2023年普通高校招生统一考试（理数）

2023年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I）

数学（理科）

一、选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的一项。

1、已知集合A二｛小2—2x>0｝,B=｛x|一小VxV小｝，则（）

A、AAB=0B、AUB=RC、B^AD、A±B

2、若复数z满足（3—4i）z=|4+3i|,则z的虚部为（）

44

zxZ\✓

4(B)-(cJ4(-

A>xz5KZXD)5

3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到

该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面

的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）

A、简单随机抽样B、按性别分层抽样C、按学段分层抽样D、系统抽样

22

4、已知双曲线：=一与=1（。〉0,。>0）的离心率为土，则的渐近线方程为

才b~2

11

y=+X

4-2--

5、运行如下程序框图，如果输入的1,3],则输出s属于

丽衿^入矍亲斗^出为球

.[-3,4]」52].[43].[-2,5]

6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容

器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器

的厚度，则球的体积为（）

A、苧城B、审而

7、设等差数列｛斯｝的前“项和为S”，=—2,=0,=3,则=（）

A、3B,4C、5D、6

8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

.16+8乃.8+8万

.16+16%.8+16%

9、设m为正整数，（x+y>"'展开式的二项式系数的最大值为,俯视图

（x+y）2'"i展开式的二项式系数的最大值为，若13=7,则=（）

A、5B、6C、7D、8

10、已知椭圆，+g=l（aM>0）的右焦点为尸（3,0）,过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标

为（1,-1）,则E的方程为)

A、打+*=lB、q+君=1C、芸+太=1

11、已知函数=1一”+2%,“"°,若1I2，则的取值范围是

ln(x+l),x>0

.(-℃,0].(-oo,l].[-2,1].[-2,0]

12、设△ABC”的三边长分别为斯力",C"的面积为S””=1,2,3,…

,,.、.，_.CKIa”bnIa“E”,

若">ci，b\+ci—2«i>an+\—antbn+\—,c«+i-,则()

A、｛£｝为递减数列B、｛SJ为递增数列

C、｛S2,i｝为递增数列，｛&“｝为递减数列

D、｛$2,1｝为递减数列，｛S2“｝为递增数列

二.填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13、己知两个单位向量”，b的夹角为60。，c=ta+(l-t)Z>,若"c=0,则u,

21

14、若数列｛｝的前n项和为S”=-a+-,则数列｛｝的通项公式是=.

3n3

15、设当广。时，函数/(x)=sinA—2cosx取得最大值，则cosO=

16、若函数=(1-/)(/+办+勿的图像关于直线=-2对称，则的最大值是.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、(本小题满分12分)

如图，在AABC中，ZABC=90°,AB=A/3,BC=1,P为△

ABC内一点，ZBPC=90°

⑴若PB=1,求PA；

(2)若NAPB=150°,求tanNPBA

18、(本小题满分12分)

如图，三棱柱ABC-AIBIG中，CA=CB,AB=AA|,ZBAAi=60°.

(I)证明ABlAiC;

(II)若平面ABC_L平面AA|B|B,AB=CB=2,求直线AC与平面BB|C|C所成角的正弦值。

19、(本小题满分12分)

一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品

的件数记为n。如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如

果n=4,再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产

品都不能通过检验。

假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相

互独立

(1)求这批产品通过检验的概率；

(2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需

的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望。

20.(本小题满分12分)

已知圆：(x+l)2+y2=i,圆：&-1)2+卜2=9,动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线C.

(I)求C的方程；

(II)是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

21.(本小题满分共12分)

己知函数+奴+8，=e'(cx+"),若曲线y=/(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有

相同的切线y=4x+2

(I)求，，，的值；(H)若》一2时，WZg(x),求的取值范围。

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意：只能做所选定

C

的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂

黑。

(22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B,点C在

圆上，NABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D。

(I)证明：DB=DC；

(II)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求4BCF外接圆的半径。

x=4+5cos/,一

(23)(本小题10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C,的参数方程为《（为参

3=5+5sinf

数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为夕=2sin。。

(I)把Ci的参数方程化为极坐标方程；

(II)求Ci与C2交点的极坐标(P》0,0W。＜2"

(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数=|2x—l|+|2x+a|,=.

(I)当=2时，求不等式〈的解集；

(II)设＞-1,且当3,L)时，二求的取值范围.

22

参考答案及评分标准

一、选择题

1、【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题.

【解析】A=(-,0)U(2,+),，AUB=R，故选B.

2、【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.

|4+3i|_"2+32(3+旬_34.4

【解析】由题知=3-4z-(3-4z)(3+4z)-55/故z的虚部为一，故选D.

5

3、【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.

【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学

段分层抽样，故选C.

4、【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.

,c5c~ci"+b~.•.2=±_L,.•.的渐近线方程为y=±_Lx,

【解析】由题知，一二—,B|J—=—=------

a24a2a2a24a22

故选.

5、【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.

【解析】有题意知，当”[—1,1)时,5=3/G[-3,3),当时，s=4f—产w[3,4],

二输出s属于[-3,4],故选.

6、【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题.

【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4,球心到截面

圆的距离为R-2,WiJ/?2=(7?-2)2+42,解得R=5,...球的体积为现巨普故

33

选A.

7、【命题意图】本题主要考查等差数列的前n项和公式及通项公式，考查方程思想,

是容易题.

【解析】有题意知=皿4,勺)=0,；.=—=一(-)=一2,

2

=-=3,.•.公差=-=1,，3==—2+m，=5,故选C.

8、【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式,

是中档题.

【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4,上边

放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为1》X22X4+4X2X2

2

=16+8%，故选.

9、【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程

思想，是容易题.

..c口口13x(2"/)!7x(2m+l)!

【解析】由题知=,=,..13=7,即---------=------------，俯视图

m\m\(m+l)!^!

解得二6,故选B.

10、【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题，是中档题.

【解析】设4%,必),5(>2，丫2)，则石+“2=2,凹+为二―2,

22A*】

五+2L=1©②

/h2

①一②得(内+/)(%-々)+(x+%)(y-为)=0

a2b2

••.=小/=一丝五土皂=匕，X=^-=-,：.^=~,又9=="—〃，解得=9,=18,.•.椭圆方

a

-x2Q(y+%)3-12a~2

程为---F2-=1,故选D.

189

11、【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题。

—2x,x<0./口[x>0

【解析】・・,||=〈，，由||2得，\9且《，

ln(x+l),x>0[x-2x>ax[ln(x+l)>ax

x<0

由,2可得。21一2,则2-2,排除A,B,

x-2x>ax

当二1时，易证ln(x+l)<x对恒成立，故二1不适合，排除C,故选D.

12、【解析】B

二.填空题：

13、【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题.

11

(解析]-b^[ta+(l-t)b]=ta^b+(l-t)b~0=—t-^-\-t-l——1-0,解得二.

22

14、【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第n项与其前n项和的关系，是容易题.

21

【解析】当=1时，==—〃]+—,解得=1,

313

212I22

当22时，=S-Sr=_uH——(—uH—)=_ci—〃],即=-2a],

〃〃।3〃33〃—xi33"31n*

；.{}是首项为1,公比为一2的等比数列，.♦.=(—2尸.

15、【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.

【解析】•・•二sinx-2cosx二石(去sinx-^^cosx)

令二^~,sin/—-2,,则二逐($吊了<：050+3抽℃0§工)二逐5抽(工+9),

177/

当=2k兀+],kez,即=2公r+万一9次£z时，取最大值，此时=2Z乃+5-9,%£z,

八，兀、275

=cos(2&乃+--(p}~——.

16、【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题.

【解析】由图像关于直线=-2对称，则

0=/(-1)=/(-3)=[1-(-3)2][(-3)2-3a+b],

0=/(I)=/(-5)=L1-(-5)2][(-5)2-5a+h],解得=8,=15,

.\=(1-X2)(X2+8X+15),

八%)=-2x(x2+8x+15)+(1-Y)(2%+8)=-4(/+6/+7x-2)

=-4(x+2)(x+2+逐)(x+2—逐)

当e(-8,_2-白)u(-2,-2+后时,f'(x)>0,

,

当e(-2-V5,-2)U(一2+石,+8)时，/(%)<o,

.•.在(-8,-2-75)单调递增，在(-2-V5,-2)单调递减，在(-2,-2+V5)单调递增，在

(-2+>/5,+°°)单调递减，故当=-2-和=-2+时取极大值，/(-2-=/(-2+=16.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）

【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角

和与差公式，是容易题.

【解析】（I）由已知得，/PBC=,ZPBA=30°,在APBA中，由

117p-j

余弦定理得=3+上一2xVjx-cos30°=一，APA=—；

4242

（H）设/PBA=,由已知得，PB=,在4PBA中，由正弦定理得，——=一独？一，化简得,

sin150°sin（30°-a）

Gcosa=4sina,

tancc——,tanNPBA=—

44

18、（本小题满分12分）

【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质及线

面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推论证能力，是容易题.

【解析】（I）取AB中点E,连结CE,,,

•.•AB=,AA44是正三角形,

/.±AB,VCA=CB,.\CE±AB,VC£nAI£,=E,；.AB_L面,

.,.AB±；6分

z

(II)由(I)知EC±AB,±AB,

又：面ABC_L面,面ABCC面=AB,

B\

面,AECl,x

y

A4

AEA,EC,两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，

II为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系。-肛z,

有题设知A(1,O,O),(0,,0),£(0,0,)通(一1,0,0),贝1卜(1,0,),=有一1,0,),=(0,一，),9

分

设=(x,y,z)是平面CB与G的法向量，

n*BC=0[x+>j3z=0

则《，即《广可取=(,1,-1),

n•BBt=0[x+J3y=0

Vio

..cos(n,A.C)--------：L—

'/1〃114cl丁

...直线AC与平面BBiGC所成角的正弦值为学.……12分

19、(本小题满分12分)

【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为

事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品

通过检验为事件E,根据题意有E=(AB)U(CD),且AB与CD互斥，

(II)X的可能取值为400,500,800,并且

P(X=400)=l-C：(g)3xg—(g)4=E，P(X=500)=\,P(X=8OO)=C：(g)3xg=；,

/.X的分布列为

X400500800

111

P

16164

...10分

EX=400X—+500X—+800X...12分

16164

(20)(本小题满分12分)

【解析】由已知得圆的圆心为(-1,0)，半径=1,圆的圆心为(1,0),半径=3.

设动圆的圆心为(，)，半径为R.

(I)••,圆与圆外切且与圆内切，.••|PM|+|PN|=(R+G+(与-R)F+[=4,

由椭圆的定义可知，曲线C是以M,N为左右焦点，场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程

(II)对于曲线C上任意一点(,),由于|PM|-|PN|=2R-2W2,，RW2,

当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R=2.

.•.当圆P的半径最长时，其方程为(x—2)2+/=4,

当的倾斜角为时，则与轴重合，可得|AB|三

当的倾斜角不为时，由¥1?知不平行轴，设与轴的交点为Q,则1型=内,可求得Q(-4,0),.•.设：

\QM\

y=&(x+4),由于圆M相切得/③右=1,解得6=±也.

Jl+产4

当二乎时，将>=¥》+夜代入:+?=1瓮*一2)并整理得7f+8x—8=0,解得J，5史,

IAB|-\/1+k~|%]—x,|=.

当=一乎时，由图形的对称性可知|AB|=更，

1Q

综上,|AB|=一或上B|=.

7

(21)(本小题满分共12分)

【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，

考查运算求解能力及应用意识,是中档题.

【解析】(I)由已知得/(0)=2,g(0)=2J'(0)=4,g'(0)=4,

ffijf'M-2x+b,-ex(cx+d+c),：.=4,-2,-2,=2；...4分

(H)由(I)知，f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e\x+l),

设函数=Ag(x)-/(x)=2左eXx+D-x?-4x-2(x>-2),

F\x)-2kex(x+2)-2x-4-2(x+2)(ke'-1),

有题设可得20,即，

令F'(x)=0得，=—In左，=一2,

(1)若l«A<e2,则一2<W0,.•.当]€(—2,玉)时，V0,当xe(x，+oo)时，>0,即在(一2,西)单调

递减，在(知+8)单调递增，故在=取最小值F(xJ,而尸(%)=2占+2-%；一4%一2=—%(％+2)20,

当》一2时，20,即W淳(无)恒成立,

(2)若％=e?,则F(x)=2/(x+2)(ex-e2),

当》一2时，F'(x)》0,...在(-2,+8)单调递增，而"-2)=0,

当》一2时,20,即当炮(%)恒成立,

⑶若女〉e?,则尸(—2)=—2呢-2+2=-2e-2(k-«?2)<0,

当》一2时，WZg（x）不可能恒成立，

综上所述，的取值范围为[1,].

（22）（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲

【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识，是容易题.

【解析】（I）连结DE,交BC与点G

由弦切角定理得，ZABF=ZBCE,VZABE=ZCBE,.,.ZCBE=

BE=CE,

又•.•DB_LBE,；.DE是直径，ZDCE=,由勾股定理可得DB=DC.

.•.BG=3.

(II)由(I)知，ZCDE-ZBDE,BD=DC,故DG是BC的中垂线,