5.5.1两角和与差的正弦余弦和正切公式第一课时课件-高一上学期数学人教A版

5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式知识梳理

一、利用单位圆定义任意角的三角函数课时1教材中［cos（α-β）-1］2+sin2（α-β）=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2化简［cos（α-β）-1］2+sin2（α-β）（左边）=

cos2（α-β）-2cos（α-β）+1+sin2（α-β）＝2-2cos（α-β），cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2

（右边）=cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α-2sinαsinβ+sin2β＝2-2cosαcosβ-2sinαsinβ，∴2-2cos（α-β）＝2-2cosαcosβ-2sinαsinβ，∴cos（α-β）＝cosαcosβ+sinαsinβ.二、两角差的余弦公式

任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C（α-β）.

cos（α-β）＝cosαcosβ+sinαsinβ.（C（α-β））

三、两角和与差的正弦、余弦、正切公式

由公式C（α-β）出发，如何推导出两角和与差的三角函数的其他公式？

一利用和（差）角公式求值<1>给角求值常考题型例1给角求值的解法（1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，利用公式直接求值.（2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和（差）的正（余）弦公式的形式，然后逆用公式求值.

解题归纳训练题2.［2020·郑州高三检测］tan255°＝

.B

<2>给值求值

例2给值求值问题的解法在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角.具体做法是：（1）当已知角有两个时，一般把所求角表示为已知两角的和或差.（2）当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.（3）常见的变角技巧有2α＝（α+β）+（α-β），2β＝（α+β）-（α-β），α＝（α+β）-β，β＝（α+β）-α等.

解题归纳训练题CA

例3<3>给值求角给值求角问题的解答步骤第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角.

解题归纳训练题D二利用和（差）角公式化简例4利用和（差）角公式化简的常用技巧1.逆用和（差）角公式：因为和（差）角公式的原形是由简到繁的形式，逆用这些公式便可起到化简的效果.2.变角：把已知非特殊角化为两个特殊角的和（差），然后利用和（差）角公式求解.3.1的代换：将常数1换成tan45°或将常数1换成sin2α+cos2α等.解题归纳训练题BB三和（差）角公式在三角形中的应用

解题归纳训练题

B

四

辅助角公式的应用

训练题函数f（x）＝sinx-cosx的递增区间是

.

知识梳理

二倍角的正弦、余弦、正切公式利用S（α±β），C（α±β），T（α±β）推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式

一般情况下，sin2α≠2sinα，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα.倍角公式的逆用更能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用，如sin3αcos3α＝

sin6α.

从和（差）角公式、倍角公式的推导过程可以发现，归纳总结这些公式存在紧密的逻辑联系：一利用二倍角公式求值<1>给角求值常考题型例1利用二倍角公式给角求值的基本思路（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.

解题归纳训练题

<2>条件求值条件求值问题解法条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.

解题归纳训练题DAB二利用二倍角公式化简三角函数式的化简要求①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.三角函数式的化简方法①弦切互化，异名化同名，异角化同角.②降幂或升幂.③一个重要结论：（sinθ±cosθ）2＝1±sin2θ.

解题归纳训练题A

三二倍角公式的灵活应用例4

解题归纳训练题BC四

二倍角公式的综合应用

用二倍角公式解决三角函数性质问题的方法1.为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为余弦型（正弦型）函数，这是解决问题的前提.2.解决有关三角函数的最值问题，一般需利用三角函数的有界性来解决，利用三角函数变换化多个三角函数