【选修二同步】第01讲 数列的概念及通项公式教师版

第01讲数列的概念及通项公式【必备知识】1数列的概念：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示，第个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示．其中第1项也叫做首项．备注：数列的一般形式：数列的一般形式可以写成，简记为．2函数与数列的关系：数列是从正整数集(或它的有限子集)到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为．3数列的分类：按照数列中项的个数多少可以分为有穷数列和无穷数列．4数列的单调性：(1)递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列(2)递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列(3)常数列：各项都相等的数列5通项公式：如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．备注：通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．6数列的递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．7数列的前项和与的关系：把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即.备注：【题型精讲】【题型一观察法求数列通项】【题1】写出数列的一个通项公式（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】数列分子为，分母为，由此可求得一个通项公式.【详解】数列，则其分母为，分子为，则其通项公式为.故选：B【题2】数列4，7，10，13，…的一个通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据数列中数据特征得到通项公式.【详解】由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该是，数值4，7，10，13，…满足，所以通项公式可以是．故选：B．【题3】数列{an}：1，，，，…，的一个通项公式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据数列的项归纳出一个规律即得．【详解】观察数列{an}各项，可写成：，选项D满足，选项A中，，选项B中，，选项C中，，均不符合题意．故选：D【题4】已知数列的前三项为4，3，2，则的一个通项公式可以为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，结合选项判断.【详解】解：因为，所以的一个通项公式可以为．而对于A的通项，，不符合题设要求；对于B中的通项，，不符合题设要求；对于D中的通项，，不符合题设要求.故选：C【题5】数列

的一个通项公式为.【答案】【分析】观察其分子，分母与项之间的关系即可求.【详解】可化为，所以分子部分为，分母部分为，奇数项为正，偶数项为负，则，则.故答案为：【题6】观察下图，写出点数所成数列的一个通项公式．【答案】．（结果不唯一）【分析】依次写出已知图形中的点数，然后归纳出结论．【详解】已知图形中点数依次为：1，6，11，16，所以其中一个通项公式为．（结果不唯一）．【题7】在数列中，，，通项公式，其中p，q为常数，．(1)求的通项公式；(2)88是否是数列中的项？【答案】(1)；(2)88不是数列中的项【分析】（1）将，代入到通项公式中，联立成方程组，求解出参数p，q，从而得出通项公式；（2）令，解出的值，若为正整数，则是数列中的项；若不是正整数，则不是数列中的项.【详解】（1）解：因为，，通项公式，所以，解得，，所以；（2）令，解得，因为，所以88不是数列中的项.【题8】在数列中，已知，且.(1)求通项公式.(2)求证：是递增数列.【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）根据数列的通项将分别代入可计算出，可求得通项公式；（2）根据递增数列的定义，由即可得出证明.【详解】（1）由，且可得，解得；因此.所以，数列的通项公式为（2）根据递增数列的定义可知，，即，故是递增数列.【题型二求数列中的具体项】【题1】已知数列的一个通项公式为，且，则实数等于（

）A．1 B．3 C． D．【答案】B【分析】结合通项公式，利用列方程求解即可.【详解】因为，，所以，解得．故选：B.【题2】已知数列的一个通项公式为，且，则等于（

）A． B． C．5 D．6【答案】B【分析】根据通项公式及，求出的值，再将代入求解即可.【详解】解：因为，即，解得，所以．故选：B.【题3】一个数列的通项为，则（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】根据通项公式，直接代入和即可求出.【详解】解：数列的通项为，∴，，∴.故选：A.【题4】已知数列满足，则下列各数中属于数列中的项的是（

）A．3 B． C． D．4【答案】D【分析】根据数列满足，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】因为数列满足，对于A中，令，解得，所以A不符合题意；对于B中，令，解得，所以B不符合题意；对于C中，令，解得，所以C不符合题意；对于D中，令，解得，所以D符合题意.故选：D.【题5】(多选)已知数列，则下列说法正确的是（

）A．此数列的通项公式是 B．是它的第项C．此数列的通项公式是 D．是它的第项【答案】AB【分析】根据已知条件，结合数列中数字的规律，求出通项公式，即可依次求解.【详解】数列，即，则此数列的通项公式为，A正确，C错，令，解得，故B正确，D错.故选：AB【题6】(多选)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则（

）A．数列第16项为144 B．数列第16项为128C．200是数列第20项 D．200不是数列中的项【答案】BC【分析】由题意首先猜想数列的通项公式，然后求解该数列第16项及200是否是数列的项即可.【详解】偶数项分别为2，8，18，32，50，即，，，，，即偶数项对应的通项公式为，则数列的第16项为第8个偶数即，故选:BC．【题7】已知数列中，，则数列的前5项和为．【答案】【分析】根据的通项公式求得前项和.【详解】依题意，，所以，，所以数列的前5项和为.故答案为：【题8】已知数列{an}的通项公式是，()，则：（1）这个数列的第4项是；（2）65是这个数列的第项．【答案】【分析】利用数列的通项公式与项的关系，即可得到答案.【详解】（1）因为数列通项公式，所以数列的第4项；（2）由，得，即，因为，可得,所以65是这个数列的第11项.故答案为：，.【题9】已知无穷数列，，，…，，…．(1)求这个数列的第10项和第31项．(2)是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？(3)证明：不是这个数列中的项．【答案】(1)，；(2)是这个数列中的第项；(3)证明见解析【分析】（1）由数列的定义得到该数列的通项公式，从而求得其第10项和第31项；（2）将代入该数列的通项公式，从而得解；（3）将代入该数列的通项公式，从而得证.【详解】（1）因为无穷数列，，，…，，…，所以该数列的通项公式为，则，.（2）因为，将代入，得，解得或（舍去），所以是这个数列中的第项.（3）因为，将代入，得，即，解得（负值舍去），又，故也不满足题意，所以不是这个数列中的项.【题10】已知数列的通项公式为．(1)数列从第几项起各项的数值逐渐增大？(2)数列的哪些项为正数？(3)数列中是否存在数值与首项相同的项？【答案】(1)；(2)及其时，.；(3)存在，【分析】（1），利用二次函数的单调性即可得出答案；（2）令，解得即可得出答案；（3）令，解得.【详解】（1），数列从第项起各项的数值逐渐增大.（2）令，解得：或，因此及其时，.（3），令，解得：或，因此数列中存在数值与首项相同的项，.【题型三数列的递推公式】【题1】在数列中，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依次计算，得到为周期数列，一个周期为3，从而求出.【详解】由题意得，，，，……故为周期数列，一个周期为3，故.故选：C【题2】已知数列满足且，则（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【分析】由已知可得数列递推式，求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求得答案.【详解】由题意数列满足，则，故由，得，由此可知数列的周期为4，故，故选：B【题3】已知数列满足，且，若，则的值可能为（

）A．2021 B．2022C．2023 D．2024【答案】D【分析】由递推公式，写出数列前几项，得到数列的周期，可求可能的值.【详解】数列的递推公式为，由，则有，，则是以4为周期的周期数列，，有，，故的值可能为2024．故选：D.【题4】在数列中，，，，则的值为（

）A．30 B．31 C．32 D．33【答案】B【分析】由已知条件利用数列的递推公式，依次令，3，4，5，结合递推思想能求出结果．【详解】在数列中，，，，，，．故选：B．【题5】卢卡斯数列满足，．且的前6项和．则（

）A．29 B．47 C．76 D．123【答案】C【分析】设，列举出各项，即可求.【详解】设，则，则即，则，，，．故选：C【题6】已知数列的前项和为，其中则下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据递推关系分别求解数列的前13项，即可根据选项逐一求解.【详解】根据递推关系，可得数列的项为，进而可得数列的前13项分别为：，所以，，，，故ABD正确，C错误，故选：C【题7】“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，该数列满足递推关系：，．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用递推关系找到通项即可.【详解】，以此类推，．故选：D【题8】已知数列满足，，则的前10项和.【答案】75【分析】根据题意分别求，进而求.【详解】由题意可知：，，，，，，，，，，所以的前10项和.故答案为：75.【题9】已知数列满足，若，则.【答案】/【分析】利用数列的递推公式求出前4项，推导出是以3为周期的数列，由此能求出.【详解】数列满足，，∴，，，∴是以3为周期的数列，∵，∴.故答案为：.【题10】已知数列中，，，则其第3项为．【答案】【分析】根据递推公式及求出，进而求出，得到.【详解】因为，所以，故，所以.故答案为：【题11】已知数列满足，且，则；数列的前2023项的和为.【答案】21【分析】根据递推关系写出数列的项，可得数列的周期，利用周期求解.【详解】由，且，可得，，，，，，故从开始，每6项循环一次，且一个循环内6项的和为0，，即前2023项的和为.故答案为：2；1【题12】已知数列满足递推关系，且.(1)求，，；(2)尝试归纳出数列的通项公式.【答案】(1)，，；(2)【分析】（1）根据递推公式，直接代入求解即可（2）根据题意归纳出规律：，进而可求解【详解】（1）因为，所以，，，，.（2）由（1）可归纳得，，，，可以猜测，所以，可以猜测【题型四关系式法求数列通项】【题1】已知数列的前n项和为，则（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】利用，求出即可.【详解】因为，所以.故选：B.【题2】已知数列的前项和，下列判断中正确的是（

）A． B．数列是单调递减数列C．数列前项的乘积有最大值 D．数列前项的乘积有最小值【答案】C【分析】根据已知求的方法求出通项公式，然后逐项判断即可.【详解】数列的前项和，当时，，当时，，当，代入上式，即，符合上式，所以，故A错误；由可知，数列是单调递增数列，故B错误；因为，，，，，，，当时，，当时，，所以数列前项的乘积有最大值，最大值为，故C正确，D错误.故选：C.【题3】设数列满足，则（

）A．7 B． C． D．【答案】C【分析】根据题意令，，两式作差即可得结果.【详解】令，可得，令，可得，两式相减可得，所以.故选：C.【题4】已知数列满足，则的通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题中等式，可得，再结合时，可得.【详解】当时，有，所以，当时，由，，两式相减得，此时，，也满足，所以的通项公式为.故选：B.【题5】已知数列的前项和，则数列的通项公式为.【答案】【分析】根据题意，结合和，即可求得数列的通项公式.【详解】由数列的前n项和为，当时，可得；当时，所以数列的通项公式为.故答案为：.【题6】已知数列的前项和（为正整数），则此数列的通项公式.【答案】【分析】利用可求得数列的通项公式.【详解】因为数列的前项和（为正整数），当时，，当时，，不满足.所以，.故答案为：.【题7】已知数列满足，则数列的通项公式为.【答案】【分析】利用数列和与通项的关系，分两种情况求解.【详解】当时，；当时，，因为，所以两式相减可得；显然不满足上式，综上可得.故答案为：【题8】已知数列的前n项和为.(1)求，；(2)求这个数列的通项公式.【答案】(1)18，；(2).【分析】（1）代入求，由可得；（2）由与的关系求数列通项公式.【详解】（1）因为数列的前n项和为，所以，则；（2）当时，，当时，也满足上式，故数列的通项公式.【题型