝c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”．请解决下列问题：（1）请写出一个“勾系方程”：（答案不唯一）；（2）求证：关于x的“勾系方程”必有实数根；（3）如图，已知AB、CD是半径为5的⊙O的两条平行弦，AB＝2a，CD＝2b，且关于x的方程是“勾系方程”，求∠BDC．【分析】（1）由“勾股方程”满足的条件，即可写出一个“勾系方程”；（2）由一元二次方程根的判别式，即可判断；（3）由勾股定理，垂径定理，圆周角定理，即可求解．解：（1）3x+10x+4＝0（答案不唯一）；故答案为：3x+10x+4＝0（答案不唯一）；（2）证明：∵关于x的一元二次方程是“勾系方程”，∴a2+b2＝c2且c≠0，a≠0，Δ＝（2c）2﹣4＝4c2﹣8ab＝4（a2+b2）﹣8ab＝4（a2+b2﹣2ab）＝4（a﹣b）2；∵（a﹣b）2≥0∴Δ≥0∴方程有两个实数根；（3）解：∠BDC＝45°，理由如下：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OB，OC，∵DC∥AB，∴EF⊥CD，∴AE＝BE＝a，CF＝DF＝b，∵BE2+OE2＝OB2，∴a2+OE2＝52，∵是“勾系方程，∴a2+b2＝52，∴OE＝b＝CF；∵OB＝OC，∴Rt△BOE≌Rt△OCF（HL），∴∠FOC＝∠OBE，∵∠OBE+∠EOB＝90°，∴∠FOC+EOB＝90°，∴∠COB＝90°，∴．【点评】本题考查“勾股方程”的概念，一元二次方程根的判别式，勾股定理，关键是明白“勾股方程”的定义．24．如图，AB为⊙O的直径，E为AB的延长线上一点，作直线EC交⊙O于点C，连接AC、BC，使得∠BCE＝∠CAB，过点A作AD⊥EC交EC延长线于点D．（1）求证：直线EC是⊙O的切线；（2）若BE＝1，CE＝2，求⊙O的半径及AD的长．【分析】（1）连接OC．证出∠OCE＝90°，由切线的判定可得出结论；（2）设⊙O半径为r，则OC＝r，OE＝r+1，利用勾股定理得到r2+22＝（r+1）2，解得r＝，再证明△OCE∽△ADE，然后利用相似比可计算出AD的长．【解答】（1）证明：连接OC．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CBA+∠CAB＝90°，∵OC＝OB，∴∠CBA＝∠OCB，又∵∠CAB＝∠BCE，∴∠OCB+∠BCE＝90°，即∠OCE＝90°，∴OC⊥CE，∵OC为⊙O半径，∴EC是⊙O切线；（2）解：设⊙O半径为r，则OC＝r，OE＝r+1，在Rt△OEC中，∵OC2+EC2＝OE2，∴r2+22＝（r+1）2，解得：r＝，∴OE＝，AE＝4，OC＝．∵OC∥AD，∴△OCE∽△ADE，∴，即，解得：AD＝．【点评】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．25．某杨梅采摘园收费信息如下表：成人票儿童票带出杨梅价格不超过10人超过10人18元/人30元/斤30元/人每增加1人，人均票价下降1元，但不低于儿童票价（1）某社团共35人去该采摘园进行综合实践活动，购买了10张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过1530元，求本次活动他们最多共带出杨梅多少斤？（2）某公司员工（均为成人）在该杨梅采摘园组织团建活动，共支付票价384元，求这次参加团建的共多少人？【分析】（1）求出成人票为18元/人时的购买数量，结合该社团的成人数，可得出该社团购买的成人票价为18元/人，设本次活动他们共带出x斤杨梅，根据总费用不超过1530元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论；（2）设参加团建的共有y人，由300＜384＜396，可得出10＜y＜22，利用购票总价＝单价×数量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．解：（1）∵（30﹣18）÷1＝12（人），10+12＝22（人），∴当成人人数大于或等于22人时，成人票都是18元/人．∵35﹣10＝25（人），25＞22，∴该社团购买的成人票价为18元/人．设本次活动他们共带出x斤杨梅，根据题意得：10×18+25×18+30x≤1530，解得：x≤30，∴x的最大值为30．答：本次活动他们最多共带出杨梅30斤；（2）设参加团建的共有y人，∵30×10＝300（元），18×22＝396（元），300＜384＜396，∴10＜y＜22．根据题意得：[30﹣（y﹣10）]•y＝384，整理得：y2﹣40y+384＝0，解得：y1＝16，y2＝24（不符合题意，舍去）．答：参加这次团建的共有16人．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．26．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，﹣5），以原点O为圆心，3为半径作圆．P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴负半轴运动，运动时间为t（s）．连结AP，将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．求△APQ有一边所在直线与⊙O相切时直线AP的解析式．【分析】分三种情况，先求得OQ，进而根据三角形面积公式求得AP，然后根据勾股定理列出方程，解方程即可．解：当AQ与⊙O相切时，如图1，设AQ切⊙O于点D，连接OQ，交AP于M，连接OD，∵AD切⊙O于点D，∴OD⊥AQ，OD＝3，∵OA＝5，∴AD＝4，∵A（0，﹣5），∴OA＝AQ＝5，∴QD＝1，∴OQ＝＝，∵将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．∴OQ⊥AP，OM＝MQ＝，∵OP＝t，OA＝5，∴AP•OM＝OA•OP，即AP•＝×5×t，∴AP＝t，在Rt△AOP中，AP2＝OP2+OA2，解10t2＝t2+25，解得t＝，∴P（﹣，0），∴设直线AP解析式：y＝kx﹣5，∴0＝﹣k﹣5，解得：k＝﹣3，故直线AP解析式：y＝﹣3x﹣5；当AP与⊙O相切时，如图2，设AP切⊙O于点E，连接OQ，∵将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．∴OQ⊥AP，∴OQ经过点E，∴OE⊥AP，∵AP•OE＝OA•OP，即3AP＝5t，∴AP＝t，在Rt△AOP中，AP2＝OP2+OA2，解（t）2＝t2+25，解得t＝，则P（﹣，0），∵A（0，﹣5），∴设直线AP解析式：y＝kx﹣5，∴0＝﹣k﹣5，解得：k＝﹣，故直线AP解析式：y＝﹣x﹣5；当PQ与⊙O相切时，如图3，设PQ切⊙O于点E，连接OE，∴OE⊥PQ，∵AQ⊥PQ，∴OE∥AQ，∴△ODE∽△ADQ，∴＝，即＝，∴OD＝，∴AD＝，∴DQ＝＝，∴PD＝DQ﹣PQ＝﹣t，∵OD•OP＝PD•OE，∴t＝（﹣t）×3，解得t＝，∴P（﹣，0），∴设直线AP解析式：y＝kx﹣5，0＝﹣k﹣5，解得：k＝﹣，故直线AP解析式：y＝﹣x﹣5；当QA的反向延长线与⊙O相切时，如图4，设PQ切⊙O于点D，连接OD，QA交y轴于E，∴OD⊥AQ，∴OA2＝OD2+AD2，∴AD＝4，∵OA2＝AD•AE，∴AE＝，∵AE•OD＝OA•OE，∴OE＝＝，∴PE＝t+，∵PQ⊥AQ，∴PE2＝PQ2+QE2，即（t+）2＝t2+（5+）2，解得t＝15，则P（﹣15，0），∴0＝﹣15k﹣5，解得：k＝﹣，故直线