2.2基本不等式 教学设计(2019)必修一

一、内容和内容解析本单元主要学习基本不等式的定义、几何解释、证明方法与应用.2．内容解析相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础．基本不等2“等圆中，弦长不大于直径”等，都是基本不等式的直观理解.基本不等式的证明或推导方法很多，上面的分析也是基本不等式证明方法的来源．利用分析法，从数量关系的角度，利用不等式的性质来推导基本不等式；从平面几何图形的角度，借助几何直观，通过数形结合来探究不等式的几何解释；从函数的角度，通过构造函数，利用函数性质来证明基本不等式；等等．这些方法也是代数证明和推导的典型方法.基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推广至n个正数的几何平均值不大于算术平均值．基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值．同时，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法．因此，基本不等式的内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养.基于以上分析，确定本节课的教学重点：基本不等式的定义、几何解释和证明方法，用基本不等式解决简单的最值问题.二、目标和目标解析（1）理解基本不等式，发展逻辑推理素养.（2）结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问数学建模素养.bb几何平均数”；会利用不等式的性质证明基本不等式，能说明基本不等式的几何意义.能用基本不等式模型识别和理解实际问题，能用基本不等式求最大值或最小值；在解决具体问题的过程中，体会基本不等式的作用，提升数学运算、数学建模等核心素养.三、教学问题诊断分析由于学生缺少代数式证明的经验，所以基本不等式的证明是本节课的一个难点．基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解，所以这也是本节课的一个难点．在进行基本不等式的集合解释的教学时，为了帮助学生直观地观察图形中几何元素之间的动态关系，并将其转化为代数表示，可以利用信息技术制作一个动态图形，以帮助学生直观理解.此外，在利用基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至出现没有确认和或积为定值就求“最值”等问题，这也是学生思维不够严谨的表现，因此基本不等式的证明和利用基本不等式求最值也是本节课的难点.四、培养数学学科素养（1）数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程.（2）逻辑推理：基本不等式的证明.（3）数学运算：利用基本不等式求最值.（4）数据分析：利用基本不等式解決实际问题.（5）数学建模：利用函数的思想和基本不等式解決实际问题，提升学生的逻辑推理能力.五、教学过程设计（一）基本不等式的定义导入语：我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用．那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的作用呢？下面就来研究这个问题.问题1：在上一节我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式，请同学回忆是什么不等号成立.变形为ab≤a+b，当且仅当a=b时22ab叫做a，b的几何平均数．基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.ab≤a+b的定义，同时在两个不等式之间建立联系．通过分析基本不等式的代数结构特点，2得到基本不等式的代数解释，初步加深对基本不等式的认识.（二）基本不等式的证明问题2：上节课我们看到，证明不等关系，还可以运用不等式性质，你能否利用不等式的师生活动：学生可能根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较证明上式．肯定并追问，是否还有其它证法？由于没有已知条件，学生不知从何入手.追问1：你能否寻找一下此不等式成立的充分条件？也就是要证ab≤2么，从而形成证明思路.来，就能用不等式的性质直接推出基本不等式了.师生活动：学生讨论后回答．教师总结：分析法是一种“执果索因”的证明方法证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.师生活动：学生思考后回答．教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证……只要证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然成立”.立．教师指出基本不等式的定义要求a，b均为正数.设计意图：根据不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略.（三）基本不等式的几何解释直于AB的弦DE，连接AD，BD．你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？师生活动：学生思考后回答，教师引导学生总结：从条件和基本不等式出发，发径长等于a+b，CD=ab，教师操作课件，也就是基本不等式可以利用“圆中直径不小于任2意一条弦”得到解释．当且仅当弦DE过圆心时，二者相等.设计意图：让学生自己寻找基本不等式的几何解释是非常困难的，因此这里给出了几何图2的大小关系的规律，从而获得基本不等式的几何解释.（四）基本不等式的简单应用xx0追问2：本題中要求最小值的代数式有什么结构特点？是否可以利用基本不等式求x+-的xx--x1x的算术平均数的2倍，而后者的几何平均数x1x是一个定值，所以可以利用基本不等式求解．教师展示教科书第45页例1的解答过程.x立”?x代数式的最小值必须是代数式能取到的值．请同学们想一想，当y＜2时x+≥y成立吗？这师生活动：学生讨论后回答．教师总结：代数式能转化为两个正数的和或积的形的和或者积是一个定值，不等式中的等号能取到，通俗的说，就是“一正、二定、三相等”强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范．同时，在本题之后，引导学生总结能应用基本不等式求最值的代数式满足的条件.（1）如果积xy等于定值P那么当x=y时，和x+y有最小值2P；师生活动：师生一起分析后，由学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充完善.值时，求它们的和的最小值或者“两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，求它们的积的最大值”的问题，能够用基本不等式解決.时借此题的题干指出用基本不等式能够解决的两类问题，为用基本不等式解决实际问题创造了条件.（五）利用不等式解决生活问题导入语：运用数学知识解決生活中的最值问题，也就是最优化的问题，特别能体现数学应用价值．基本不等式是求最值的工具，特别是对求代数式的最值问题有重要的意义.例3:（1）用篱笆围一个面积为100m2的（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积追问1：前面我们总结了能用基本不等式解决的两类最值问题，本例的两个问题分别属于多大时周长最短，实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值的问题：第（2）题可以转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大，实际上是已知两个正数的和为定值，求当这两个数取什么值时，它们的积有最大值的问题.追问2：例2给出了用基本不等式解决问题的数学模型：4化为数学模型（2）求解.学生进一步回答解答过程，教师予以规范，并板书.设计意图：本例是典型而较简单的能够用基本不等式求解的问题．通过本例的教学，可以帮助学生理解如何用基本不等式模型理解和识别实际问题，从而用基本不等式解決问题，进一步发展学生的模型思想.（1）水池的总造价由什么来确定？（答案：由池底的边长确定）（2）如何求水池的总造价？（答案：设贮水池池底相邻两条边的边长分别为xm，ym，（3）此问题可以用基本不等式的数学模型求解吗？为什么？(答案：本例实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值，以及最小值是多少，可以转化为数学模型（1）解决．)学生回答解答过程，教师板书.设计意图：本题的背景更加复杂，需引导学生简化问题，再用基本不等式模型求解．本例在例3的基础上，进一步培养学生用数学的眼光看问题的能力，提升他们的数学模型素养.（六）归纳小结教师引导学生回顾本单元的内容，并回答下面的问题