2023年新高考I卷数学高考试卷(原卷+答案)

绝密★启用前

2023年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I卷）

（适用地区：山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福建、浙泞）

数学

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

已知集合则

1.M={—2,—1,0,1,2},N={x._x_6“},MCN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

1-i_

2已知z=kγ,则Z-Z=()

2+217

A.TB.iC.0D.1

3.已知向量α=(l,l),B=(LT),若(〃+茄+，则()

A.Λ+χ∕=lB.λ+μ=-∖C.λμ—1D.λμ=-1

4.设函数/(x)=2Mil)在区间(0,1)上单调递减，则。的取值范围是()

A.(-∞,-2]B,[-2,0)C.(0,2]D.[2,+∞)

22

5.设椭圆G：[+y2=i(a>i),c,：jL+y

2=1的离心率分别为e∣,e2.若c2=y/3e],则。=()

a4

A.空B.√2

C.√3D.y∕β

3

6.过点(0,-2)与圆V+/-I=O相切两条直线的夹角为α,则Sina=()

A.1B.ɔʌɪr√ioD.旦

444

C

7.记S“为数列｛4｝的前〃项和，设甲：｛4｝为等差数列；乙：｛'｝为等差数列，则（）

n

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.已知sin（α-∕7）=LCoSaSin贝IJCOS（2α+2£）=（）.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据看,赴,…,天，其中再是最小值，毛是最大值，则（）

A.%，&，，工5的平均数等于X，工2，…，4的平均数

B.x2,¾,x4,x5的中位数等于xl,%2,∙∙∙,%6的中位数

C.X2,Λ3,Λ∙4,X5的标准差不小于x1,⅞√--,⅞的标准差

D.工2，工，了4，工5的极差不大于%，*2/i，%的极差

I/15

ɪθ.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级4=20Xlg上，其中常数

PO

PO(Po>°)是听觉下限阈值，P是实际声压.下表为不同声源的声压级：

声源与声源的距离/m声压级∕dB

燃油汽车106090

混合动力汽车1050-60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车IOm处测得实际声压分别为P∣,〃2，小，则()•

A.pλ≥p2B.P2>IOP3C.p3=IOOp0D.∕21≤IOOp2

11.已知函数/(χ)定义域为R,f(χy)=y2f(ɪ)+X2f(y),则().

A./(0)=0B./(1)=0

C./3是偶函数D.X=O为/(X)的极小值点

12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()

A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m,高为0.0Im的圆柱体

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选

修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种(用数字作答).

14.在正四棱台ABC。一A4GR中，ΛB=2,Λ1β∣=1,M=√2,则该棱台的体积为.

15.已知函数/(X)=Coss-l(ω>0)在区间［0,2π］有且仅有3个零点，则①的取值范围是.

22

16.已知双曲线。:=-2=1(。>0力>。)的左、右焦点分别为点A在。上，点B在y轴上，

a~b~

_r__r2___

F1A1.FiB,F2A^-F2B,则C的离心率为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知在qABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

(1)求SinA；

(2)设AB=5,求AB边上的高.

18.如图，在正四棱柱A6CD-AgGA中，48=2,441=4.点4，员,。2，。2分别在棱4^，84，。0,

DDi上,AA2=1,BB,=DD2=2,CC,=3.

2/15

(1)证明：B2C2∕∕A2D2■

(2)点P在棱Bg上，当二面角P—4。2—。2150°时，求B?p.

19已知函数/(x)=α(e*+α)-x.

(1)讨论/(x)的单调性；

/、3

(2)证明：当α>0时，f(x)>21na+-.

20.设等差数列｛α,J的公差为d,且d>l.令4=2型,记S,,Z分别为数列｛4,｝,也｝的前〃项和.

(1)若3%=3α∣+叼邑+]=21，求｛。〃｝的通项公式；

(2)若也｝为等差数列，且S99-L=99,求d.

21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投

3/15

篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1

次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)已知：若随机变量X,∙服从两点分布,且P(Xi=I)=I-P(X,∙=O)=0,i=l,2,，则

/n、〃

£∑x.记前〃次(即从第i次到第〃次投篮)中甲投篮的次数为y,求E(Y).

I/=I√/=1

22.在直角坐标系Xay中，点P到X轴的距离等于点P到点;0,；］的距离，记动点P的轨迹为W∙

(1)求W的方程；

(2)己知矩形ABCr)有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于

4/15

参考答案

1.【答案】C

【详解】方法一：因为％=卜,2一％—620}=(-8,_2]D[3,+8),而M={-2,—1,0,1,2},

所以MCN={-2}.

故选：C.

方法二：因为M={—2,—1,0,1,2},将—2,—1,0,1,2代入不等式V-X—620,只有—2使不等式成立，所以

MCN={-2}.

故选：C.

2.【答案】A

1-i(l-i)(l-i)-2i1.-1

【详解】因为Z-----------------------==—ɪ所以z=-i即z-z=-i-

2+2i2(l+i)(l-i)422

故选：A.

3.【答案】D

【详解】因为4=(1/),〃=(1,-1),所以a+∕^=(l+4l-4),a+μb-(∖+μ,∖-μ^,

由(α+λb^±{a+μb^可得，(α+Ab^a+μb^-0,

即(1+2)(1+〃)+(1—/1)(1—〃)=0,整理得：λμ^-∖.

故选：D.

4.【答案】D

【详解】函数y=2'在R上单调递增，而函数/(x)=2中旬在区间((M)上单调递减,

则有函数y=x(x—a)=(x—9)2—土在区间(0,1)上单调递减，因此，解得。22,

242

所以。的取值范围是[2,+8).

故选：D

5.【答案】A

【详解】由02=&厂得e；=3e：,因此∖l=3χC^,而α>l,所以ɑ=^.故选：A

6.【答案】B

【解析】【详解】因为V+y2-4xT=0,即(x—2y+y2=5,可得圆心C(2,θ),半径尸=百，

过点P(0,-2)作圆C的切线，切点为AB.

因为IPq=J22+(—2)2=2&，则IPAl=JIPef—产=6,

Hr省•/.叱一V5_710√3_76

可f`jsin/APC=———----,cosNAPC=————,

2√242√24

5/15

则SinNAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2×

cosNAPB=cos2ZAPC=cos23*6ZAPC-Sin2ZAPC-ɪ<0,

4

即NAPB为钝角,

所以Sina=Sin（兀一NAPB）=sinNAPB=

7.【答案】C

【解析】

【详解】方法1,甲：｛q,｝为等差数列，设其首项为％,公差为d,

n-∖

则S=ιza——J,—=β+

11i2n122*2H+1712

因此｛二4为等差数列，则甲是乙的充分条件；

n

反之，乙：｛2｝为等差数列，即辿—2=2+1二一,—?为常数,设为f,

n/1+1nH(H+1)H(Π+1)

"4S

即=t,则S“="4*1T∙〃("+l),有5,1=(〃-l)α"一f∙"("-l),“≥2,

两式相减得:an=nan+x-(n-l)an-2tn,即。用一%=2£,对〃=I也成立，

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

8.【答案】B

【详解】因为sin(α-/)=SinaCOS〃一COSaSin∕=J,而CoSaSi，因此SinaCO，

362

2

则sin(σ+,)=sinacosβ+cosasinβ=—,

2ι

所以cos(2a+24)=cos2(α+/7)=l-2sin2(a+/?)=1—2×(―)2=—.

39

故选：B

9.【答案】BD

【详解】对丁选项A:设了2，忍，入4，毛的平均数为机，％，々,…，%的平均数为〃，

则〃_a=x∣+X2+X3+X4+X5+4_X2+j⅞+%+X5=2(χ+4)—(X5+X2+X3+X4)

6412

因为没有确定的大小关系，所以无法判断犯〃的大小，

2(XI+X6),X5+X2+X3+X4

例如:1,2,3,4,5,6,可得加=〃=3.5；

例如LLLLL7,可得m=1,〃=2；

6/15

例如1,2,2,2,2,2,可得加=2,〃=故A错误；

6

对于选项B：不妨设X∣≤A2≤Λ3≤Λ4≤X5≤X6,

可知％2,&，的中位数等于玉，工2，…，⅞的中位数均为二；”,故B正确；

对于选项C:因为玉是最小值，%是最大值，

则工2，孙为4，*5的波动性不大于石，々，…，为6的波动性，即％2，工3，/，工5的标准差不大于玉，工2，3，工6的标准差，

例如：2,4,6,8,10,12,则平均数〃=,(2+4+6+8+10+12)=7,

6

标准差s∣=9一(2_7)2+(4_7)2+(6_7)2+(8_7)2+(10_7)2+(12_7)[=^L

4,6,8,10,则平均数〃?=；(4+6+8+10)=7,

标准差S2=A(4—7)2+(6—7)2+(8—7)2+(10—7)2=亚,

显然巫5>5,即$>$2；故C错误；

3

对于选项D：不妨设X1≤X2≤X3≤X4≤X5≤X6,

则％6一玉》无5一%2，当且仅当X=X2，工5=%时，等号成立，故D正确；

故选：BD.

10.【答案】ACD

【详解】由题意可知：

Ln∈[60,90],Lft∈[50,60],Lft=40,

对于选项A：可得％,=20xlg/ɪ-2()XIg0■=20Xlg且，

'PoPoPi

因为4,≥4,则4,一4=20Xlg且≥0,即Ig旦20,

PiPi

所以aNl且四，“2>0,可得Pi≥“2,故A正确；

Pl

对于选项B：可得4、=20Xlg卫_20xlg&=20Xlg卫，

PoPo“3

因为L-L=4,-40≥10,则20χlg∙∙N10,即IgRN〈，

所以上且〃，2〃3>0，可得。22五，3，

当且仅当L%=5()时，等号成立，故B错误；

对于选项C：因为4、=20xlgH=40,即IgA=2,

POPO

7/15

可得B=IoO,BPp3=IOOp0,故C正确；

PO

对于选项D：由选项A可知：L-L=20×Igʌ,

P2

旦Lp,—Lp,≤90-50=40,贝ι]20χlg旦≤40,

即Ig且≤2,可得且≤100,且P],P2>O,所以P∣≤IOOP2,故D正确;

PlPz

故选：ACD.

11.【答案】ABC

【详解】因为AW)=V/*)+/,,),

对于A,令无=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对于B,令x=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),则/⑴=0,故B正确.

对于C,令尤=y=T,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则/(—1)=0,

=-1,/(-%)=/(X)+x2∕(-l)=f(x),

又函数/(χ)的定义域为R，所以/O)为偶函数，故C正确，

对TD,不妨令/(X)=O,显然符合题设条件，此时/(X)无极值，故D错误

12.【答案】ABD

【详解】对于选项A：因为0.99m<lm,即球体的直径小于正方体的棱长,

所以能够被整体放入正方体内，故A正确；

对于选项B：因为正方体的面对角线长为血m，且血〉1.4，

所以能够被整体放入正方体内，故B正确；

对于选项C：因为正方体的体对角线长为也m，且百<1.8，

所以不能够被整体放入正方体内，故C正确；

对于选项D：因为正方体的体对角线长为gm，且6>1.2，

设正方体ABCD-AlBlCtDl的中心为O,以AC1为轴对称放置圆柱，设圆柱的底面圆心。到正方体的表面的

最近的距离为Rm,

如图，结合对称性可知：OC1C1A=^-,C1O1=OC1-OO1=—-0.6.

1∩ZT

hC1O1

OJII-----=-------,即〃_W^一解得/?=——竿>0.34〉0.01

Λ4CA

11T=F2√3

所以能够被整体放入正方体内，故D正确;

故选：ABD.

8/15

13.【答案】64

【解析】

【详解】(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C：C：=16种；

(2)当从8门课中选修3门，

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C；C；=24种；

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C：C；=24种；

综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.

故答案：64.

14.【答案】汽1##［指

66

【详解】如图，过A作A垂足为易知AM为四棱台ABC。一A耳GR的高，

因为AB=2,AB∣=1,A4∣=√L

则Aa=∣Λ1C,=∣×√2Λ1β,=^-,A0=∣AC=∣×√2Aβ=√2.

22

故AM=T(AC—AG)=乎，则AM=y∣AiA-AM=^2-∣=ɪ

=7屉

6

故答案为：还.

6

15.【答案】［2,3)

【详解】因为0WxW2τr,所以0WOXW2ΛOT,

令f(x)=COSfox-I=0,则CoS⑦X=I有3个根，

令∕=3X,则COSf=I有3个根，其中fe［0,2⑦兀］,

9/15

结合余弦函数y=COS/的图像性质可得4兀＜2外兀＜6兀，故2≤G＜3,

斗尸I

、......…;……⑤

0-ʌsʒz~2«X^zZ4n~^Xs^z6«~/

J=COSZ

故答案为：12.3）.

16.【答案】越##-√5

55

【详解】

依题意,设IA周=2加，则忸段=3m=∣%∣,∣A娟=2α+2m,

在Rt△484中，9"72+（2。+2加）2=25疗，则（〃+3〃2）（4-/篦）=0,故Q=机或〃=一3加（舍去）,

所以IAGl=4〃JA闾=2",∖BF2∖=∖BFl∖=3a,则IAM=54,

16〃2IΛ∩~—4/，4

所以在△?1耳心中，CoSN6AM=~—=-，整理得5。2=9。2,

2χ4αχ245

10

【解析】

【小问1详解】

VA+β=3C.

TT

.•.兀一C=3C,即C=-,

4

又2sin（A-C）=SinB=sin（Λ+C）,

/.2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

/.sinAcosC=3cosAsinC,

/.sinA=3cosA,

7Γ

即tanA=3,所以0<A<^,

10/15

33√W

/.sinA

√ιo^^o-

【小问2详解】

LZ1ΛA,ΛI√io

由(1)知，cosA=—f=-，

√ioio

由SinB=Sin(A+C)=SinAcosC÷cosAsinC=

<2√5

/5×----

山正弦定理，二一可得b=—金一=2•，

sinCsinB√2

T

.'.-ABh=-ABACsmA,

22

:.h=bsinA=2VlOX^ɪθ=6

10

18.【答案】(1)证明见解析；(2)1

【解析】

【小问1详解】

以C为坐标原点，CB,CG所在直线为孤乂Z轴建立空间直角坐标系，如图,

则C((),0,0),C2(0,(),3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,l),

.∙.B2C2=(0,-2,1),A2D2=(0,-2,1),

,

..B2C[∕∕A2D2,

又为C2,AQ不在同一条直线上，

.∙.B2C2∕∕A2D2.

【小问2详解】

设p((),2,∕l)(()≤∕l≤4),

则=(-2,-2,2),PW=(O,—2,3-㈤,2。；=(一2,0,1),

设平面PA2C2的法向量〃=(x,y,z),

11/15

n∙PC2=-2y+(3-λ)z=O

令z=2,得y=3-4,x=4-l,

/.n—(A—1,3—几,2),

设平面AC?。?的法向量根=(〃,"C)，

rh∙A2C^=-2a-2b+2c=0

m∙D2C2--2a+c=0

令a=1,得b=l,c=2,

.∖m=(1,1,2),

z___、〃•加6Jξ

o

cos(π,nt)=—∩—=I=Icos150∣=——,

'/∕ι∣∣m√6√4+(Λ-l)2+(3-Λ)2112

化简可得，Λ2-4λ+3=0-

解得2=1或;1=3,

P(0,2,l)或P(0,2,3),

.-.B2P=X

19.【答案】(I)答案见解析(2)证明见解析

【解析】

【小问1详解】

因为/(x)="(e*+α)-x,定义域为R,所以/'(x)=αe*-1,

当α≤0时，由于e*>0，则αe"≤O,故f'(x)=αe*-1<0恒成立，

所以/(x)在R上单调递减；

当α>()时，令/'(x)="e*-l=O,解得X=-In4,

当x<-lnα时，Γ(χ)<O,则/(x)在(一叫-Ina)上单调递减；

当x>-lnα时，f'X0,则/(x)在(Tnα,+CO)上单调递增；

综上：当α≤0时，/(x)在R上单调递减；

当α>0时，/(x)在(-8,Tna)上单调递减，在(―lnα,+s)上单调递增.

【小问2详解】

-na2

由(1)得，/(x)min=/(-lnα)=α(e'+α)+lnα=l+a+Ina,

331

要证f(x)>21ntz+-,即证1+/+In。>21na÷-,即证"----In。〉O恒成立,

222

令g(ɑ)=/一:一InQ>0),则g,{}=2a--=-ɪ>

2aaa

12/15

令g'(a)<O,则0<“<乎：令g'(α)>O,则“>半：

/、(婷f√2

所以g(α)在θ,ɪ-上单调递减，在上单调递增，

<2√12>

(5、(5丫1/ɔ

所以g(α)mi"=g注=---L-ln—=ln√2>0,则g(α)>O恒成立,

\/\/

3

所以当。>0时，f(x)>21nα+］恒成立，证毕.

20.【答案】(1)%=3〃(2)d=-

50

【解析】

【小问1详解】

3a2=3tz1+ai,3d=al+2d,解得α∣=d,

S3=3a、—3(tz∣+d)=6d,

又4%+。+44》蒋=弓,

9

.∖53+η=6√+-∣=21,

即2/2-74+3=0,解得d=3或4=!(舍去),

2

.*.an=ay+(n-V)∙d=3〃.

【小问2详解】

｛么｝为等差数列,

,12212

.*.2Zfλ)=bf]+仄,即—=—I,

a2aλ%

//11∖6dICʌ.

，=—,即解得1或1

6(--------)=-----—3a,d+2d~=O,q=dq1=2d,

a2a3a2a3al

・；d>1,>O,

又Sa9,由等差数列性质知，99%)-99%=99,即为0-Z⅛=L

2550

•••«50--------=11，即%9—%o—2550=0,解得％o=51或60=一50(舍去)

a50

当4=2/(1寸，%0=4+494=514=51,解得d=l,与d>l矛盾，无解;

当4=d时，%o=4+49d=50d=51,解得d=一.

50

综上，J=­.

13/15

1

S6+n

3-+—

3

【解析】

【小问1详解】

记“第i次投篮的人是甲”为事件4，“第i次投篮的人是乙”为事件与，

所以，P(82)=P(A82)+P(482)=P(A)P(B2∣A)+P(4)P(82∣BJ

=0.5×(l-0.6)+0.5×0.8=0.6.

【小问2详解】

设P(A)=化，依题可知，P(耳)=1一8，则

P(4+J=P(44+∣)+P(84+J=P(4)P(4+J4)+P(B,)P(4M∣8∙),

即PM=0.6/?,.+(1-0.8)×(1-p,.)=0.4p；+0.2,

构造等比数列{Pi+4},

2i12(

设Pi+1+2=E(Pi+4),解得2=_.,则Pi+|_£=WPi~~，

ɔɔɔɔ∖ɔ√

又Pi=；，P/；=；，所以P,一2是首项为J，公