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小题必练14:小题必练14:机械振动机械波(1)简谐运动的公式和图象;(2)单摆、周期公式;(3)受迫振动和共振等;(4)机械波、横波和纵波;(5)波速、波长和频率(周期)的关系;(6)波的干涉和衍射现象、多普勒效应等。例1.(2020∙山东卷∙4)一列简谐横波在均匀介质中沿x轴负方向传播,已知x=eq\f(5,4)λ处质点的振动方程为y=Acos(eq\f(2π,T)t),则t=eq\f(3,4)T时刻的波形图正确的是()【答案】D【解析】根据题意可知,t=eq\f(3,4)T时,在x=λ+eq\f(1,4)λ处的质点处于y=Acos(eq\f(2π,T)∙eq\f(3,4)T)=0,即此时质点位于平衡位置;下一时刻,该质点向上运动,原理平衡位置,根据题意,横波沿x轴负方向传播,根据同侧法判断可知,ABC错误,D正确。【点睛】本题考查波动图像及振动方程的应用,注意波动图像与振动图像的区别。1.(多选)物体A做简谐运动的振动方程是xA=3sin100t(m),物体B做简谐运动的振动方程是xB=5sin100t(m)。比较A、B的运动,下列说法正确的是()A.振幅是矢量,A的振幅是6m,B的振幅是10mB.周期是标量,A、B周期相等,都为100sC.A振动的频率fA等于B振动的频率fBD.A、B的周期都为6.28×10-2s【答案】CD【解析】振幅是标量,A、B的振幅分别是3m、5m,A项错;A、B的周期均为T=eq\f(2π,ω)=eq\f(2π,100)s=6.28×10-2s,B项错,C、D项对。2.某弹簧振子沿x轴的简谐运动图象如图所示,下列描述正确的是()A.t=1s时,振子的速度为零,加速度为负的最大值B.t=2s时,振子的速度为负,加速度为正的最大值C.t=3s时,振子的速度为负的最大值,加速度为零D.t=4s时,振子的速度为正,加速度为负的最大值【答案】A【解析】在t=1s和t=3s时,振子偏离平衡位置最远,速度为零,回复力最大,加速度最大,方向指向平衡位置,A项正确,C项错误;在t=2s和t=4s时,振子位于平衡位置,速度最大,回复力和加速度均为零,B、D项错误。3.(多选)一列沿x轴传播的简谐波,波速为4m/s,某时刻的波形图象如图所示。此时x=8m处的质点具有正向最大速度,则再过4.5s()A.x=4m处质点具有正向最大加速度B.x=2m处质点具有负向最大速度C.x=0处质点一定有负向最大加速度D.x=6m处质点通过的路程为20cm【答案】ABC【解析】据题意,图示时刻x=8m处的质点具有正向最大速度,质点正经过平衡位置向上,则波向x轴负方向传播。则该波的周期T=eq\f(λ,v)=eq\f(8,4)s=2s因为n=eq\f(t,T)=eq\f(4.5,2)=2eq\f(1,4)T,可知:图示时刻x=4m处质点速度向下,再经过4.5s,处于波谷,位移为负向最大,则具有正向最大加速度,故A项正确;图示时刻x=2m处质点位于波峰,再经过4.5s,处于平衡位置向下,具有负向最大速度,故B项正确;图示时刻x=0处质点速度向上,再经过4.5s,处于波峰位置,具有负向最大加速度,故C项正确;再经过4.5s,x=6m处,质点处于平衡位置,通过的路程为2×4×A+A=18cm,故D项错误。4.(多选)如图所示是一列简谐波在t=0时的波形图象,波速为v=10m/s,此时波恰好传到I点,下列说法正确的是()A.此列波的周期为T=0.4sB.质点B、F在振动过程中位移总是相等C.质点I的起振方向沿y轴负方向D.当t=5.1s时,x=10m的质点处于平衡位置处【答案】ABC【解析】由波形图可知,波长λ=4m,则T=eq\f(λ,v)=eq\f(4,10)s=0.4s,故A项正确;质点B、F之间的距离正好是一个波长,振动情况完全相同,所以质点B、F在振动过程中位移总是相等,故B项正确;由图可知,I刚开始振动时的方向沿y轴负方向,故C项正确;波传到x=10m的质点的时间t′=eq\f(x,v)=eq\f(10,10)s=1s,t=5.1s时,x=10m的质点已经振动4.1s=10eq\f(1,4)T,所以此处处于波谷处,故D项错误;故选ABC。5.一个在y方向上做简谐运动的物体,其振动图象如图甲所示。下列关于图乙(1)~(4)的判断正确的是(选项中v、F、a分别表示物体的速度、受到的回复力和加速度)()A.图(1)可作为该物体的v-t图象B.图(2)可作为该物体的F-t图象C.图(3)可作为该物体的F-t图象D.图(4)可作为该物体的a-t图象【答案】C【解析】采用排除法,由y—t图象知t=0时刻,物体通过平衡位置,速度沿y轴正方向,此时速度达到最大值,加速度为0,故ABD项错,C项对。6.(多选)某弹簧振子在水平方向上做简谐运动,其位移x随时间t变化的关系为x=Asinωt,振动图象如图所示,下列说法正确的是()A.弹簧在第1s末与第3s末的长度相同B.简谐运动的角速度是eq\f(π,4)rad/sC.第3s末振子的位移大小为eq\f(\r(2),2)AD.从第3s末到第5s末,振子的速度方向发生变化【答案】ABC【解析】由振动图象可知,弹簧在第1s末与第3s末的位移相同,弹簧长度相同,A项正确;由振动图象可知,振动周期为8s,简谐运动的角速度是ω=eq\f(2π,T)=eq\f(π,4)rad/s,B项正确;第3s末振子的位移大小为x=Asinωt=Asin(eq\f(π,4)·3)=eq\f(\r(2),2)A,C项正确;从第3s末到第5s末,振子的速度方向不发生变化,D项错误。7.(多选)如图所示为半径很大的光滑圆弧轨道上的一小段,小球B静止在圆弧轨道的最低点O处,另有一小球A自圆弧轨道上C处由静止滚下,经时间t与B发生正碰。碰后两球分别在这段圆弧轨道上运动而未离开轨道。当两球第二次相碰时()A.相间隔的时间为4tB.相间隔的时间为2tC.将仍在O处相碰D.可能在O点以外的其他地方相碰【答案】BC【解析】小球在圆弧上滚动过程中,其受力情况与摆长等于圆弧轨道半径(严格地讲,摆长应等于圆弧轨道半径与小球半径之差)的单摆的受力情况相同,因此其运动情况与单摆的运动情况应相同,即以O点为平衡位置做机械振动。又题设条件中圆弧轨道半径“很大”,圆弧长度为“一小段”,这就暗示在小球的整个摆动过程中,最大位移对应的圆心角很小,因此,小球的振动可视为简谐运动。由单摆振动周期公式T=2πeq\r(\f(l,g))(此处l即为圆弧轨道半径)知,两球周期相同,碰撞后应同时回到平衡位置,即只能在平衡位置处相碰。又由振动的周期性知,两次相碰的间隔时间为2t,综上讨论可知,正确选项为BC项。8.如图所示为在同一绳上相向传播的甲、乙两列简谐横波某时刻的波形图,其中a、b、c是甲波上的三个点。下列说法正确的是()A.这两列波相遇时能发生干涉现象B.甲波的速度v甲比乙波的速度v乙大C.质点a比质点b先回到平衡位置D.若v甲=20m/s,再经t=0.3s,质点c运动的路程是0.3m【答案】D【解析】波速是由介质决定的,两列波在同一介质中传播,波速相同,根据f=eq\f(v,λ)可知,波长不同,频率不同,故不会发生稳定干涉,A、B项错误;根据走坡法,a质点向上振动,b质点向下振动,所以b比a先到达平衡位置,C项错误;波速由介质决定,所以v甲=v乙=20m/s。0.3s时乙波刚好传到质点c的位置,则在0.3s时间内质点c是由甲波引起的,质点c运动的路程s=eq\f(t,T)×4A,甲波的周期T=eq\f(λ,v甲)=eq\f(8,20)s=0.4s,解得s=0.3m,故D项正确。9.(多选)一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t=0时刻的波形如图所示,质点P的x坐标为3m。已知任意振动质点连续2次经过平衡位置的时间间隔为0.4s。下列说法正确的是()A.波速为4m/sB.波的频率为1.25HzC.x坐标为15m的质点在t=0.6s时恰好位于波谷D.x坐标为22m的质点在t=0.2s时恰好位于波峰【答案】BD【解析】任意振动质点连续2次经过平衡位置的时间间隔为0.4s,可知振动周期T=0.8s,频率f=eq\f(1,T)=1.25Hz,B项正确;从题图中可以看出波长λ=4m,根据v=λf得v=5m/s,A项错误;由于波在传播过程中具有空间周期性,x坐标为15m处的质点运动规律与x=3m处相同,从t=0时刻经过0.6s,即经历eq\f(3,4)周期,质点应位于平衡位置,C项错误;用同样的方法可判断出D正确。10.如图所示,一单摆悬于O点,摆长为L,若在O点的正下方的O′点钉一个光滑钉子,使OO′=eq\f(L,2),将单摆拉至A处释放,小球将在A、B、C间来回振动,若振动中摆线与竖直方向夹角小于5°,则此摆的周期是()A.2πeq\r(\f(L,g))B.2πeq\r(\f(L,2g))C.2πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(L,g))+\r(\f(L,2g))))D.πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(L,g))+\r(\f(L,2g))))【答案】D【解析】根据T=2πeq\r(\f(L,g)),该单摆有eq\f(1,2)周期摆长为L,eq\f(1,2)周期摆长为eq\f(1,2)L,故T=πeq\r(\f(L,g))+πeq\r(\f(L,2g))=πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(L,g))+\r(\f(L,2g)))),故D项正确。11.(多选)如图所示为两个弹簧振子的振动图象。下面的说法正确的是()A.甲的振动能量是乙的2倍B.甲的振动频率是乙的2倍C.乙的振动周期是甲的2倍D.甲、乙的位移不可能同时达到正向最大值【答案】BCD【解析】根据振动的能量公式E=eq\f(1,2)kA2,由于两振子的劲度系数不确定,故不能比较两振子的能量关系,A项错误;由图象可知,乙的周期是甲周期的2倍,则甲的振动频率是乙的2倍,B、C项正确;因乙的周期是甲周期的2倍,则甲、乙的位移不可能同时达到正向最大值,D项正确。12.弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点间做简谐运动,在t=0时刻,振子从O、B间的P点以速度v向B点运动;在t=0.2s时,振子速度第一次变为-v;在t=0.5s时,振子速度第二次变为-v。(1)求弹簧振子振动周期T。(2)若B、C之间的距离为25cm,求振子在4.0s内通过的路程。(3)若B、C之间的距离为25cm,从平衡位置计时,写出弹簧振子位移表达式,并画出弹簧振子的振动图象。【解析】(1)弹簧振子简谐运动示意图如图所示,由对称性可得T=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.2,2)+\f(0.5-0.2,2)))×4s=1.0s。(2)若B、C之间距离为25cm,则振幅A=eq\f(1,2)×25cm=12.5cm振子4.0s内通过的路程s=eq\f(4,T)×4×12.5cm=200cm。(3)根据x=Asinωt,A=12.5cm,ω=eq\f(2π,T)=2π得x=12.5sin2πt(cm)。振动图象为13.在某介质中形成一列简谐波,t=0时刻的波形如图中的实线所示。若波向右传播,零时刻刚好传到A点,且再经过0.6s,P点也开始起振,求:(1)该列波的周期T。(2)从t=0时起到P点第一次达到波峰时止,O点对平衡位置的位移y0及其所经过的路程s0各为多少?【解析】(1)由图象可知:波长λ=2m,振幅A=2cm波速v=eq
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