2023年中考九年级数学高频考点 训练 -圆的切线的证明

2023年中考九年级数学高频考点专题训练一圆的切线的证明

一、综合题

1.如图，4B是。0的直径，C是。0上一点，。是我的中点，E为OD延长线上一

点，且^CAE=2“，AC与BD交于点H,与OE交于点F.

(1)求证：4E是。。的切线；

(2)若DH=9,tanC=,，求直径AB的长.

2.如图，已知△ABC中，AB=AC,。为BC的中点，AB与。O相切于点D.

(1)求证：AC是。O的切线;

(2)若NB=33。，。。的半径为1,求BD的长.(结果精确到0.01)

3.如图，在△ABC中，ZC=90°,D、F是AB边上的两点，以DF为直径的。O与BC相交于点

E,连接EF,过F作FG_LBC于点G,其中NOFE=④ZA.

(2)若sinB=|,。。的半径为r,求△EHG的面积(用含r的代数式表示).

4.如图，在半径为5cm的00中，AB是。。的直径，CD是过。0上点C的直线，且/D1

DC于点D,AC平分^BAD,E是BC的中点，0E=3cm.

(1)求证：CD是O。的切线；

(2)求AD的长，

5.如图，AB是。O的直径，点C在。0上，E01AB,垂足为0,E0交AC于E,过点C作。0

的切线CD交AB的延长线于点D.

(1)求证：ZAEO+ZBCD=90°；

(2)若AC=CD=3,求。O的半径。

6.如图，AB是半圆0的直径，C,D是半圆0上的两点，弧AC=MBD,AE与弦CD的延长线垂

(1)求证：AE与半圆0相切；

(2)若DE=2,AE=2V3,求图中阴影部分的面积

7.如图，A3为。。的直径，点C在。。外，/A3C的平分线与。。交于点。，ZC=90°.

D,

(1)求证：CO是。O的切线；

(2)若/CDB=60。，AB=18,求AD的长.

8.已知在RtABC中，Z.ABC=90°,Z.A=32°.

图①

(1)如图①，点B、C在。。上，边AB、AC分别交。0于D、E两点，点B是弧CD

的中点，求^ABE的度数；

(2)如图②，以点B为圆心的圆与边AC相切于点F,与BC交于点G,求乙GFC的度数.

9.已知二次函数y=f+(2m-2)x+m2-2m-3(小是常数)的图象与x轴交于A,B两点(点A在

点8的左边).

环

5-

4-

3-

2-

1-

-5-4-3-2-1012345)X

-1-

-2

-3

-4

-5

(1)如果二次函数的图象经过原点.

①求m的值；

②若m<0,点C是一次函数y=-x+b(匕>0)图象上的一点，且/4C3=90。，求匕的取值范

围；

(2)当-3<x<2时，函数的最大值为5,求m的值.

10.已知：如图，在AABC中，=,D是4c中点，BE平分Z.ABD交AC于点E,点

O是4B上一点，。。过B,E两点，交BD于点G,交AB于点F.

(2)当BO=6,sinC=5时，求。。的半径.

11.如图，点M在矩形ABCD的边AD延长线上，以AM为直径作。O交AC于点F,点E在

CD边上，且EC=EF.

(1)求证：EF是。O的切线；

(2)若cos/CAD=|,AF=6,MD=2,求FC的长.

12.如图，AB是。O的直径，点C是。O上一点，AC平分NDAB,直线DC与AB的延长线相交

于点P,AD与PC延长线垂直，垂足为点D,CE平分/ACB,交AB于点F,交。O于点E.

D

C

A□F/]BP

(1)求证：PC与。O相切；

(2)求证：PC=PF；

(3)若AC=8,tanZABC=1,求线段BE的长.

13.如图，△ABC是直角三角形，NACB=90。.

(1)尺规作图：作。C,使它与AB相切于点D,与AC相交于点E,保留作图痕迹，不写作

法，请标明字母.

(2)在你按(1)中要求所作的图中，若BC=3,ZA=30°,求谛的长.

14.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F,交△ABC的外接圆。O于点D,连

接BD,过点D作直线DM,使NBDM=NDAC.

(1)求证：直线DM是。。的切线；

(2)求证：DE2=DF«DA.

15.如图，直径为1()的半圆O,tan/DBC=挤，NBCD的平分线交OO于EE为CF延长线上一

点，且NEBF=/GBF.

ED

G

B7)c

(1)求证：BE为。O切线；

(2)求证:BG2=FG«CE；

(3)求OG的值.

16.在屏幕上有如下内容：

如图，△ABC内接于。O,直径AB的长为2,过点C的切线交AB的题长线于点D.张老师要求

添加条件后，编制一道题目，并解答。

(1)在屏幕内容中添加条件ND=30。，求AD的长，请你解答。

(2)以下是小明、小思的对话：

小明:我加的条件是BD=1,就可以求出AD的长。

小聪:你这样太简单了，我加的是/A=30。，连结0C,就可证明△ACB与△DCO全等。

参考此对话:在屏幕内容中添加条件，编制一道题(可以添线、添字母)，并解答。

答案解析部分

L【答案】(1)证明：・・・。是AC的中点,

：.0E1AC,

：.LAFE=90°,

：.LE+Z-EAF=90°,

9：Z.AOE=2zC,Z.CAE=2zC,

：.^CAE=Z.AOE,

AzF4-Z-AOE=90°,

：.^EAO=90°,

：.AE是OO的切线

(2)解：VzC=乙B,

;OO=OB,

:♦乙B=ZJJDB,

•\Z-ODB=Z-C,

HF3

***tanC=tanz.ODB==彳，

・••设HF=3x,DF=4x,

：.DH=5x=9,

X=F，

:・DF=

VzC=Z.FDH,乙DFH=(CFD,

:・>DFHs〉CFD,

.DF_FH

^~CF~DF'

CF=?

设04=0。=%,

'：AF2+OF2=OA2,

解得：%=10,

：.OA=10,

工直径AB的长为20.

2.【答案】(1)证明：过点O作OELAC于点E,连结OD,OA,

「AB与。。相切于点D,

AABIOD,

:△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，

.•.AO是NBAC的平分线，

二OE=OD,即OE是。O的半径，

VAC经过。O的半径OE的外端点且垂直于OE,

...AC是。O的切线

CD1

(2)解：在RtaBDO中，BD=而还=----=1.54.

tsn33

AZBGF=ZC=90°,

・・・FG〃AC,

/.ZOFG=ZA,

/.ZOFE=1ZOFG,

JZOFE=ZEFG,

VOE=OF,

.*.ZOFE=ZOEF,

，/OEF=/EFG,

，OE〃FG,

AOEIBC,

.••BC是。O的切线

（2）解：•.•在R3OBE中，sinB=|,。0的半径为r,

OB=1r,BE=[r,

.*.BF=OB+OF=1r,

.*.FG=BF«sinB=|r,

二BG=y/BF2-FG2=||r,

.\EG=BG-BE=1r,

；.SAFGE=jEG«FG=1|r2,EG：FG=1：2,

VBC是切线，

.*.ZGEH=ZEFG,

NEGH=NFGE,

/.△EGH^AFGE,

•S^EGH_/EG\2-1

,,晨麻一（FG）-49

••SAEHG=-TSAFGE=1*2

425

4.【答案】（1）证明：如图，连接OC,

VOA=OC,

AZOAC=ZOCA,

〈AC平分NDAO,

，NDAC=NOAC,

...NDAC=NOCA,

J.AD//OC,

VAD±DC,

.-.OC±DC,

又：oc是。。的半径，

.•.CD是。O的切线

(2)解：如图，连接BC,OE,

；E是BC的中点，0E=3cm,

••AC=6CTM,

：AB是。。的直径，AD±DC,半径（M=5cm,

.•.ZADC=ZACB=90°,AB=10cm,

又•.•NDAC=NCAB,

/.△ADCs/xACB,

则迎=d£,

人JACAB

•AC26218

•小0=祠=而=可

5.【答案】(1)证明：连接OC,

•；AB是。。的直径，

/.ZACB=90°,

ZA+ZABC=90°,

VEO±AB

.*.ZA+ZAEO=90o

.•.ZAEO=ZABC

VOC=OB

AZABC=ZOCB

/.ZAEO=ZOCB

VCD与。O相切，

AZOCD=90°,ZAEO+ZBCD=9()°.

(2)解：VOA=OC,

/.ZA=ZACO

VAC=CD,

・•・ZA=ZD

・：ZA+ZD+ZACO+ZOCD=180°.

A3ZA+90°=180°

/.ZA=30°,

VAC=3,

・・・AB=南苏-7T=2V3

~2

・・・。0半径为V3.

6.【答案】(1)证明：连接AC,

E2/

二,AG=BD

・・・Af-CD="一CB,

即KD=KC,

:，Z-CAB=Z.ACD,

・•・AB||CE,

••AE1CD,

・•・Z-AEC=90°,

・・・Z,EAB=90%

•.AELAB,

0A为半径,

•••AE与半圆0相切;

(2)解：连接AD,取AD的中点E连接EF、0D,

RtAADE中,UED=90。，AE=2^3,DE=2,

AD=y]AE2+DE2=4,

：F是AD的中点，

：.EF=^AC=2,

，ED=EF=DF=2,

/.△DEF是等边三角形，

二NEDA=60。，

由(1)知：AB//CF

，/DAO=/EDA=60°,

VOA=OD,

△AOD是等边三角形，

.•.ZAOD=60°,OA=AD=4,

2

__1r607rx4_r87r

S阴影=S四边形AODE_S扇形OAD=2X(2+4)x2V32gQ=6V3-

7.【答案】（1）证明：连接OD,

：BD平分4ABC,

・•・Z-CBD=Z.ABD

•・•OB=OD

・•・Z-OBD=Z.ODB,

:.Z.ODB=Z-CBD.

vZC=90°,

・・・乙CBD+乙CDB=90°,

・・・(ODB+Z.CDB=90°,

即Z.ODC=90°,

・•・OD1DC,

・・・CD是。。的切线；

(2)解：vZ.CDB=60°,

・・・乙CBD=90°-乙CDB=30°

・・・^ABD=乙CBD=30°,

・・・^AOD=2^ABD=60°.

vAB=18,

••.AO=^AB=9,

竹607r9

他=-180-=o3兀-

8.【答案】(1)解：连接DC,

A

图①

VZDBC=90°,

・・・DC是。O的直径，

•・•点B是弧CD的中点，

.\ZBCD=ZBDC=45°,

在RQABC中，ZABC=90°,ZA=32°,

・・・NACB=90O-32°=58°,

AZACD=ZACB-ZBCD=58°-45°=13°,

故NABE=NACD=13。；

ABF±AC,

.•.ZBFA=ZBFC=90°,

VZBAC=32°,

AZABF=58°,

.\ZCBF=90o-58°=32o,

VBF=BG,

AZBFG=ZBGF=74°,

・・・NGFC=90。-NBFG=90。-74°=16°.

9.【答案】(1)解：①・・,二次函数的图象经过原点，Am2-2m-3=0,

解得：rm=-1,ni2=3.

@Vm<0,

.,.m=-1.

把m=-1代入y=x2+(2m-2)x+m2-2m-3中，得：y=x2-4x.

当y=x2-4x=0时，xi=0,X2=4,

AAB=4.

以AB为直径作。P,根据直径所对的圆周角为直角，可知：当一次函数y=-x+b(b>0)的图象与

圆相交时，可得NACB=90。.

一次函数y=-x+b(b>0)的图象与。P相切于点C,与y轴交于点E,与x轴交于点F,连接

PC,易得NPCF=90°.

当x=0时，y=-x+b=b,

.•.点E(0,b)；

当丫=-*+5=0时，x=b,

.•.点F(b,0).

，AE=AF=b,

.,.ZPFC=45°.

又•.•NPCF=90°,

...△PCF为等腰直角三角形，

，PF=V2PC=2V2,

.\b=AF=2+2V2.

Ab的取值范围为0VbW2+2V2

(2)解：*.,y=x2+(2m-2)x+m2-2m-3=(x+m-1)2-4,

抛物线的对称轴为x=l-m.

①当1-mW-0.5,即m*.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x=2时，函数最大值为5,

二(2+m-1)2-4=5,

解得：m=2或m=-4(舍去)；

②当l-m>-0.5,即m<1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x=-3时，函数最大值为

5,

(-3+m-1)2-4=5,

解得：m=l或m=7(舍去).

综上所述，m=2或m=l.

10.【答案】(1)证明：连接OE，

：.BDLAC,

■:BE平分Z.ABD,：.z.ABE=Z.DBE,

VOB=OE,:•乙OBE=(OEB,

:•(OEB=(DBE,

：.OE//BD,

•:BDLAC,

JOEIAC,

VOF为OO半径，

・・・4C与O。相切.

(2)解：VBD=6,sinC=|,BDLAC,

：・BC=10,：.AB=BC=10,

设O。的半径为r,则AO=10-r,

9：OE//BD,•••△AOE〜△ABD

・OE_AO・r_10—r

9tBD=AB'••不二F-

・15

・・r=彳,

答：OO的半径是竽.

11.【答案】(1)解：证明：连接OF,

・・•在矩形ABCD中，NADC=90。,

JZCAD+ZDCA=90°

,?EC=EF,ZEFC=ZDCA,

,?OF=OA,ZOFA=ZCAD,

.*.ZEFC+ZOFA=90°,

/.ZOFE=90°,即EF_LOF,

又OF是。O半径，.•.EF是。O的切线；

(2)连接MF,：AM是直径，.,.NAFM=90°,

在RSAMF中，cosZCAD=?

AM5

.♦.AF=6,2="/.AM=10,

AM5

VMD=2,，AD=8,

在RtAACD中,cosZCAD=部=|，

•••前8一_E3'・•・ACJ--4y0'

.•.FC=岑-6=等

12.【答案】(1)证明：连接OC,

〈AC平分NDAB,

AZDAC=ZCAB,

VOA=OC,

/.ZOCA=ZCAB,

/.ZDAC=ZOCA,

・・・OC〃AD,又AD_LPD,

AOC1PD,

・・・PC与。O相切;

(2)证明：:CE平分NACB,

AZACE=ZBCE,

・••弧AE二弧BE,

AZABE=ZECB,

VOC=OB,

/.ZOCB=ZOBC,

・・，AB是。。的直径，

AZACB=90°,

AZCAB+ZABC=90°,

VZBCP+ZOCB=90°,

AZBCP=ZBAC,

VZBAC=ZBEC,

AZBCP=ZBEC,

・.,NPFGNBEC+NABE,NPCF=NECB+NBCP,

JZPFC=ZPCF,

・・・PC=PF；

(3)解：连接AE,

在RSACB中，tanZABC=母,AC=8,

・・・BO6,

由勾股定理得，AB=JAC?+BC?=幅+62=io,

・・,弧AE二弧BE,

AAE=BE,

则△AEB为等腰直角三角形，

，BE=号AB=50.

13.【答案】（1）解：如图，OC为所求

・.・G）C切AB于D,

ACD±AB,

JZADC=90°,

・•・ZDCE=90°-ZA=90°-30°=60°,

.\ZBCD=90o-ZACD=30°,

在RtABCD中，VcosZBCD=S§,

DC

・・・CD=3cos300二幽

2

...谛的长=60底竽=,7r.

1802

14•【答案】（1）证明：如图I,连接DO,并延长交。O于点G,连接BG；

•.•点£是4ABC的内心,

・・・AD平分NBAC,

AZBAD=ZDAC.

VZG=ZBAD,

・・・NMDB=NG,

・「DG为。O的直径，

/.ZGBD=90°,

.\ZG+ZBDG=90°.

.,.ZMDB+ZBDG=90°.

，直线DM是。O的切线；

(2)证明：如图2,连接BE.

MD

图2

•..点£是4AB