有限空间作业试题2016

有限空间作业试题2016问题描述有一条长度为L的细杆，两端固定在一个半径为a的铁环上，如下图所示。细杆的质量可以忽略不计，而铁环可以看作是均匀分布的，其中L>RodandRing在不考虑阻力的情况下，细杆被释放后，会附着在铁环上，然后呈自由运动状态。求解铁环与细杆的相对运动。解答首先，考虑在细杆完全附着在铁环上时，它所处的位置。设距离两端点的距离分别为x和L-$$\\tau=mgx-mg(L-x)+T\\sin\\thetaa$$其中m表示铁环的质量，g表示重力加速度，T表示细杆的张力，$\\theta$表示细杆与竖直方向所成的夹角。注意到由于杆的长度远大于半径，所以可以近似地认为杆与铁环之间的相对运动是在竖直方向上，因此有：$$\\tau=0\\\\\\Rightarrow\\frac{mg}{T}x-\\frac{mg}{T}(L-x)=a\\sin\\theta$$将$\\sin\\theta$表示为x的函数带入上式，有：$$\\sin\\theta=\\frac{2a}{\\piL}\\int_0^{L/2}{\\frac{x\\,\\mathrm{d}x}{\\sqrt{a^2-x^2}}}$$注意到这一积分是一个完整的椭圆积分，所以可以用连分式进行逼近，得到：$$\\sin\\theta\\approx\\frac{2a}{\\piL}\\left(1-\\frac{1}{4}\\frac{a^2}{L^2}+\\frac{9}{64}\\frac{a^4}{L^4}-\\cdots\\right)$$因此，当L取得很大时，有$\\sin\\theta\\approx\\frac{2a}{\\piL}$。这说明全过程中细杆实际上都比较接近竖直方向。接下来，需要考虑在细杆与铁环开始有相对运动时，它们之间的力学关系。设x表示细杆到铁环某一点所处的位置，则有：$$T\\sin\\theta-mg=-m\\ddot{x}$$根据铁环的运动学条件，有：$$\\ddot{y}=\\frac{\\mathrm{d}^2}{\\mathrm{d}t^2}(-a\\cos\\theta)=-\\ddot{x}\\sin\\theta-a\\dot{\\theta}^2\\cos\\theta$$其中y表示铁环在竖直方向上的位置，注意到这里的加速度是指铁环相对于竖直方向上的加速度。由于铁环是均匀分布的，不考虑铁环的运动会令系统产生匀速旋转现象，因此需要对角动量作出修正：$$I\\ddot{\\theta}=-amg\\sin\\theta$$其中I表示铁环的转动惯量为$I=\\frac{1}{2}m{a^2}$。注意到这里的角加速度是指铁环相对于垂直方向上的角加速度。将$\\ddot{y}$表示为x和$\\theta$的函数，得到：$$\\ddot{y}=-\\frac{m}{T}\\left(T\\sin\\theta+mg\\right)\\sin\\theta-\\frac{a}{I}mga\\sin\\theta\\cos\\theta$$因此，只要计算出$\\theta(t)$，就可以推出细杆在铁环上面的位置x(t)以及铁环在竖直方向上的位置对于求解这个非线性微分方程组的实际问题，可以考虑：利用数值模拟方法进行求解；利用线性化等常见技巧进行近似求解。总结本文针对有限空间的作业试题进行了详细的分析和推导，给出了比较详细的物理模型的建立和求解方法，可以为后续对于这种