重难点03循环小数化为分数（解析版）

重难点03循环小数化为分数【考点剖析】1.【阅读理解】根据实际需要，计算的结果有时要用小数表示，有时要用分数表示.分数、小数进行比较时也需要进行互化.我们已经学会了一些基本的互化方法，但还有很多知识可能没有学会，但双非常重要.例如：如何将无限循环小数化成分数.解1：因为，所以，又因为，所以，从而得.解2：因为，，两式相减得：，又，所以，从而得.

用上述方法将无限循环小数化成小数（需要写出过程）.【答案】；；【解析】解：（1）因为，所以，又因为，所以，从而得.（2），；②–①得：，所以.2.将下列循环小数化为分数．（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）； （2）；； （4）．【总结】考察循环小数化为分数的方法，参考知识精要．3.求证：．【答案】设，则，所以，所以，所以．【解析】考察分数化为循环小数的方法．4.求证：．【答案】设，则，，所以，所以，所以．【解析】考察分数化为循环小数的方法．【过关检测】一、单选题1．将无限循环小数化为分数，可设，则，解得：．仿此，将无限循环小数化为分数为（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，设设，则，根据解一元一次方程的方法，求出x的值即可．【详解】设，则，移项，可得：，合并同类项，可得：，系数化为1，可得：，∴．故选：D．【点睛】此题主要考查无限循环小数化分数的方法，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．2．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数，例如：将，则，解得，即，仿此方法，将化成分数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据例题方法直接计算即可得到答案；【详解】解：设，则，解得，故选D．【点睛】本题考查循环小数转化分数，解题的关键是读懂题目中方法．二、填空题3．一般地，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式，那么应该怎样写呢？我们以无限循环小数为例进行说明：设，由，可知，所以，解方程得：．于是，得．将写成为分数形式是______；将写成为分数形式是______．【答案】【分析】仿照化为的过程进行解得即可．【详解】解：设，所以，所以，解得：；设，所以，所以，解得：．故答案：，．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键．4．无限循环小数可以写成分数形式，求解过程是：设，则，于是可列方程，解得，所以．若把化成分数形式，仿照上面的求解过程，可得_____．【答案】【分析】设，找出规律公式，解方程即可．【详解】设，则于是可列方程为：，解得：，故答案为：．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是找出其中的规律，即通过方程形式，把无限小数化为整式形式．5．把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，设，由可知，，所以．解方程，得，于是．仿照上述方法，无限循环小数化为分数是___________．【答案】【分析】设，则，列出关于x的方程，解方程得出x的值，即可得出答案．【详解】解：设，∵，∴，∴，解得：，∴化为分数是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解无限循环小数，列出方程．6．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式，以无限循环小数为例：设，由可知，，所以，解方程，得于是，得．运用上面的方法可以将化成分数形式为______．【答案】【分析】设，则，列出关于x的一元一次方程，解之即可．【详解】解：设，则，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．三、解答题7．（1）计算________．（2）________．【答案】【分析】（1）首先将每个循环小数改写成分数，然后再根据异分母分数加法法则计算即可；（2）首先将每个循环小数改写成分数，然后再根据分数的混合运算法则计算即可．【详解】解：（1）；（2）．【点睛】本题考查了分数的混合运算，解本题的关键在把循环小数转化为分数．8．阅读材料：数学通古达今、博大精深，奥妙无穷，为使同学们在更广阔的数学天地中提升自学能力，我们七年级上册的数学教材“实验与探究”中，有一篇文章“无限循环小数化分数”，教我们用方程的思想按如下方法，把无限循环小数化为分数.请认真研读下列例题，理解例题中解决数学问题的思想、方法，然后学习、借鉴、类比、迁移这些思想、方法解答下列三个问题：以0.为例.设0.＝x，由0.＝0.777…，可知10x＝7.777…，所以10x＝7+x，解得x＝，于是0.＝．(1)类比：请按照这个方法把无限循环小数0.化为分数；(2)迁移：请按照这个方法把无限循环小数0.化为分数；(3)拓展：请按照这个方法把无限循环小数1.化为分数.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）仿照阅读材料中的方法计算即可得到结果；（2）仿照阅读材料中的方法计算即可得到结果；（3）仿照阅读材料中的方法和（1）结论进行计算即可得到结果．【详解】（1）解：设，由，可知：，∴，∴，解得，∴；（2）解：设，由，可知：，∴，∴，解得，∴；（3）解：∵，由（1）得∴．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．9．阅读材料，解答下面问题．无限循环小数化分数：利用一元一次方程可以将任何一个无限循环小数化成分数形式．下面以为例说明：设①，由．可得②，由②-①，得解得：，所以，模仿：（1）将无限循环小数化成分数形式．（2）_______．（直接写出答案）【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据转化分数的方法，设=x，仿照例题的解法即可得出结论；（2）根据转化分数的方法，设=x，仿照例题的解法（×10换成×100）即可得出结论；【详解】（1）解：设①由…可得②由②-①，得解得∴（2）设=x，方程两边都乘以100，可得100×=100x由=0.1212…，可知100×=12.1212…=12+，即12+x=100x．解得：．即【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，能够仿照例题将循环小数转化为分数是解题的关键．10．阅读下列材料、并完成任务.无限循环小数化分数我们知道分数写出小数形式即，反过来，无限循环小数写成分数形式即，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式.先以无限循环小数为例进行讨论.设，由可知，，所以，解方程，得，于是，得.再以无限循环小数为例，做进一步的讨论.无限循环小数，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法.设，由可知，.所以.解方程，得，于是，.类比应用（直接写出答案，不写过程）①.②.③.能力提升将化为分数形式，写出过程.拓展探究①；②比较大小1（填“”或“”或“”）；③若，则.【答案】类比应用:①；②；③；能力提升:;拓展探究：①;②；③【分析】类比应用：根据转化分数的方法，设=x，仿照例题的解法即可得出结论；根据转化分数的方程，分别设=x，=x，仿照例题的解法即可得出结论；能力提升：设=x,由1000x-x=213求解；拓展探究：①设x,则10x=20.19191919…,1000x=2019.191919…,1000x-10x=1999，即可得出结果；②先将化成分数即可得出结果；③设=x,y①,则1000x=②,由②-①式可得出结果.【详解】类比应用解：①设=x，则，所以，解方程，得，得=；

②设=x，则，.所以.解方程，得，=；③设=x，则，.所以.解方程，得.故答案为：①；②；③；能力提升解：设，，，，，于是.拓展探究：①设x,则10x=20.19191919…,1000x=2019.191919…,1000x-10x=1999,所以x=;②设x,则10x=9.9999…,得10x-x=9,解得x=1,故=1；③设=x,y,则1000x=,所以1000x-y=138,又x=，所以y=.故答案为：①；②=；③.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，能够仿照例题将循环小数转化为分数是解题的关键．11．阅读与理解：用下面的方法可以把循环小数化成分数：设，，可得方程：，解得，即．参考以上方法，解决下面的问题．(1)把化成分数．(2)把化成分数．(3)把化成分数．(4)通过阅读，解题，你有什么发现与收获吗？【答案】(1)(2)(3)(4)见详解【分析】（1）把循环小数化成一般写法，然后设循环小数，根据等式的性质，在等式两边同时乘变为第二个算式，再根据等式的性质，在方程两边同时减去，然后解方程即可；（2）把循环小数化成一般写法，然后设循环小数，根据等式的性质，在等式两边同时乘变为第二个算式，再根据等式的性质，在方程两边同时减去，然后解方程即可；（3）把循环小数化成一般写法，然后设循环小数，根据等式的性质，在等式两边同时乘、1000变为第二、三个算式，再根据等式的性质，得到关于的方程，然后解方