2023年河南省TOP20名校高考数学模拟试卷（文科）（4月份）

2023年河南省TOP20名校高考数学模拟试卷（文科）（4月份）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设集合4={利乳刀-2）<0},B={-1,0,1,2},则4nB=（）

A.{-1}B.{1}C.{0,1}D.{1,2}

2.若复数z满足|z+l|=—且z在复平面内对应的点为（x,y）,则（）

A.x=1B.y=lC.x+y=0D.x-y=0

3.下列直线中，可以作为曲线y=cos（2x-今的对称轴的是（）

A.X=B.X=C.%D.X=y

4.设x,y满足约束条件（，"2，则z=x+2y的最大值为（）

（x2y+4?0

A.1B.2C.4D.8

ZJ.I

5.已知曲线/",，过曲线上48两点分别作曲线的切线交于点P,

1/riz.n/1

4PJLBP.记A,B两点的横坐标分别为%i，%2»则％i%2=（）

A.\B.1C.1D.2

6.尿酸是鸟类和爬行类的主要代谢产物，正常情况下人体内的尿酸处于平衡的状态，但如

果体内产生过多来不及排泄或者尿酸排泄机制退化，则体内尿酸滞留过多，当血液尿酸浓度

大于7,皿,〃时，人体体液变酸，时间长会引发痛风，而随低食物（低喋吟食物）对提高痛风

病人缓解率、降低血液尿酸浓度具有较好的疗效.科研人员在对某类随低食物的研究过程中发

现，在每天定时，定量等特定条件下，可以用对数模型，/描述血液尿酸浓度

单位：，随摄入随低食物天数t的变化规律，其中%为初始血液尿酸浓度，K为

参数.己知/“JI,在按要求摄入随低食物50天后，测得血液尿酸浓度为15,若使血液尿酸

浓度达到正常值，则需将摄入随低食物的天数至少提高到，Il”i（）

A.69B.71C.73D.75

7.如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-2,2］上的大致图象，则该函数是（）

AB

-「-/⑺C./(/1?―Z7D.M-

8.已知抛物线C：y2=2px(p>0)焦点为F,准线为1,点力(3,2门)在C上，直线91与，交于

点B,则踹=()

A.1B.V-2C.CD.2

9.在正方体ABC。-&B1C1D1中，M,N,P分别为&B,&G，&D的中点，则下列结论中

错误的是()

A.MN"AD[B.平面MNP〃平面BG。

C.MN1CDD.平面MNP_L平面480

10.已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=5,圆C'是以圆/+y?=1上任意一点为圆心，半径为

1的圆.圆C与圆C'交于4,B两点，则当乙4cB最大时，('(1/()

A.1B.y/~2C.y/~3D.2

11.已知无穷数列｛即｝满足：如果。m=斯，那么"I,且%=。5=1，。3=-3，

a4=4,a2是由与CZ4的等比中项,若｛即｝的前n项和%存在最大值S,则S=()

A.0B.1C.2D.3

12.已知圆台01。的上、下底面半径分别为r,R,高为九，平面a经过圆台。10的两条母线,

设a截此圆台所得的截面面积为S,则()

A.当/，I：时,S的最大值为。•斗”

(7?+/•)，：+(/?r)Jl

B.当人!；;时,S的最大值为

2(/?-r)

C.当一II时,S的最大值为。・

S的最大值为“["

D.当人n「时,

2(Itr)

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.己知向量2=(1,2),另=(一2,—1)，写出一个与G—3垂直的非零向量芸=.

14.从48等5处水样监测点中随机选3处进行水样检测，则48不同时入选的概率为

15.记△48C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,iv'2aL"a=V_2c,

则?=.

16.已知双曲线C：胃一，=l(a>0,b>0)的左顶点为A,P为C的一条渐近线上一点，4P与

C的另一条渐近线交于点Q,若直线4P的斜率为1,且4为PQ的三等分点，贝IC的离心率为

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

已知数列｛an｝,等差数列｛%｝满足“=册+与+1，坊=一3,〃，也12.

(1)证明：an-an+2=2；

(2)若｛a.｝为等差数列，求｛即｝的前n项和.

18.(本小题12.0分)

太平洋是地球上岛屿最多的大洋，有大小岛屿2万多个，岛屿面积约占世界岛屿总面积的45%,

蕴藏着丰富的动植物资源.为了解太平洋某海域的岛屿上植物种数的生态学规律，随机选择了

6个岛屿，搜集并记录了每个岛屿的植物种数(单位：个)和岛屿面积(单位：平方千米)，整理

得到如下数据：

样本号i123456

岛屿面积X61525344454

植物种数y51015192431

并计算得工「2012.V/-12"1.

(1)由数据看出，可用线性回归模型拟合y与％的关系.根据表中前4号样本数据，求y关于x的线

性回归方程；

(2)根据所求的线性回归方程计算第5,6号样本植物种数的预报值y,并与相应植物种数的真

实值y进行比较.若满足1,则可用此回归方程估计该海域其他岛屿的植物种数，并

估计面积为100平方千米的岛屿上的植物种数；若不满足，请说明理由.

关宝•八Th--y)_^x-nxy._■_

参考么式：入第臼一刀一孤田=1一iy战2'a=y-bx-

19.(本小题12.0分)

如图，在三棱锥A-BCD中，/.BCD=90°,AB=AC=AD.

(1)证明：平面4BD_L平面BCD；

(2)设BC=CD=2,E为AC的中点，乙BED=90°,求点B到平面4CD的距离.

20.(本小题12.0分)

已知椭圆C：^+，=l(a>b>0)的左顶点为A,P为C上一点，。为原点，\PA\=\PO\,

乙4Po=90。，△APO的面积为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设B为C的右顶点，过点(1,0)且斜率不为0的直线，与C交于M,N两点，证明：

3'>in.\lAHt.m.\H\■

21.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=xlnx—ax2,77'(%)为/'(%)的导数.

(1)讨论f'(x)的单调性；

(2)若直线［与曲线y=f(x)有两个交点，求a的取值范围.

22.(本小题10.0分)

在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程是'」，为参数)，曲线Q的参数方程是

(；7-1,，卜.

j--t'.

，，为参数)，以坐标原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的

Iy-广2

极坐标方程为P=1.

(1)求Q,。2的直角坐标方程；

(2)若直线I与G交于A，B两点，与交于C,。两点，\OA\=\OB\,且|OC|=|OD|,求|C£)|.

23.（本小题12.0分）

已知a,b均不为零，且满足。2+力2=1证明:

（l）o-b■\2；

a3b1

（2）.•-1

oa

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：集合A=(x\x(x-2)<0}={x|0<x<2},而8={-1,0,1,2),

所以4nB={1}.

故选:B.

解一元二次不等式化简集合4再利用交集的定义求解作答.

本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：由题意，z=x+yi(x,yeR),

由|Z+11=\Z-l\,得J(X+1)2+y2=J.+(y—1)2,

整理得：x+y=0,

故选：C.

由已知可得z=x+yiix.yGR),代入|z+1|=|z-i|,利用复数的模相等列式化简得答案.

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题.

3.【答案】A

【解析】解："■''(力

对于力，当％=彳时，u--必：1,则％［是曲线丫=cos(2x-勺的对称轴，A是；

对于8,当％=轲，y.三」，「1，则x=g不是曲线y=cos(2x—勺的对称轴，B不是；

对于C,当％=鄂寸，U.、⑺二II,±1,则％］不是曲线、=cos(2%-1)的对称轴，C不是；

对于。，当％=茎时…、:3：=I，则％=与不是曲线y=cos(2x-合的对称轴，。不

是.

故选：A.

利用诱导公式化简函数式，再利用正弦函数的性质，逐项代入验证作答.

本题考查正弦函数的性质，属于中档题.

4.【答案】C

【解析】解：作出可行域如图中阴影部分所示,

z=x+2y化为y=+|,

当直线经过点A时，纵截距f最大，

联立｛"，解得｛泮，则4。，2)，

此时Zmax=0+2x2=4.

故选：C.

作出可行域，利用其几何意义转化为截距最值即可得到答案.

本题主要考查简单的线性规划，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：当0<x<1时，/(久)=一：<0,当x>1时，/(x)=：>0,

依题意，曲线/(x)在点4,B处的切线互相垂直，贝I」/,&在1的两侧，不妨令0</<1<不，

因此।’1,解得x62=l-

故选：B.

分段求出函数/(x)的导数，利用导数的几何意义结合垂直关系求解作答.

本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处切线方程，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：由函数模型(八/.u.iA/,当t=50时，II15,

可得】：，可"即1；?”而)如加L.

设血液尿酸浓度达到正常值时，摄入天数为t',

则72'I,(A即：23〃〃Jih'/Jv2,

②-①得-s—211/M—,即加，

50Ml?呜

故选：D.

代入t=50得广JU.'.21山水,设浓度为7.“〃.时，摄入天数为t',则有

7中打〃2hfnA,通过作差解出t'即可.

本题主要考查了函数的实际应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题.

7.【答案】A

【解析】解：对于B,yU_—r<2|>|।II>,

X

…2八，x“_，，函数f(x)是偶函数，B不是；

•,，,L-一,

对于C,,/1---------,x€I-2.IHJii>.2>,r，”，函数/(x)

i-r(fC

是偶函数，c不是；

对于。，V="―-.J?w[_2."JJU),力，/U)-*111D不是；

对于4,yI---------.x€[-2JHJIII2b/(-X)=-/(x)•函数

x-<r<r-

f(x)是奇函数，

且/，1「'Jl>,4符合题意.

故选:A.

根据给定的函数图象特征，利用函数的奇偶性排除BC；利用-1）的正负即可判断作答.

本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：点4(3,2，？)在抛物线C：y2=2px(p>0)±,

12=2px3,••p=2,F(l,0).

\AF\=I(3-I)2+(2V-3)2=4，

过点4作，的垂线，垂足为H,由抛物线的定义可知|4川=\AF\=

4,

设/与x轴交于点G,则尸G|=p=2,

\AH\=2|FG|,V.AH//FG,

|4B|=2|BF|,.•.尸为AB中点,

\BF\

故选:A.

将点4（3,2门）代入抛物线方程中，可得p=2,过点4作，的垂线，垂足为H,，与x轴交于点G,则

\AH\^2\FG\,所以尸为中点，从而可得提的值.

本题考查抛物线的几何性质，化归转化思想，属基础题.

9.【答案】D

【解析】解：对4在A/liBCi中，因为M,N分别为&B,&G的

中点，

所以MN〃BC1又BC\〃AD\,所以MN〃AD°A正确.

对B,在△&BD中，因为M,P分别为4山的中点，

所以MP〃BD,

因为MPC平面BG。，BOu平面BQO,

所以MP〃平面BCi。

因为MN//BC],MNC平面BG。，BC】u平面8G。，

所以MN〃平面BG。.

又因为MPCMN=M,MP,MNu平面MNP,

所以平面MNP〃平面BQ。，B正确.

对C,因为MN〃4Di，ADr1CD,所以MN1CD,C正确.

对D,取BO的中点E,连接4E,EG，则N&EC1是二面角①一BD-G的平面角.

设正方体棱长为a,则I：EQ--,,0,

2〜（黄尸**

又n.4（/（1,Isi,则.I/Cf,

所以平面A/D与平面BCi。不垂直.

又平面MNP〃平面BG。，

所以平面MNP与平面不垂直，D错误.

故选：D.

根据中位线以及平行的传递性判断选项4根据面面平行的判定定理判断选项8；由平行的性质

可判断选项C；先证明平面48D与平面BGD不垂直.再根据平面MNP〃平面BGD即可判断选项

D.

本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档

题.

10.【答案】D

【解析】解:在A4BC中,\(BC遥，如图所示:

Z.ACB"又函数y=sinx在(0,勺上递增,

显然0<\AB\<2,是锐角,疝

1C|证

因此当且仅当公共弦AB最大时，乙4cB最大，此时弦4B为圆C'的直径,

在RM4CC'中，\Ce!MI,\('iI,所以J"\.1。:」('，-2.

故选：D.

根据给定条件，结合等腰三角形性质确定顶角最大的条件，再借助直角三角形求解作答.

本题主要考查两圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题.

11.【答案】B

【解析】解：由%=1,a4=4,a?是由与的等比中项，得。2=±2,

若。2=2,由%=&5=1及已知，得。6=2,由。3=—3,得a7=-3,则a,-内

因此数列｛an｝的项依次为：1,2,-3,4,1,2,-3,4,数列｛%｝是以4为周期的数列,

显然「I.'.I.'；,数列｛Sm｝单调递增，无最大项，因此数列｛即｝的前几项和

无最大值；

若。2=-2,同理可得数列｛册｝的项依次为：1,-2,-3,4,1,-2,-3,4,数列｛an｝是以

4为周期的数列，

S]=1,S2=-1,S3=-4,S4=0,S5=1,、I,SQ=0,…,

数列｛Sn｝是以4为周期的数列，且•1,1，*1I,Ih此时｛an｝的前

九项和Sn存在最大值，

所以Sn的最大值5=1.

故选：B.

由是的与a4的等比中项求出a2,再分情况计算判断作答.

本题主要考查数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题.

12.【答案】D

【解析】解：如图，将圆台。1。补成圆锥PO.

设圆台为。的母线长为，，则M=/+(R—r)2,等腰梯形4BCC为过两母线的截面.

rx7•/

设PC=x,"PB=。，由/Q，得"百

则S<r­/r—/-.、，〃〃，

22,2(R-r)

当，一U「时，e<90°,当s讥9最大,即截面为轴截面时面积最大,

则S的最大值为2r\hR./•I.-.

当八1(.，时，9>90°,当s讥8=1时，截面面积最大，

则s的最大值为骷〜四喘华力.

故选：D.

通过将圆台补成圆锥，利用图形分"r和”〃，•讨论即可.

本题主要考查圆台的结构特征，解题的关键的是通过补图，利用三角形相似和三角形面积公式求

解即可，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题.

13.【答案】(1,一1)(答案不唯一)

【解析】解：由题意可知abi3.3),设日=(x,y),则3x+3y=0,

取x=1,则y=-l,则与a-3垂直的非零向量可以为不=(1,-1).

故答案为：(1,一1)(答案不唯一).

首先计算“，工小，设,=(%/),利用向量垂直，数量积为0,即可求解.

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

14.【答案】Yo

【解析】解：设5处水样监测点分别为4B,C,D,E,从中随机选择3处的结果有：

ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种情况，

其中4,B同时入选的有ABC,ABD,ABE,共3种情况，

所以4B不同时入选的概率P=1-磊=5.

故答案为：

对另外3处水样监测点编号，利用列举法结合古典概率求解作答.

本题考查古典概型相关知识，属于基础题.

15.【答案】1

【解析】解：•'v2«/bitiniB,

・•・在48c中，由正弦定理得、【八八3”小

则\一1，整理得\二、；心(,",".1，

(wtBcmC

vAG・••sinAH0,则cosC=殍，

•・,CE(0,7r),­*-C=p

又”\L，则由正弦定理得、I\l，

•・•A€(O,TT),・•・A=/,・•・B=3,・•.Z?=c,'1.

故答案为：1,

利用正弦定理及三角恒等变换得。sin4cosc=sinA,贝UcosC=殍，可得2,C,最后得到角B,

即可得出答案.

本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

16.【答案】三

【解析】解：己知直线AP的斜率为1,

设PQ所在的直线方程为y=x+a,

又双曲线的渐近线方程为y=±：x,

b,

消x可得“「巴，

b-a

0+a

b,

（1一丁

消X可得”广匕，

又A为PQ的三等分点，

里旦

b-aub

即a=3b,

即M-W[*!<-'!kr,

即£=色，

a3

即C的离心率为等.

故答案为：

由双曲线的性质，结合双曲线离心率的求法求解即可.

本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线离心率的求法，属基础题.

17.【答案】（1）证明：设数列｛%｝的公差为d,由，…,12,得M12,

由瓦=-3,得d=-2,故%=—2n—1,

即〃•ll,

递推，得八,-2n-3^

a

①一②得an-n+2=2,

故册-an+2=2得证.

(2)解：若｛an｝为等差数列，设公差为d',

由“+2一。九=一2,可得2/2,则d'=1l.

又.u,a,(.।2H1,,.2a-tf2H1,：•an=-n,・•・ar=-1,

•••5｝的前71项和又・(~X~W)n--y:.

【解析】(1)设数列｛%｝的公差为d,由等差数列的通项公式可求得d,从而可得b=-2九-1,则

an+an+1=—2n—1,a।o,._2ii作差即可证明；

(2)设数列｛an｝的公差为d',由(1)解得力=-1,结合an+a“+i=-2n-1求出0n=-小再利用

等差数列求和公式即可得到答案.

本题主要考查数列的递推式，数列的求和，等差数列的前n项和公式，考查运算求解能力，属于中

档题.

18.【答案】解：⑴依题意，“S+lSyS+MnS+W+J

4

FXM.-tri/

人H"1201-4x20x12.25

用「_।xMIO-'"a=”12.25-II7、202.25,

iwl

所以所求线性回归方程为y(I,-,,-

(2)当x=44时，！/-业「，•”•2125-yi/\21.521」311

当x=54时，(I,",.-2.2；2<t2r>>，：2'<Jj111.7j1.

所以不能用此回归方程估计该海域其他岛屿的植物种数.

【解析】(1)根据给定数表，求出再利用最小二乘法公式求解作答.

(2)利用(1)中线性回归方程，按要求计算并判断作答.

本题考查线性回归方程的性质，属于中档题.

19.【答案】解：(1)证明：如图，取BD的中点F,连接AF,CF,EF,

v乙BCD=90°,BF=DF,：.BF=CF.

y.-.-AB=AC,4F为公共边，

..,.•ZFB=/-AFC.

同理可得乙4FC=N4FD,.•.NAFB=44FD,

♦.•乙H/J、£AFDiso,,.z,4Fa=Z4FC=Z4FD=90，

AF1BD,AF1CF,

又•F，BD,CFu平面BCD,

AF_L平面BCD,又AFu平面4BD,

.,•平面ABD1平面BCD；

(2)在ABDE中，,:乙BED=9Q°,F为BD的中点，EF=

•••BC=CD=2,4BCD=90。，BD=2/7,EF=V-2.

在AACF中，•••ZJ1FC=9O。，E为4c的中点，

Z

AC1EF2V2.

在Rt^ACF中，.112\l.CFv2，则AF=C，

m平面BCD,••.AF为三棱锥4-BCD的高，

••・三棱锥4-88的体积一八，.，lS",AF1.2.vti

'1

由"AD2\2.CD2，

可得△ACO的面积、t.,i\,

设点B到平面ACD的距离为d,

山%-4CD=匕-BCD'

得)、!，,■!”，解得d2v12，

337

故点B到平面4CD的距离为享.

【解析】(1)取BC的中点F,连接45，CF,EF,首先通过三角形全等证明4F1BC,AF1CF,

再利用面面垂直的判定即可证明；

(2)首先求出1,彳‘，再利用等体积法即可求出点B到平面ACD的距离.

本题考查面面垂直的证明，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，等体积法求解点面距问

题，化归转化思想，方程思想，属中档题.

20.【答案】解：(1)不妨设点P在%轴的上方,由椭圆的性质可知|。川=a,

naa，“（一_a『（-r

・・•△4P。是以P为直角顶点的等腰直角三角形，J代入「一『1,212-

/f/r>->1）_•I•—1,-•'।7_■«■»•I

a1（ra'tr

整理得a?=3b2,AP。的面积为1,',•'I；1,a2—4,b2=J,故椭圆C的方程为1+

2234

军=1：

(2)证明：设直线4M的斜率为七，直线BN的斜率为七，MQi，%)N(X2，y2)，

直线MN的方程为％=my+1,

不妨设y2VoV%则tan_MAH,A.Itn./）I,

2+：；：二4，可得（病+3）y2+2my-3=0,

LI/〃/3

A11.",3II，则“'一/；一振3'、1及=一诉5,

;，即2血丫1%=3(%+丫2)，

k\工|十2班(〃谶-1).〃一物一10.2(粉十二)-M./.1

工._22'^1生—帆2a+2^

..：6人1，："〃〃.1/1〃tan.XII\­

【解析】(1)通过分析得四：1,将其坐标代入椭圆方程，结合△4P。面积和Q,b,C的关系即

可求出椭圆方程；(2)设直线4M的斜率为七，直线BN的斜率为七，M(x1,y1)/V(x2,y2),直线MN的

方程为％=my+1,再将其与椭圆联立得到韦达定理式，通过化简得2叫/1丫2=3(%+为)，最后

计算自，将上式代入即可证明其为定值.

本题考查了直线与圆锥曲线的综合运用，属中档题.

21.【答案】解:(1)设，…f,■332a.1,g(x)的定义域为(0,+8),

Mi）入，

当a40时,g'(x)>肘g(x)在区间(0,+8)单调递增,

当a>。时，令g'(x)=0,得x=

若xe(0,5,g'(x)>0,g(x)单调递增;

若xe(三,+8),Il,g(x)单调递减.

综上，当aWO时，((x)在(0,+8)上单调递增；

当a>0时，尸(久)在区间(0,点)上单调递增，则弓,+8)上单调递减.

(2)直线，,与曲线y=f(x)有两个交点，即关于x的方程“J:有两个解,

令，，其中x>。，则“⑸二号+捺二^2^，

令s(%)=%—%伍工+?2,则.■/」,「，

当0<%<1时，sz(x)>0,此时函数s(x)单调递增；

当%>1时，s'(%)<0,此时函数s(%)单调递减.

由111••\s(e2)=0,得0V%<1时，x—xlnx4-e2=x(l-Znx)4-e2>0,则w'(%)>0；

当，/«时，s(x)>s(e2)=0,则”(X)>0；

当%>e?时，s(%)<s(e2)=0,则"(%)<0,

所以函数9。)在区间(o,/)上单调递增，在区间,「♦、))上单调递减，

则伊(X)max=W(©2)=袅

当%趋近于+8时，9(%)趋近于0,即当%>e州寸，(p(x)>0；

当工趋近于0时，@(x)趋近于一8.

故要使直线y:与曲线y=/(x)有两个交点，则需。”:即可.

即实数a的取值范围是IL\I