数学建模国赛题获一等奖

城市表层土壤重金属污城市表层土壤重金属污染分摘要针对问题一，利用地统计学中g的空间分布差异较大，8种重金属元素在地势较低的城市西南区浓度较高，地势数法，求出五个区域的综合污染指数，并与国家环境二级标准和背景值进行对20个主要污染源的坐标区间，将坐标值进行对比，发现偏移关键词Kriging1一、问题重一、问题重1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活11个采样点对表层土（0~10厘米深度）GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，(1)8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区二、问题分问题一：确定重金属的空间分布并分析不同区域重金属的污染2以本文考虑采用地统计学方法。Kriging插值法是地统计学中以本文考虑采用地统计学方法。Kriging插值法是地统计学中一种重要的数据处综合重金属的空间分布图与功能区分布图，分析不同区8种重金属污染度问题二：重金属污染的主要分析法，得到影响土壤整体变异性的3个重金属污染主因子。根据主因子的变特征向量大小8种重金属元素进行分类。由于各类因子所受影响不同，结2.3问题三：确定污染源的位问题四：模型评价与扩展并该城市地质环境的演变三、条件假设与符号说条件假10cm不考虑区域外污染源对城区内土壤重金属含量的影响个采样点能够客观反映整个市区的重金属污染情况符号说符解释与说土壤中重金属污染物i,(i1,3,8)的环境指P综C基台值减去C0污染物iC基台值减去C0污染物i的参考标准(g/g)污染物i的实测含量(g/g)功能区i,j2注：其他未注明符号在文章中会具体说四、模型准功能区分出功能分布图,如图1所示：151中，“☆○*□

”分别代表生活区、工业区、山区、交通区、公园绿重金属浓度数据概率分布检 法检验法、Q-2图、P-P图、Kolmogorov-Smirnov(K-S)检验法等[4]。本文利用SPSSl9．0统计软48种重金属元素浓度数据的Q-Q图，如图2所示2Q-Q布Q-Q图大致是一条直线，所以其均服从正态分布。五、模型的建立与求问题一：重金属的空间分布及不同区域重金属的污染程5.1.1模型I：土壤重金属的空间变异性模信息对未知点进行估计和模拟。变异函数[1]是地统计学中的主要工具，Kriingiing1模型的于x，任意距离为h的两点间的差值的数学期望为0：E[Z(x)]m，对于任xE[Z(xZ(x5式中，E表示数学期望Z(x和Z(xh表示空间区域内距离式中，E表示数学期望Z(x和Z(xh表示空间区域内距离h的两个位即对于任何x和h，下式成立：Var[Z(xh)Z(x)]=E{{[Z(xh)Z(x)]E[Z(xh)Z=E{[Z(xh)Z(x)]2}=2Kriging插值法的一般公式为n式中，Z(xi)为位于区域内xi位置的观测值(i1,某个未采样点；Z*(x0表示采样点的观测值，即插值inn为样本总数；x0i为权，且满足下式(n选取i，使Z*(x0)的估计无偏差，并使其方差2小于任意观测值其他任值的在普通Kriging插值中是通过样本半方差求得的(h)C0C1[1.5h/a0.5(h/hahh球状模型(hC0(h)指数模(h)C(1eh/a 其中h为分离距离，C0为块金值，C1为部分基台值，C0C1为基台值，a为2模型求1）算残ZnsZdat61*2RMSPE)Z(x[Z nikRMSE1[Z*k)Zi(xk21*2RMSPE)Z(x[Z nikRMSE1[Z*k)Zi(xk2iki点的估计值，式（8）9）中，Z*(xk和Zi(xk分别表示检测点的Z观测值和Zi对球状模型和指数模型用MATLAB软件的Kriging插值工具箱[5]进行1模2722在高海拔区（200米~300米）重金属浓度普遍比较低。模型II：不同区域重金属的污染指数81模型的二级标准以及当地土壤背景值为参考标1模型的二级标准以及当地土壤背景值为参考标准，如表1所示：重金属元参考标准参考标土壤污染程度的确定采用单因子污染指数法和内梅罗综合污染指数法[6]单因子污染指数法，表达式为PiCi/式中，Pi为土壤中重金属污染物i,(i1,,8)的环境污染指数；Ci为污染i的实测含量(g/gSi为污染物i的参考标准(g/g内梅罗综合污染指数法，表达式为(Ci/Si)2max(Ci/Si)22式中，P为该区域的综合污染指数；(CiSi)2max为土壤污染物中污染指数最大值(Ci/Si)2av为土壤污染指数平均值。单因子污染指数和内梅罗综合污染指数的土壤质量分级标准[7]见表基于污染指数的土壤质量分等污染指P0.7P11P22P3重污尚清土壤作物均受到重污2模型求利用公式（10求出各个采样点的单因子污染指数。将各个采样点单因子污染指数最大值与均值代入公式（11求出各个检测点的八种重金属综合污染指标。与国家环境质量分级标准比较，得5区域的土壤质量，如4示：45公园绿地平均综合污染指污染程度指23132警戒4可知，只有山区土壤污染程度属于安全，土壤质量最好，公园绿地9根据各个采样8种重金属单因子污染指数值，求出每个区8种重金属素污染指数均值，如图3所示3污染程度相对最小；而工业区八种金属的污染指标，除Cr外，均高于其他区注：HgCd浓度单位：ng/g，其他元素单位44可见，生活区、山区、公园绿地区重金属浓度污染指标均低于国家二注：HgCd浓度单位：ng/g，其他元素单位44可见，生活区、山区、公园绿地区重金属浓度污染指标均低于国家二问题二：重金属污染的主要模型I：因子分析模88个变量因1模型的建8个元素的浓度作为8个指标变量，建立因子分析模型r1mFmX1r11F1r12F2rFrFrF 21 222m r8mFmX1,X2X8F1F2i是特殊因子，它与公共因子之间彼此独立。rij是指Xi在公共因Fj上的载线性相关程度。ri1ri2rim说明了指标Xi依赖于各个公共因子的程度r1j,r2jr8j说明了公共因子Fj与各个指标的联系程度。故根据该列绝对值较的因子载荷所对应的指标来解释这个公共因子的实际意义。ri1,ri2mp h ,r的平方和 2222的共同度。rr表示公共因i1j2jjFj对原始指标所提供的方差贡献的总和，用于衡量各个公共因子的相对重要性gpp1pr为公共因2j2gpp1pr为公共因2j2模型求为了消除指标量纲和数量级的影响，对原始指标数据做了标准化处理XiZi标准化后的数据见附录一因子分析的输出结果，如表4可知：5KMOBartlett的检由表5可知，KMO统计量是0.778，且Bartlett’s球面检验值为905.711， 统2用SPSS画出因子分析的碎石图，如图5所示5j特征向重金属元---Bartlett的球形度检 近似卡-----于-----于是，可以建立主成分表达式Y2-0.2X10.281X20.7640.681X+0.282X+0.237128同时得出三个主因子的累积变异量分别44.500%，14.377%，12.064%，70.941%。第一主因子解释了总体变异的44.5%，Cd,Cr,Cu,Ni,Zn和Pb的因子特征值较AsHgAs和Hg的分布受到不同于其他重金属的影响因素。第二主因子解释了总体变异的14.377%Hg12.064%，只As8种重金属元素分为三类，第一类：Cd,Cr,Cu,Ni,ZnPb；第二类HgPb；第三类：As。且这三类重金与土壤背景值相比，相差不大，由此可以分析出该城区内重金属元As总量的5.3问题三：确定污染源的位模型I：污染源局部地区的高斯扩散模 模型的建步骤I：污染程度相关性分任意两个功能区i,j(ij2r(1iP (PP jj 2表示功能区i,jn(PPii ，表示功能区in(PPjj2 模型的建步骤I：污染程度相关性分任意两个功能区i,j(ij2r(1iP (PP jj 2表示功能区i,jn(PPii ，表示功能区in(PPjj2 jnP (PPP (PP j jjr ni 综综或者r(1(PPi)2(PjPji 相关系数r当0rrr0.8rrr显著相关，0.8rrr步骤II：确定污染源的位R为半径作圆，R反映了污染物的传播强度，抽取落在圆内可以导出周围任意一点P(x,y,z)处土壤中污染物的浓度函数为：22C(x,y,z)22yC(x,y,zC(x,y,y2，z200C(x,R为半径作圆，R反映了污染物的传播强度，抽取落在圆内可以导出周围任意一点P(x,y,z)处土壤中污染物的浓度函数为：22C(x,y,z)22yC(x,y,zC(x,y,y2，z200C(x,y,C(x,y,QuC(x,y,19 a12y12zbQ2uyA(x) QC(x,y,z)2 2z1(zH zQ2uy1C(x,y,z)))2y模型求2表相关系数表（交叉处相关系数1121314151生活区工业区交通区公园绿地区4、51、20.33、4、51、2分析显示:81、2的重金属元素与功能区3、4、5重金属元素之间的流动，以及功能区4的污染物1、4、51、20.33、4、51、2分析显示:81、2的重金属元素与功能区3、4、5重金属元素之间的流动，以及功能区4的污染物1、2、311、2区的平均浓度大于3、4、5区，435区，可确定污染物在各功能区的传播流2、4区，即污染源的位置在8污染源类型与坐污染源坐污染源类横坐标纵坐标11919.572670.7022289.273008.7532467.532569.4943591.094425.2452289.273008.7564926.204820.8573400.006029.7284500.007786.4695020.577268.189443.624698.376596.647336.5511049.405445.1113435.309731.1618745.8110158.1621515.2711541.2924682.0512240.784620.622422.7413048.212873.9813498.762332.2415226.549377.346污染6可知，位于地势较高的地区也有污染源分布，分析其坐标，得知其位6污染6可知，位于地势较高的地区也有污染源分布，分析其坐标，得知其位模型II：基于高斯扩散的单目标优化1模型的利用模型一中的高斯函数作为扩散方程1(zH zQ2uy1ay2C(x,y,z) ))2y同样利用模型一中的方法可以确定污染源的个数为K；N为采样点的个数C1,C2,Ck分别表示个污染源的扩散函数；Hi表示K ,Cˆin分别表示由第个i个污染m的扩散函数计算得到的对各个采样点的影响量，则个采样点某元素的总k为CˆimCim表示第m个采样点特定元素的实际值，则建立基于高斯扩散的单标优化模型 ˆJC(2m1Ci(xm,ym,zm C(x,y,z)A)ea bei i(2 m1, ,在限制条件下利用lingo确定参Aiai,bi使得目标函J取得最小值，将2模型求根据污染源个数的确定方法可以确定20个主要污染源，根据模型求得其标与污染物重金属如下表所示污染源类型及坐现偏移量较小，表明模型I可以较为精确地计算污染源的位置。5.4问题四：模型评价与扩展，并分析该城市地质环境的演变模(receptormodel)[13]。主要污染污染源类横坐标纵坐标11783.292699.35污染源类型及坐现偏移量较小，表明模型I可以较为精确地计算污染源的位置。5.4问题四：模型评价与扩展，并分析该城市地质环境的演变模(receptormodel)[13]。主要污染污染源类横坐标纵坐标11783.292699.3522336.133350.3732587.772432.2543558.554391.1253533.133952.8764759.104711.9373349.506023.8684621.007539.7394984.287280.599385.814504.696732.827311.2710867.205486.5513616.159676.0818439.9110102.0821477.1311462.1424417.5312345.394386.812360.8712872.112948.9913596.382344.6215237.279241.672.每个排放源排放物中各元素的含量2.每个排放源排放物中各元素的含量模型的建X(x1,x2xp是P维变量xj为第j个排放源变量，yf(x是一维随变量，表示样本变量为了避免线性回归不能反映实际非线性情况的矛盾，采用一系列岭函数的f(x)G(ZGmxMMm岭函数的mm式中，Gm(Zm为第m个岭函数，其中Zmam1x1am2x2变量，它表示P维向量x在m方向上的投影。m也是某方向的p维向量，并满Pm为第m个岭函数对f(x)贡献的权重系数 1。M为岭函数的个数2的mjmGm(Zm)和M，使下式得到满足L2E[ymGmjmjxj)]2xj对因变量y的权重贡献率。不同排放源的某一元素xj与土壤样本中该元素的采集分析数y相对应，从而实现土壤重金可知采用第三问的扩散模型初步确定污染源的大致地理范围，由第四问模六、模型评本文所建模型优缺点主要体现在以下几个方面缺点：kriging插值依赖于数据的分布，难以普遍适用。七、关于确定重金属污染源的建参考[1]刘光媛，基于GIS和地统计学的农田土壤重金属空间分析与模拟谢小进上海地谢小进上海地区土壤重金属空间分布特征及其成因分析,20100501（24-88Kriging法德参数设置及变异函数模型选择方法，地9（3；2007曾怀恩，黄声享，基于 Nielsen.JacobSøndergaard.TechnicalUniversityofDenmark.2002,8,1。[6]刘衍君，汤庆新,费宇，应用数理统计，北京：科学出版社，2007FergussonJE.Thetraceelement:chemistry,environmentalimpactandhealtheffects[M].PergamonPressOxford,1990。LarssenT,CarmichaelGR.AcidrainandacidificationinChina:Theimportanceofbasecationdeposition[J].EnvironPollut,2000,110:89-102。于瑞莲，胡恭任，土壤中重金属污染源解析研究进展[J]，有色金属，2008附附录标准化后的数-------------------------------------------------------------------------------------附附录标准化后的数--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------附录152213713613743----------------------------------------附录152213713613743----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------附录% loadndtheta=[1010];lob=[1e-11e-1];upb附录% loadndtheta=[1010];lob=[1e-11e-1];upb=[20X=gridsamp([00;3000020000],m);[YXMSE]=predictor(X,dmodel);X1=reshap