习题-振动与波

振动与波动大学物理II习题课1机械振动教学要求1.掌握简谐振动的描述和三个特征量的意义，特别要弄清相位的概念2.掌握简谐振动的动力学特征，并能判定简谐振动，能根据已知条件列出运动的微分方程，并由此求出简谐振动的周期3.掌握简谐振动的能量特征4.掌握简谐振动的合成规律2本章基本题型1.已知振动方程，求特征参量2.已知条件（或者振动曲线），建立振动方程3.证明、判断一个物体的振动是否是简谐振动4.简谐振动的合成:(1).动力学判据:(2).运动学判据:(3).能量判据振动系统机械能守恒解析法、旋转矢量法（振幅、周期、频率、初相位）3例1、一个质量为0.25g的质点作简谐振动，其振动方程为求：（1）振幅A，周期T以及初相位（2）起始位置的位移、速度和加速度（3）动能最大值（cm）已知振动方程，求特征参量4例2、如图所示的振动曲线。求：（1）简谐振动的运动方程（2）由状态a运动到状态b，再由b运动到c的时间分别是多少（3）状态d的速度和加速度【解】方法1解析法原点：c点：已知条件（或者振动曲线），建立振动方程5方法2旋转矢量法（1）确定旋转矢量振动方程为-A-A/2AA/2x6（2）由状态a运动到状态b，再由b运动到c的时间分别是多少（3）状态d的速度和加速度-A-A/2AA/2xa7例3两轮的轴相互平行相距为2d，两轮的转速相同而转向相反。现将质量为m的一匀质木板放在两轮上，木板与两轮之间的摩擦系数均为

。若木板的质心偏离对称位置后，试证木板将作简谐振动，并求其振动周期.2dNA0xxABNBmgfAfB【解】以两轮位置的中点（对称位置）为坐标原点建立坐标轴，设木板的质心位置坐标为以C为支点有

以D为支点有

C证明、判断一个物体的振动是否是简谐振动D8即

故木板作简谐振动。

2dNA0xxABNBmgfAfBCD9例4:劲度系数为k的轻弹簧挂在质量为m，半径为R的匀质圆柱体的对称轴上，使圆柱体作无滑动的滚动，证明：圆柱体的质心作谐振动。水平面证明：建坐标如图，分析振动系统机械能守恒弹簧原长处为坐标原点，设原点处为势能零点，质心在xc时系统的机械能为（注意上式中的

是刚体转动的角速度）10两边对t求导数，得将代入上式得与动力学方程比较知，物理量xc的运动形式是谐振动圆频率周期11例5一匀质细杆质量为m，长为l，上端可绕悬挂轴无摩擦的在竖直平面内转动，下端与一劲度系数为k的轻弹簧相联，当细杆处于铅直位置时，弹簧不发生形变。求细杆作微小振动是否是简谐振动。O【解】方法一.分析受力法mgf很小时细杆微小振动是简谐振动取细杆铅直位置为坐标零点，垂直纸面向外为正方向12方法二.分析能量法由杆、弹簧、地球所构成的系统，机械能守恒。取平衡位置系统的势能为零，当杆在某一任意位置时，系统机械能为J为杆绕O轴的转动惯量，x为弹簧伸长量，杆作微小振动时，代入上面式子，并且两边对时间求一次导数，有：13式中，在杆作微小振动时，代入后，可以得到：杆的微小振动是简谐运动振动的频率为14作业1.10两个相互垂直的不同的频率的简谐运动的合成合成轨迹为稳定的闭合曲线—李萨如图yxA1A20-A2-A1例如左图：应用：测定未知频率简谐振动的合成15已知：x=Acost,求y=？例如左图：A-AA-AxyO161.熟练掌握简谐波的描述4.掌握半波损失问题5.理解驻波的形成和它的几个特点6.掌握多普勒效应中频率的计算3.熟练掌握简谐波的干涉,干涉条件,相干加强、减弱的条件机械波教学要求2.理解惠更斯原理并利用其解释波的衍射现象17本章基本题型平面简谐波函数：1.已知波函数，求有关的物理量(1)求波长、周期、波速和初相位2.由已知条件建立波动函数(2)求波动曲线上某一点的振动方程(3)画出某时刻的波形曲线(1)已知波动曲线上某一点的振动状态(2)已知某一时刻的波形曲线184.多普勒效应一般形式3.波的传播及叠加(2).半波损失(1).波的不同方向传播的描述(3).波的叠加（干涉、驻波）19例6.一平面简谐波的波函数为试求：(1)该简谐波的振幅、波速、频率和波长。(2)媒质质点振动的最大速度。已知波函数，求有关的物理量20例7.图示为t=0时刻的波形，求：（1）原点的振动方程；（2）波动方程；（3）p点的振动方程；（4）a,b两点的运动方向。0.2p0.04ox(m)y(m)abu=0.08m/s21例8一波长为λ的平面简谐波，已知A点的振动方程为

y=Acos(ωt+φ)

试求在图中四种坐标选择情况下此简谐波的表达式。yOAxuyOAxuyxOAlu解答提示（1)(2)(3)（1）（2）（3）（4）xOAuy(4)由已知条件建立波动函数PP22例9.一列波长为

的平面简谐波沿x轴正方向传播。已知在x=

/2

处振动表达式为y=Acost,（1）求该平面简谐波的波函数;（2）若在波线上处放一反射面,求反射波的波函数。【解】（1）入射波的波函数0Lxx画出示意图找任意一点x半波损失23反射有半波损失，到达L处的振动方程为0Lxx已求得入射波的波函数L处反射的振动方程反射波的波函数得24方法2时间修正反射有半波损失，反射波的波函数为0Lxx得y=Acost,x=

/2

25反射波的波函数为0Lxx得方法3相位修正y=Acost,x=

/2

26(2)合成波即驻波的表达式;(3)波腹、波节的位置。

例10.设入射波的表达式为.在x=0处发生反射,反射点为一固定端,设反射波与入射波振幅近似相等，【解】（1）入射波在x=0处引起的振动为反射点为固定端，这点必是波节，有半波损失，x0入射波反射波(1)反射波的表达式;求:波的叠加（干涉、驻波）27(2)合成波即驻波的表达式反射波入射波合成波绝对值为振幅初相为/2得28若用旋转矢量分析：反射波入射波t=0时的旋转矢量y0kx-kxy1y’1AA

振幅

初相

/2所以有（与前相同）29(3)波腹、波节的位置。驻波的表达式波腹的位置即30波节的位置即波节x0波腹31例11.一静止声源S

频率

S=300Hz，声速u=330m/s，观察者R以速度VR=60m/s向右运动，反射壁以V=100m/