第六节　二项分布及其应用、正态分布

1．伯努利试验伯努利试验只包含______________的试验叫做伯努利试验n重伯努利试验①定义：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的

称为n重伯努利试验．②特征：同一个伯努利试验重复做n次；各次试验的结果__________两个可能结果随机试验相互独立(4)参数μ和σ对正态曲线形状的影响：①当σ较小时，峰值高，曲线“____”，表示随机变量X的分布比较_____；②当σ较大时，峰值低，曲线“____”，表示随机变量X的分布比较____．(5)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝

，D(X)＝

.(6)3σ原则:①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈_______；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈_______.瘦高集中矮胖分散μσ20.682

70.954

50.997

3(1)若X～N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为E(X)＝μ，D(X)＝σ2.(2)“恰好发生k次”与“有指定的k次发生”不同：恰好发生k次的概率P＝Cpk(1－p)n－k，有指定的k次发生的概率P＝pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．(3)在X～N(μ，σ2)中，随机变量X在μ的附近取值的概率很大，在离μ很远处取值的概率很小．1．(北师大版选择性必修第一册P209·T1改编)在100件产品中有5件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设X表示这10件产品中的次品数，则

(

)A．X～B(100,0.05) B．X～B(10,0.05)C．X～B(100,0.95) D．X～B(10,0.95)解析：有放回地抽取，每次抽到次品的概率都是0.05，相当于10重伯努利试验，所以X～B(10,0.05)．答案：B

2．(人教A版选择性必修第三册P77·T2改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为

(

)A．0.33 B．0.66C．0.5 D．0.45答案：A4．(人教A版选择性必修第三册P87·习题T1改编)某学校高二年级数学学业质量检测考试成绩X～N(80,25)，如果规定大于或等于85分为A等，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的成绩为A等的概率是________．(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827)层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点(一)

n重伯努利试验的概率

[题点全训]1．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为

(

)A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.312解析：根据n重伯努利试验公式得，该同学通过测试的概率为C×0.62×0.4＋0.63＝0.648.答案：A

3．在产品的某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(5，σ2)，若ξ在(5,6)上取值的概率为0.45，且规定μ±1以内均为正品，其他为次品，则该产品的次品率是________．解析：由题意知μ＝5，故在(4,6)上均为正品，而P(4＜ξ＜6)＝2P(5＜ξ＜6)＝2×0.45＝0.9.故该产品的次品率为1－0.9＝0.1.答案：0.1[一“点”就过]利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一)二项分布

[典例]

“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数404020该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)．(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”的学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．[方法技巧]二项分布的解题策略(1)在根据n重伯努利试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，从而求得概率．(2)①求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．②有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可以求出D(aξ＋b).

[针对训练]师大附中学生会组织部分同学，用“100分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，记录了他们的幸福度分数：86,87,73,88,86,95,89,86,96,70,87,89,95,97,86,88.(1)若幸福度不低于95分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人的幸福度是“极幸福”的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示选到幸福度为“极幸福”的人数，求ξ的分布列．区分不开二项分布与超几何分布——————————————————————————————————[典例]写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？(1)X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数．(2)X2表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和．(3)有一批产品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n>N)，抽出的次品件数为X3.(4)有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X4(N－M>n>0)．[诊治策略]二项分布与超几何分布的辨别方法续表重难点(二)正态分布的应用

[典例]

(2022·成都七中月考)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分：100分)数据，统计结果如下表所示.分组[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数2515020025022510050(1)已知此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ，210)，μ近似为这1000人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，请利用正态分布的知识求P(36≤Z≤79.5)；(2)在(1)的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制订了如下奖励方案：①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；②每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.[方法技巧]利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．

[针对训练]某学校高一年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下：每分钟跳绳个数[145，155)[155，165)[165，175)[175，185)185及以上得分1617181920年级组为了了解学生的体质，随机抽取了100名学生，统计了他们的跳绳个数，并利用对应数据绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)现从这100名学生中任意抽取两人，求两人得分之和小于35分的概率(结果用最简分数表示)．(2)若该校高一年级共有2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ2≈225，μ为抽取的100名学生跳绳个数的样本平均数的估计值(同一组中数据以这组数据所在区间的中点值为代表)．利用所得到的正态分布模型解决以下问题：①估计每分钟跳绳164个以上的人数；②若在全年级所有学生中随机抽取3人，记每分钟跳绳在179个以上的人数为Y，求Y的分布列、数学期望和方差．附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997.3．(不清楚正态曲线的对称性)某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110,102)．已知P(100<X≤110)＝0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人．5．(链接生活实际)