13.3等腰三角形AB分层训练（解析版）

13.3等腰三角形一、单选题1．如果等腰三角形的一个角为70°，则它的底角度数为（

）A．40° B．55°或70° C．40°或70° D．55°【答案】B【分析】通过等腰三角形的两个底角相等分析判断即可.【详解】解：分两种情况求当70°的角为顶角时，则等腰三角形的两个底角的度数为12当70°的角为底角时，则等腰三角形的顶角为180°-70°×2=40°；故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论．2．下列说法正确的是（

）A．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 B．有两个角是60°的三角形是等边三角形C．两个全等的三角形一定关于某直线对称 D．有两边及一角相等的等腰三角形全等【答案】B【分析】根据等腰三角形的“三线合一”、等边三角形的判定、轴对称的定义及全等三角形的判定逐一判断即可求解．【详解】解：A、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，则A选项说法错误，故不符合题意；B、有两个角是60°的三角形是等边三角形，则B说法正确，故符合题意；C、两个全等的三角形不一定关于某直线对称，则C说法错误，故不符合题意；D、有两边及一对应角相等的等腰三角形全等，则D说法错误，故不符合题意，故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的“三线合一”、等边三角形的判定、轴对称的定义及全等三角形的判定，熟练掌握其基础知识是解题的关键．3．已知等腰三角形的两条边长分别为5和9，则它的周长为(

)A．19 B．23 C．25 D．19或23【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为5时，②当腰长为9时，从而可得答案．【详解】解：根据题意，①当腰长为5时，周长=5+5+9=19；②当腰长为9时，周长=9+9+5=23；故选：D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，注意本题要分两种情况解答．4．如图，点C在AD上，CA=CB,∠A=40°，则∠BCD等于（

）

A．40° B．70° C．80° D．110°【答案】C【分析】根据等边对等角的性质得∠A=∠B，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可求出∠BCD的度数．【详解】解：∵CA=CB，∠A=40°，∴∠A=∠B=40°，∴∠BCD=∠A+∠B=40°+40°=80°，故选：C．【点睛】本题主要考查等边对等角的性质和三角形的外角性质，熟练掌握性质是解题的关键．5．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（

）A．∠A:∠B:∠C=1:1:3 B．BC:AC:AB=2:2:3 C．∠B=50°，∠C=80° D．2∠A=∠B+∠C【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义，以及判定定理：等角对等边即可判断．【详解】解：A、∵∠A:∠B:∠C=1:1:3，∴∠A=∠B，∴AC=BC，即△ABC是等腰三角形，故选项不合题意；B、∵BC:AC:AB=2:2:3，∴BC=AC，即△ABC是等腰三角形，故选项不合题意；C、∵∠A=180°-∠B-∠C=50°∴∠A=∠B∴AC=BC，即△ABC是等腰三角形，故选项不合题意；D、由2∠A=∠B+∠C不能得出其中的两个角相等，故不一定是等腰三角形，故选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等角对等边．6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E是斜边AB的中点，DE垂直于AB，交BC于点D，连接AD，若∠B=35°，则∠CAD的度数为（

）

A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】A【分析】根中点与垂直条件得出DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据等腰三角形的性质求出∠DAB，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】∵点E是AB的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=35°，∵∠C=90°，∠B=35°，∴∠BAC=55°，∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=20°，故选：A．【点睛】本题考查了是线段的垂直平分线的判定与性质，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等和角的转化是解题的关键．7．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A．30° B．36° C．45° D．70°【答案】B【分析】设∠A=x°，通过线段相等得到角相等，再根据三角形内角和列方程求出x的值即可．【详解】解：设∠A=x°∵BD=AD，∴∠A=∠ABD=x°，∠BDC=∠A+∠ABD=2x°，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=2x°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD=2x°，在ΔABC中x+2x+2x=180，解得：x=36∴∠A=36°．故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，根据题意明确各角之间的关系是解答本题的关键．8．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=5cm，则BF=A．8cm B．10cm C．12cm【答案】B【分析】由△ABC是等腰三角形，AD⊥BC于点D，得到BD=CD=12BC，∠ADB=∠ADC=90°，又由AD=AD得到△ABD≌△ACDSAS，则S△ADB=【详解】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD⊥BC于点D，∴BD=CD=12BC∵AD=AD，∴△ABD≌△ACDSAS∴S△ADB∵S△ADB∴12∴BF=2DE，∵DE=5cm∴BF=10cm故选：B．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．9．如图，等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为20cm2，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF

A．10cm B．12cm C．13cm【答案】B【分析】根据垂直平分线的性质可得AM=CM，即A、M、D三点共线时，CM+DM最小值为AD的长，根据面积求出AD的长，即可解决问题．【详解】解：连接AM，

∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，∴AM=CM，∴CM+DM=DM+AM，即A、M、D三点共线时，CM+DM最小值为AD的长，∵AB=AC，点D为BC的中点，∴AD⊥BC，CD=1∵等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为20∴∴AD=10cm∴△CDM周长的最小值为AD+CD=12cm故选：B．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，将CM+MD转化为AM+DM是解题的关键．10．如图，点A，B，C在一条直线上，在△ABD与△BCE中，AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③BP=BQ；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】由SAS即可证出△ABE≌△DBC；由△ABE≌△DBC，得出∠BAP=∠BDQ，根据三角形外角的性质得出∠DMA=60°；由ASA证明△ABP≌△DBQ，得出对应边相等BP=BQ；由△ABE≌△DBC得到△ABE和△DBC面积等，且AE=CD，从而证得点B到AE、CD的距离相等，利用角平分线判定定理得到点B在角平分线上．【详解】解：∵AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，∴△ABD、△BCE为等边三角形，∴∠PBQ=60°，∠ABE=∠DBC，在△ABE和△DBC中，AB=DB∠ABE=∠DBC∴△ABE≌△DBCSAS，故①∴∠BAP=∠BDQ，∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，故②正确；在△ABP和△DBQ中，∠BAP=∠BDQ∴△ABP≌△DBQASA∴BP=BQ，故③正确；∵△ABE≌△DBC∴AE=CD，S△ABE∴点B到AE、CD的距离相等，∴B点在∠AMC的平分线上，即：MB平分∠AMC，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．二、填空题11．等腰三角形的周长为10，腰长为x，求x的取值范围【答案】2.5<x<5【分析】由等腰三角形的周长是10，腰长为x，可得底边长为：10-2x，然后由三角形三边关系可得2x>10-2x，由底边大于0可得10-2x>0，继而求得答案．【详解】解：∵等腰三角形的周长是10，腰长为x，∴底边长为：10-2x，∴2x>10-2x解得：2.5<x<5．故答案为：2.5<x<5．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用三角形的三边关系得到关于x的不等式组是解题的关键．12．在等腰△ABC中，顶角∠A为110°，则∠B为．【答案】35°/35度【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：∵等腰△ABC中，顶角∠A为110°，∴∠B=∠C=180°-110°故答案为：35°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等是解答的关键．13．如图，在△ABC中∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若BD=2，则AB=．

【答案】8【分析】先根据直角三角形的性质可得∠BCD=30°，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∵CD是高，∴∠BCD=30°，∴在Rt△BCD中，BC=2BD=2×2=4∴在Rt△ABC中，AB=2BC=2×4=8故答案为：8．【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，若AB=4cm，则

【答案】2【分析】根据含30°角的直角三角形性质得出AC=1【详解】解：在Rt△ABC中，∠∴∠B=30°∴AC=1故答案为：2．【点睛】此题主要考查含30°的直角三角形的性质，解题的关键是熟知在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.15．腰长为7的等腰三角形的周长等于20，则它的底边长等于．【答案】6【分析】周长减去两个腰长即可得出底边长．【详解】解：∵腰长为7的等腰三角形的周长等于20，∴底边=20-7-7=6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟知三角形周长公式是解题的关键．16．如图，在如图，在ΔABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC，交AC于D，BD=BE，则∠BDE=

【答案】80°/80度【分析】根据等腰三角形的性质和角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到答案．【详解】解：∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=1∵BD平分∠ABC，∴∠DBE=1∵BD=BE，∴∠BDE=∠BED=1故答案为：80°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE=8cm，则△ABC的周长是

【答案】16【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AC=CE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，然后求出AD+BD=DE即可解答．【详解】解：∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE，∵AB=AC，AD平分∴BD=CD，∴AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE，∵DE=8cm，∴AB+BC+AC=AB+BD+AC+CD=2×8=16（故答案为：16【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、等腰三角形三线合一的性质等知识点，熟记性质并准确识图是解题的关键．18．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC

【答案】3【分析】由将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，根据折叠的性质，即可得AD=A'D,AE=A'E【详解】解：∵等边△ABC的边长为1cm，∴AB=BC=AC=1cm∵△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'∴AD=A∴阴影部分图形的周长为：BD+=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC=3cm故答案为：3．【点睛】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．三、解答题19．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，E是边AC上一点，连接BE，DE，且DE⊥AB．若∠A=46°，求∠CBE的度数．

【答案】21°【分析】利用等腰三角形的判定及性质及可求解．【详解】解：∵∠A=46°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=67°，∵D是AB的中点，ED⊥AB，∴DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠A=∠ABE=46°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=67°-46°=21°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．20．如图，已知△ABC中，BA=BC，∠B=120°．请用尺规作图法，在AC上找一点D，使得∠BDC=60°．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析【分析】利用等边对等角及三角形内角和得到∠C=30°，故作BD⊥BC即可得∠BDC=60°．【详解】如图点D为所求．【点睛】本题考查等边对等角，尺规作垂直平分线，需要在一定构图特殊性下的尺规作图，需要分析题中条件，得到长度角度关系，再考虑基础尺规作图的方法进行构造即可．21．在△ABC中，AB=AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm，求【答案】AD=13【分析】首先根据AD是中线得到BD=12BC，AB=12【详解】解：∵AB=AC，AD是中线，且AB+AC+BC=34cm∴BD=12BC∴AB+BD=1∵AB+BD+AD=30cm∴AD=30-17=13cm【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．22．如图，在△ABC中，AB=AC，延长BC至D，使得BD=AC，连接AD，再延长AB至E，使得BE=CD，连接DE．求证：△BED≌△CDA．

【答案】见详解【分析】先证明∠EBD=∠ACD,再根据SAS判定证明即可．【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠EBD=180°-∠ABC,∠ACD=180°-∠ACB,∴∠EBD=∠ACD,∵BE=CD，BD=AC，△BED≌△CDA(SAS【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．23．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB外角，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于F，试问：EF与BE、CF关系如何？

【答案】EF=BE-CF【分析】根据角平分线得出∠ABD=∠CBD，根据平行线的性质得出∠EDB=∠CBD，推出∠ABD=∠EDB，推出DE=BE，同理推出DF=CF，即可得出答案．【详解】EF=BE-CF，理由如下：证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠ABD=∠EDB，∴DE=BE，同理DF=CF，∵EF=DE-DF，∴EF=BE-CF．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定的应用，关键是推出DE=BE和CF=DF．24．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，连接AE，且AB=AE．(1)若∠BAE=40°，求∠C的度数；(2)若△ABC的周长为19cm，AC=7cm，求【答案】(1)35°(2)6【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，求出∠AEB和∠C=∠EAC，即可得出答案；（2）根据已知能推出2DE+2EC=11cm，即可得出答案．【详解】（1）解：∵AD⊥BC，BA=AE，EF垂直平分AC，∴AB=AE=EC，∴∠C=∠CAE，∵∠BAE=40°，∴∠AED=1∴∠C=1（2）∵△ABC周长=AB+BC+AC=19cm，AC=7∴AB+BC=12cm，即AB+BE+EC=12∵BE=2BD=2DE，AB=AE=EC，∴2DE+2EC=12cm∴DE+EC=6cm∴DC=DE+EC=6cm【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．25．如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相交于点E

(1)求证：AN=BM；(2)求证：CE平分∠AEB；(3)若EA=EB=12cm，求点E到直线AB【答案】(1)见解析(2)见解析(3)6cm【分析】（1）由等边三角形性质，推证∠ACN=∠MCB，进而△ACN≌△MCB(SAS)，所以（2）过点C作CH⊥AN,CI⊥MB，垂足分别为H，I，由全等知S△ACN=S△MCB，可证CH=CI，所以（3）如图，∠FCG=180°-∠ACM-∠NCB=60°，由△ACN≌△MCB得∠CNA=∠CBM，可证∠GEN=∠GCB=60°，于是∠FEG=180°-∠GEN=120°，由等腰三角形三线合一得EC⊥AB，∠CEB=12∠AEB=60°，进而得EC=12EB=6(cm【详解】（1）解：∵△ACM，△CBN∴CA=CM,CN=CB,∠ACM=∠NCB=60°.∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN.∴∠ACN=∠MCB.∴△ACN≌△MCB(SAS∴AN=BM．（2）解：过点C作CH⊥AN,CI⊥MB，垂足分别为H，I，∵△ACN≌△MCB，∴S∴12∴CH=CI．∴CE平分∠AEB．

（3）解：如图，∠FCG=180°-∠ACM-∠NCB=60°，∵△ACN≌△MCB，∴∠CNA=∠CBM.∵∠CGB+∠GCB+∠GBC=∠EGN+∠GEN+∠GNE=180°,∠CGB=∠EGN，

∴∠GEN=∠GCB=60°．∴∠FEG=180°-∠GEN=120°．∵EA=EB,由（2）CE平分∠AEB，∴EC⊥AB，∠CEB=1∴∠EBC=90°-∠CEB=30°．∴EC=1∴点E到直线AB的距离为6cm

【点睛】本题考查等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，30°直角三角形性质；运用全等三角形导出相等的线段和等角是解题的关键．26．已知，如图1，在△ABC中，AD为△ABC的中线，E为AD上一个动点（不与点A，D重合）．分别过点E和点C作AB与AD的平行线交于点F，连AF．

(1)求证：AF=