人教A版高中数学(选择性必修一)同步培优讲义综合测试卷：选择性必修一全册（基础篇）（教师版）

选择性必修一全册综合测试卷-基础篇参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）已知a=1,0,1，b=−2,−1,1，c=A．−9,−3,0 B．0,2,−1 C．9,3,0 D．9,0,0【解题思路】直接由向量的坐标运算即可得出答案.【解答过程】a−故选：C.2．（5分）（2022·北京市高二阶段练习）下列命题正确的个数是（

）①经过定点Px0，②直线l过点Px0，y③在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程xa④直线y=ax−3a+2a∈RA．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据直线斜率是否存在可判断①②，根据截距可以为0可判断③，由直线恒过定点可判断④.【解答过程】当直线过点Px0，y0且与x直线l过点Px0，y0，倾斜角为90°在坐标轴上截距相等的直线可能过原点，所以不一定能用xa+y直线y=ax−3a+2a∈R可化为y=a(x−3)+2，故恒过定点(3,2)，故故选：B.3．（5分）（2023·全国·高三专题练习）若直线l的方向向量为a=1,0,2，平面α的法向量为A．l∥α B．l⊥αC．l⊂α或l∥α D．l与α斜交【解题思路】利用直线的方向向量和平面的法向量垂直来判断直线和平面的位置关系.【解答过程】∵a=1,0,2，∴a⋅n=0∴l∥α或l⊂α.故选：C.4．（5分）（2022·湖南·高二阶段练习）空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，OM=23A．12aC．12a【解题思路】利用向量的加减法，将MN分解用a,【解答过程】由图可知：MN=即MN=−故选：B.5．（5分）（2022·湖南·高二阶段练习）已知圆C:x−22+y2=4，直线过点A1,1交圆C于A．2,2 B．2,4 C．2,2【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，即可判断点A在圆内，即可求出弦长最大、最小值，即可得解.【解答过程】解：圆C:x−22+y2=4的圆心所以点A1,1当直线过圆心C时，弦长PQ取最大值4，当直线l⊥AC时，圆心C到直线的距离最大，最大值为AC=2−12+0−12故选：D.6．（5分）（2022·全国·高三专题练习）过抛物线y2=4x的焦点F的直线与其交于A，B两点，AF>BF，如果AF=5A．352 B．54 C．【解题思路】设Ax,y，根据AF=5，利用抛物线定义求得点A的坐标，进而得到直线AF的方程，求得点【解答过程】解：抛物线的焦点F1,0，准线方程为x=−1设Ax,y，则AF=x+1=5，故x=4，此时即A4,4，则直线AF的方程为y−04−0=代入y2=4x得4x2−17x+4=0则BF=故选：B．7．（5分）（2022·全国·高三专题练习）设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足PFA．3 B．92 C．4 D．【解题思路】对椭圆和双曲线的离心率分别求出，首先根据椭圆及双曲线的定义求出PF12+PF，就得到了a,m,c的关系，最后利用基本不等式求得最小值.【解答过程】解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义PF1−由椭圆的定义PF1+PF2=2a②①2+②2得PF12+P∴4e故选：B．8．（5分）（2021·四川·高二阶段练习（理））已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0与直线y=kx交于A,B两点，点P为C上一动点，记直线PA,PB的斜率分别为kPA,A．a=4B．曲线C的离心率为6C．若PF1⊥PFD．若△PF1F2的面积为【解题思路】由题意可求得双曲线的离心率以及求得a,b的值，故可判断A,B;根据PF1⊥PF2，求得焦半径|PF1|，|PF【解答过程】设点A(x1，y1)，B(−x1，则x12a2−y1因为kPA⋅kPB=(y故双曲线C的渐近线方程为y=±1因为焦点(c,0)到渐近线y=12x的距离为1，所以c即有a2+b2=5，所以a=2对于C，不妨设P在C的右支上，记|PF2|=t，则|PF1解得t=6−2或所以△PF1F2的面积为对于D，设P(x0，y0)，因为将|y0|=2代入C:x2由对称性，不妨取P的坐标为(25,2)，则|P因为cos所以∠PF2F1为钝角，所以故选：D．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2022·湖南·高二阶段练习）已知向量a=1,1,0，则与a共线的单位向量e=A．−22C．−22【解题思路】根据a=1,1,0与【解答过程】由a=1,1,0，得所以当e与a同向时，e=当e与a反向时，e=−故选：AD.10．（5分）（2022·山西·高二阶段练习）过点P-3,-1的直线l与圆xA．0° B．30° C．45° D．60°【解题思路】设出直线方程，根据直线与圆的位置关系求出斜率，即可得解．【解答过程】设过点P的直线方程为y=k(x+3)-1，则由直线与圆相切知3k-1故选：AD．11．（5分）（2022·全国·模拟预测）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H，I分别为AD，AB，A．直线D1E与直线B．点D与点B到平面D1C．直线EF与平面HIG平行D．D1F与GH【解题思路】根据给定的正方体，建立空间直角坐标系，再借助空间向量逐项分析求解作答.【解答过程】在正方体ABCD−A1B1C则D(0,0,0),D对于A，D1E=(1,0,−2),GD=(−2,−2,−1)对于B，EF=(1,1,0),DB=(2,2,0)=2EF，即EF//而EF⊂平面D1EF，DB⊄平面D1EF，因此DB//平面D1EF，所以点对于C，IH=(1,1,0)=EF，即IH//EF，而又IH⊂平面HIG，EF⊄平面HIG，因此EF//平面HIG，C正确；对于D，D1F=(2,1,−2),GH=(−1,0,1)，令D则cosθ=|cos〈故选：ABC.12．（5分）（2022·湖南永州·一模）抛物线C:y2=2px(p>0)，点M(−3,0)在其准线l上，过焦点F的直线m与抛物线C交于A,B两点（点AA．p=6B．∠AMB有可能是钝角C．当直线m的斜率为3时，△AFM与△BFM面积之比为3D．当直线AM与抛物线C只有一个公共点时，|AB|=12【解题思路】对于A，利用抛物线的准线方程即可求解；对于B,对直线m的斜率存在和不存在时进行分类讨论，得到MA,MB，计算MA⋅MB即可判断；对于C，可得到S△AFMS△BFM=−y1y2，通过计算出【解答过程】解：对于A，由抛物线C:y2=2px(p>0)又点M(−3,0)在其准线l上，所以−p2=−3对于B，由A选项可得y2=12x，且焦点当直线m的斜率存在时，设直线m:y=kx−3，A则y=kx−3y2所以x1+x因为MA所以MA=x所以cos∠AMB=MA⋅MBMA当直线m的斜率不存在时，直线m:x=3，所以将x=3代入抛物线可得y=±6，则A3,6则MA=6,6,MB=对于C，S△AFM=1所以S△AFM所以当k=3时，y1+y2所以S△AFM对于D，易得直线AM的斜率存在，设直线AM的方程为y=mx+3所以由y=mx+3y2=12x因为直线AM与抛物线C只有一个公共点，所以Δ=6m又因为点A在第一象限，所以m>0，则m=1，①可变成x2−6x+9=0，解得x由B选项可得此时B3,−6，所以AB故选：ACD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2022·天津市高二阶段练习）过点Am,3,  B−1,m两点的直线与直线l平行，直线l的倾斜角为【解题思路】根据题意,求出直线AB的斜率和直线l的斜率，由AB//【解答过程】因为直线l的倾斜角为45∘，所以直线l的斜率k=过Am,3,  由直线AB与直线l平行，所以3−mm+1=1解得故答案为：1.14．（5分）（2022·江苏·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.【解题思路】首先判断点与圆的位置关系，然后设出直线的方程，进而根据圆心到直线的距离等于半径即可求出结果.【解答过程】因为32+5且x2+y若切线斜率不存在，即x=3，圆心1,2到直线x=3的距离为2，故直线x=3是圆的切线，若切线的斜率存在，设切线方程为y−5=kx−3，即kx−y−3k+5=0则k−2−3k+5k2+1=2，则3−2kk所以y−5=512x−3综上：切线的方程为5x−12y+45=0或x=3.故答案为：5x−12y+45=0或x=3.15．（5分）（2022·湖北·高一期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB,AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则直线BM与AP所成角的余弦值为63【解题思路】记AB=a,AD=b,【解答过程】记AB=因为AB=AD=1,PA=2，所以|a又因为AB⊥AD,∠PAB=∠PAD=60°，所以a⋅易得BM=所以|=1所以BM=又BM⋅故答案为：6316．（5分）（2022·全国·高二课时练习）已知点P在双曲线C：x216−y29=1上，F1、F2①点P到x轴的距离为203；②PF1+PF2【解题思路】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可.【解答过程】由已知a=4,b=3,c=5因为点P在双曲线上，F1、F2是双曲线C的左、右焦点，所以12yP⋅2c=5y对于①，点P到x轴的距离为4，故①错误.对于②，由对称性，不妨设P203,4.因为F所以PF1+对于③，由对称性，不妨设P203,4结合PF1+PF所以在△PF1F所以∠F1F对于④，由对称性，不妨设P203,4，由③的判断过程知，P则S△P所以sin∠F1PF故答案为：②③.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022·新疆·高二期末（文））求适合下列条件的圆锥曲线方程：(1)焦点坐标为(2,0)，短轴长为2的椭圆方程.(2)焦点在x轴上，a=25经过点A(−5,2)【解题思路】（1）由已知得c=2,b=1，根据椭圆中a、b、c三量关系求出a值即可得到椭圆方程；（2）已知a和双曲线上一点，设双曲线方程，通过待定系数法求解即可.【解答过程】（1）根据题意可得，椭圆长轴在x轴上，且c=2,b=2所以a2所以椭圆方程为x2（2）根据题意可得，双曲线实轴在x轴上，设双曲线方程为x2则2520−4所以双曲线方程为x218．（12分）（2022·湖南·高二阶段练习）已知空间中三点A(−2,0,2)，B(−1,1,2)，C(−3,0,4)，设AB=a，(1)求向量a与向量b的坐标；(2)若ka+b与k【解题思路】（1）根据空间向量坐标表示公式进行求解即可；（2）根据空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.【解答过程】（1）a=(1,1,0)，b（2）∵ka+b且ka+b∴(k−1,k,2)⋅(k+2,k,−4)=2k解得k=2或k=−519．（12分）（2022·北京市高二阶段练习）已知△ABC顶点A(1)求BC边上中线所在的直线方程(2)求BC边上高线所在的直线方程．【解题思路】（1）求出线段BC的中点坐标，用两点式求出直线方程，化为一般方程；（2）求出直线BC的斜率，得到BC边上高线所在直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，化为一般方程.【解答过程】（1）线段BC的中点坐标为−1+12,−3+1所以BC边上中线所在的直线方程为：y+1x−0整理得：x−3y−3=0；（2）直线BC的斜率为1+31+1所以BC边上高线所在直线的斜率为−1所以BC边上高线所在直线的方程为y=−1整理得：x+2y−3=0.20．（12分）（2022·江苏·高二阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，设C是直线x－y－6＝0上的点，且点A（4，0），B（6，2）在以C为圆心的圆上．(1)求圆C的方程；(2)若直线x＝ay＋4被圆C截得的弦长为2，求a的值．【解题思路】（1）根据题意设圆心坐标，结合圆的定义运算求解；（2）根据垂径定理d2+(【解答过程】（1）由题意设C(c,c−6)，由圆的性质得|CA|=|CB|，即(c−4)2+所以圆心C(6,0)，半径r为2，则圆C的方程为：(x−6)（2）设弦长为L，圆心C到直线的距离为d，则由垂径定理得d由已知得d=2a2所以有4a2+121．（12分）（2022·河北·高二期末）如图，四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E为PC中点．(1)求证：DE⊥平面PCB；(2)求二面角E−BD−P的余弦值．【解题思路】（1）根据条件先证BC⊥平面PCD，得到BC⊥DE，再由DE⊥PC，即可证明DE⊥平面PCB.（2）以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BDE，平面PDB的法向量，即可求得二面角的余弦值.【解答过程】（1）证明:∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵正方形ABCD中，CD⊥BC，PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，又∵DE⊂平面PCD，∴BC⊥DE，∵PD＝CD，E是PC的中