2023年全国高考数学真题重组模拟卷（三）

绝密★启用前

冲刺2023年高考数学真题重组卷03

新高考地区专用（原卷版）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.（2021年高考全国甲卷）设集合M={H0<X<4},N=]X、4X451,则MCN=（）

A.卜gC

C.{x|4<x<5|D.1x|0<x<5}

2.（2022年高考全国甲卷）若z=-l+J5i,则=7=（）

ZZ—1

A.一1+万B.T-后C.®D.

3333

3.（2022年高考全国乙卷）设尸为抛物线C:=4x的焦点,点A在C上，点8（3,0）,若悄耳=怛耳,则眼=

（）

A.2B.2&C.3D.3亚

4.（2020年高考全国新课标III卷）已知向量。，6满足1。1=5,|切=6,〃/=-6,则cos<a,a+6>=（）

A.B.C』D.史

35353535

5.（2022高考全国甲卷）从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张

卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）

A.-B.-C.-D.|

5353

6.（2022年高考全国H卷）^sin（a+/?）+cos（«+^）=272cos|a+|siny3,则（）

A.tan(«-/?)=lB.tan(a+/7)=l

C.tan(a-£)=-lD.tan(a+⑶=-1

7.(2021年高考天津卷)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为亍，

两个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为()

A.3万B.47rC.9%D.124

8.(2022年高考全国II卷)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(27)=5,g(x)-/(x-4)=7.若

22

y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4,则()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.(2021年高考全国I卷)有一组样本数据巧，巧，…，x„,由这组数据得到新样本数据X，%，…，得，

其中y=a+c(i=l,2,…,〃),c为非零常数，则()

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

10.(2022年高考全国II卷)已知函数/(x)=sin(2x+c)(0＜。(兀)的图像关于点序中心对称，则()

A.在区间(0,葛)单调递减

B.在区间［一五'，［万一J有两个极值点

7兀

C.直线x是曲线y=f(x)的对称轴

D.直线丫=亭-犬是曲线y=f(x)的切线

11.(2021年高考全国II卷)如图，在正方体中，。为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正方体的

顶点.则满足的是()

12.(2022年高考全国I卷)已知函数/5)及其导函数/(x)的定义域均为R,记g(x)=尸(x),若/仁-2x

g(2+x)均为偶函数，则()

A./(0)=0B.g(T)=。C./(-D=/(4)D.g(—l)=g(2)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(2022年高考天津卷)的展开式中的常数项为.

11Q

14-(2必年高考天津卷)已知，，＞。，心。,且而“则五+五+R的最小值为——

15.(2018年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线/：y=2x上在第一象限内的点，8(5,0),以

A8为直径的圆C与直线/交于另一点£＞.若A8-CD=0,则点A的横坐标为

丫2JA

⑹(2。22年高考浙江卷)已知双曲线/-%=S。，…)的左焦点为凡过尸且斜率为元的直线交双曲

线于点出不凶)，交双曲线的渐近线于点见孙片)且为＜。＜々.若|FB|=3|E4|,则双曲线的离心率是

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2V

17.(2022年高考全国甲卷)记S“为数列｛为｝的前"项和.已知一+〃=2a“+l.

n

(1)证明：｛%｝是等差数列；

⑵若田,%,生成等比数列，求sa的最小值.

18.(2020年高考全国I卷)(2022•全国.统考高考真题)记_ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,

,cosAsin28

己知-------=---------.

1+sinA1+cos2B

27r

⑴若c=§,求B；

2,o

（2）求的最小值.

c

19.（2022年高考全国H卷）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到

如下的样本数据的频率分布直方图：

M频率/组距

0.023--------------------------—

0.020---------------------------------------

0.017---------------------------------------------

0.012------------——

0.006-----------------------------------------------------

OO2

OO1

--------------------------------------------------------->.

102030405060708090年龄/岁

（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70）的概率；

（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50）的人口占该地区总人口的16%.从该

地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50）,求此人患这种疾病的概率.（以样本数据中患者的年龄位

于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到）.

20.（2022年高考全国I卷）如图，直三棱柱ABC-A4G的体积为4,\BC的面积为2人.

(I)求A到平面A8C的距离;

(2)设。为4c的中点，肌=48,平面ABC,平面A8SA，求二面角A-8O-C的正弦值.

22

21.(2021年高考北京卷)已知椭圆E:二+乌=1(。>6>0)一个顶点A。-2),以椭圆E的四个顶点为顶

a~b-

点的四边形面积为4石.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点P(0,-3)的直线/斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线48,AC分别与直线交

y=-3交于点N,当IPM+IPMW15时，求我的取值范围.

22.(2022年高考浙江卷)设函数/(x)=£+lnx(x>0).

2x

(1)求/⑶的单调区间;

(2)已知a,6eR,曲线y=f(x)上不同的三点a,/(为)),(々,〃々))，(不，〃占))处的切线都经过点(。向.证

明：

(i)若”>e,则

2e-a112e-a

(ii)右则/京<7+京<1高•

(注：e=2.71828是自然对数的底数)

冲刺2023年高考数学真题重组卷03

新高考地区专用(参考答案)

123456789101112

BCBDCCBDCDADBCBC

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.B【进解析】根据交集定义运算即可

【详解】因为〃={x|0<x<4},N={x|g4x45},所以M=

故选：B.

【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.

2.C【解析】由共规复数的概念及复数的运算即可得解.

【详解】z=-l->^i,zz=(-l+^i)(-l-^i)=l+3=4.

z—1+^3i1>J3.

-----------=------------------=---------1--------1

zz-1333

故选：C

3.B【解析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即

可得到答案.

【详解】由题意得,尸。,0),则同百=忸/|=2,

即点A到准线x=-l的距离为2,所以点A的横坐标为-1+2=1,

不妨设点A在x轴上方，代入得，A(l,2),

所以二J(3-l)2+(0_2/=2yf2.

故选：B

4.D【解析】计算出G(a+。)、%+目的值，利用平面向量数量积可计算出cos<a,a+6>的值.

【详解】忖=5,|4=6,ab=-f)^Aa­(</+&)=|a|+(7-/?=52-6=19.

,+陷==\la+2a-b+b~=j25-2x6+36=7,

-..a-(a+b]1919

因此，cos<a,a+h>=j.।.—q-=-~~-=—.

|6z|-|a4-6|5x735

故选：D.

【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，

考查计算能力，属于中等题.

5.C【解析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即

可.

【详解】［方法一］:【最优解】无序

从6张卡片中无放回抽取2张，共有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)15种情况，其中数字

之积为4的倍数的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6种情况，故概率为白总

［方法二］:有序

从6张卡片中无放回抽取2张，共有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),

(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，

其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率

“.122

为—=一•

305

故选：C.

【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；

方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；

6.C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

【详解】［方法一］：直接法

由已知得：sinacos尸+cossin尸+cosacos£-sinasin尸=2(cosa-sina)sin/7,

即：sinacosJ3-cosasinp+cosacosp+sinasin0=6,

即：sin(«-/7)+cos(a-y0)=O

所以tan(a-0=-l

故选：C

［方法二］:特殊值排除法

解法一：设P=0则sina+cosa=0,取。竹，排除A,B；

TT

再取a=0则sin。+cosp=2sin0,MXp=—,排除D；选C.

［方法三］:三角恒等变换

sin(a+/)+cos(a+/)=万sin(a+4+工)=72sin[(a+—)+J3]

44

=V2sin(a4--)cos>0+V2cos(a+—)sinp=2>/2cos(«+—)sin[i

444

所以应sin(a+工)cos/?=^cos(a+—)sin0

44

sin(a+—)cosB-cos(a+工)sin夕=0即sin(a+工一夕)=0

444

?.sin(a-/+?)=sin(a-〃)cos?+cos(a-/)sin?=^^sin(a-/7)+^^cos(a-〃)=0

?.sin(a-p)--cos(a-J3)即tan(a-/)=-l,

故选：C.

7.B【解析】

作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用

锥体体积公式可求得结果.

【详解】

如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点。，

设圆锥AO和圆锥的高之比为3:1,即4)=350,

设球的半径为R，则----=-—，可得R=2,所以，AB=AD+BD=4BD=4,

33

所以，BD=1,AD=3f

CD±ABf则/04。+4。£>=/8。。+48=90,所以，/CAD=/BCD,

又因为NADC=NBOC,所以，AACD^ACBD,

所以，—=—,CD=y/ADBD=,

CDBD

因此，这两个圆锥的体积之和为;;rxC£>2.(AO+8O)=g7x3x4=4;r.

故选：B.

8.D【解析】根据对称性和已知条件得到/(x)+/.(x-2)=-2,从而得到〃3)+/(5)++/(21)=-10,

/(4)+/(6)++/(22)=-10,然后根据条件得到〃2)的值，再由题意得到g⑶=6从而得到〃1)的值即

可求解.

【详解】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，

所以g(2-x)=g(x+2),

因为g(x)—/(x—4)=7,所以g(x+2)—/(x-2)=7,即g(x+2)=7+/(x-2),

因为/(x)+g(2-x)=5,所以f(x)+g(x+2)=5,

代入得/(x)+[7+/(x—2)]=5,BR/(%)+/(%-2)=-2,

所以〃3)+〃5)++/(21)=(-2)x5=-10,

/(4)+/(6)++/(22)=(一2*5=-10.

因为.f(x)+g(2-x)=5,所以/(0)+g(2)=5,即/(0)=1,所以八2)=-2-〃0)=-3.

因为g(x)-/(x-4)=7,所以g(x+4)-/(x)=7,又因为f(x)+g(2-x)=5,

联立得，g(2-x)+g(x+4)=12,

所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R,

所以g(3)=6

因为f(x)+g(x+2)=5,所以"1)=5—g(3)=-l.

所以玄/W=〃1)+/(2)+[/(3)+〃5)++/(21)]+[/(4)+/(6)++/(22)]=-1-3-10-10=-24.

k=\

故选：D

【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后

得到所需的一些数值或关系式从而解题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.CD【解析】A、C利用两组数据的线性关系有E(y)=E(x)+c、D(y)=£>(%),即可判断正误；根据中位

数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.

【详解】A：E(y)=E(x+c)=E(x)+c且CHO,故平均数不相同，错误；

B：若第一组中位数为3，则第二组的中位数为y=x,+c,显然不相同，错误;

C：£>(y)=D(x)+D(c)=D(x),故方差相同，正确；

D:由极差的定义知：若第一组的极差为Xmax-XmM，则第二组的极差为

丫皿一斗而=(Xgx+c)-Umin+c)=xmm-xmi„,故极差相同，正确;

故选：CD

10.AD【解析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出.

2兀।471

【详解】由题意得：/+eJ=0,所以§+9=keZ,

4兀

即3=---+far,A:GZ,

2兀[2兀

又0<e<兀，所以％=2时，=—,故/(x)=sin[2x+

对当时，与2兀由正弦函数y=sin“图象知y=f(x)在(0,总5兀上是单调递减;

A,2x+G

312

,、"(兀11兀LC2兀715兀

对，当移一万,再时，2x+-^-G,由正弦函数y=sin“图象知y=/(x)只有1个极值点，由

B2JT

2^+y=y,解得x喑，即x喑为函数的唯一极值点；

对C,当x=?7兀时，2X+2弓兀=3兀，/(79兀)=0,直线X=7；兀不是对称轴;

6366

对D,由y=2cos|2x+g=一1得：cos(2x+g)=£

2,

27r2,7127r47r

解得2x+专遣+2E或2x+守宁+2E,keZ,

兀

从而得：X=E或X=§+

2冗

所以函数y=/(x)在点0,处的切线斜率为k=y|x=0=2cosy=-1

切线方程为：=-(x-0)即y=~^~~x,

故选：AD.

11.BC【解析】

【分析】

根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线用N构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.

【详解】

设正方体的棱长为2,

对于A,如图（1）所示，连接AC,则MV//AC,

故NPOC（或其补角）为异面直线ORMN所成的角，

1

在直角三角形OPC,0C=&,CP=1故tanZPOC=

正二3

故MNLOP不成立，故A错误.

对于B,如图（2）所示，取时的中点为。，连接尸Q,OQ,则OQLNT,PQLMN,

由正方体SBCM-NADT可得SN_L平面ANDT,而OQu平面ANDT,

故SN1OQ,而SNMN=N,故平面SNTM,

又MTVu平面SN7M,OQ1MN,而O。PQ=Q,

所以MV,平面。PQ,而POu平面。PQ,故MNLOP,故B正确.

对于C,如图（3）,连接80,则BD//MN,由B的判断可得OP,,

故OPLMN,故C正确.

对于D,如图(4),取的中点Q,AB的中点K,连接AC,PQ,OQ,PK,OK,

则AC//MN,

因为DP=PC,故PQ//AC,故PQ〃MN,

所以NQPO或其补角为异面直线P0MN所成的角,

图⑷

因为正方体的棱长为2,故PQ=gAC=&,OQ=ylAO2+AQ2=V1+2=>A，

PO=yjPK2+OK2=V4+1=>/5-QO2<PQ2+OP2,故NQP0不是直角，

故P。,MN不垂直，故D错误.

故选：BC.

12.BC【解析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性

质逐项判断即可得解.

【详解】［方法一］:对称性和周期性的关系研究

对于Ax),因为为偶函数，所以=+即①，所以

a

〃3-x)=〃x),所以Ax)关于x对称，则f(T)=/(4),故C正确；

对于g(x),因为g(2+x)为偶函数,g(2+x)=g(2-x),g(4-x)=g(x),所以g(x)关于x=2对称，由①求

导，和g(x)=r(x),得+=-/倨一x)=f'(T+x)=-g(g-x)=g(T+x)，所

以g(3-x)+g(x)=O,所以g(x)关于(*0)对称，因为其定义域为R,所以g(|)=o,结合g(x)关于x=2对

称，从而周期T=4X(2-|)=2,所以g(-g)=g(S=O,g(_l)=g⑴=_g(2),故B正确，D错误；

若函数/(X)满足题设条件，则函数/(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定/*)的函数值，故

A错误.

故选：BC.

［方法二］:【最优解】特殊值，构造函数法.

由方法一知g(x)周期为2,关于x=2对称，故可设g(x)=cos(7tx),则〃x)=Lsin(xr)+c,显然A,D错

兀

误，选BC.

故选：BC.

［方法三］:

因为了g(2+x)均为偶函数，

所以/(|-2x)=/弓+2x)即=+g(2+x)=g(2—x),

所以/(3—x)=f(x),g(4—x)=g(x),则/(T)=/(4),故C正确；

3

函数fM,g(x)的图象分别关于直线x=5,x=2对称，

又g(x)=/'(x),且函数/(x)可导，

所以g(|)=0，g(3-x)=-g(x),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g(-；)=g(|)=O,g(-l)=雇1)=—晨2),故B正确，D错误；

若函数〃x)满足题设条件，则函数/(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定"X)的函数值，故

A错误.

故选：BC.

【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该

题的通性通法；

方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.15【解析】由题意结合二项式定理可得4+j的展开式的通项为7；“=c13Lxh，令2声=。，

代入即可得解.

【详解】由题意［五+最)的展开式的通项为加=C；•(石/GJ=C；3产，

5—5尸

令^^=0即/■=］,贝Ijcr3'=c；・3=15,

所以(五+乌］的展开式中的常数项为15.

故答案为：15.

，4-4【解析】根据已知条件'将所求的式子化为皇+高,利用基本不等式即可求解.

・、乂八？八，八,118ahah8

［详解］a>0,Z?>0,4+/?〉0,ab=1,-----1------1--------=------1------1--------

2cl2ba+b2a2ba+b

=等+捻川等4r4,当且仅当7=4时取等号,

结合。6=1,解得〃=2-百,0=2+6，或。=2+0,6=2-石时，等号成立.

故答案为：4

【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.

15.3【分析】方法一：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积

求出结果.

【详解】［方法一］:【通性通法】直译法

设A(a,2«)m>0),则由圆心C为AB中点得C(等,“)，易得：C:(x-5)(x-«)+y(y-2a)=0,与y=2x联

立解得点。的横坐标与=1，

所以。(1,2).所以AB=(5-a,-2a),0)=(1-等,2-，，

由AB.C£>=0得(5-a)［l—^1^)+(-2“)(2-a)=0,

BPa2-2a-3=0,解得：。=3或a=—l,因为a>0,所以a=3.

故答案为：3.

［方法二］:【最优解】几何法

如图3,因为A3为直径，所以ABCD=0,/XAFD^ADEB.

图3

设10E|=f,则|DE|=|AF\=2t,\OF|=|BE|=4t,

所以|OB|=|OE|+|EB|=5f=5,即以1.

所以，A点的坐标为(3,6),则点4的横坐标为3.

［方法三］:数形结合

如图4,由己知，得3。，/,则原°=-；,所以8。的方程为丫=-；(%-5).

图4

y=2x,

由，尸-夫同解得以⑶

5+4二,2”

设A(a,2a),则C,a，从而A8=(5-a,-2a),C£>=

~r2

—3—a

所以A8.C£)=(5_a)-^——2a(2-a)^Q,解得a=3或a=-l.

又。>0,所以“=3.即点A的横坐标为3.

［方法四］:数形结合+斜率公式

由A8C£>=0，得AB_LCD,又C是AB的中点，所以AO=3Z).

又ADLBD,所以N3AT>=45。.设直线/的倾斜角为a,则tana=2,从而

2+1

k=tanZABx=tan(a+45°)=------=-3.

AB1—2

设A(a,2a),则%=-3,解得。=3.即点A的横坐标为3.

［方法五］:数形结合+解三角形

由方法四，知tanc=2,则sina=*.

5

，Is

在中，BO=OBsina=5x*=2后.

在等腰Rt..A£>B中，AB=y/2BD=25/10.

设A(a,2a),则J(a-5)2+(24=,解得。=3或。=一1.

又。>(),所以“=3.即点A的横坐标为3.

［方法六］：数形结合+解三角形

21

设直线/的倾斜角为a,则tana=2,则sina=有,cosa=忑.

V233M

由方法四知NQA8=?,于是sinNO84=sin|a7V—__y___—____

-26一10

OAOB

在中，由正弦定理知sin/OBA=.］，解得。4=36，

sm—

4

故点A的横坐标为OA-cosa=3.

［方法七］:数形结合+解三角形

因为。为以A8为直径的圆。上一点，所以。为A8的中点.

因为A8-CD=0,所以4?_LCD,△43。为等腰直角三角形，即AO=3D.

BD

在Rt/XOBD中，tanZBOA=k=2=—.

y.OD2+BD2=0B-=52，所以00=6,80=2石.

因为A在第一象限，所以。4=OD+AD=36.

又丛=2,x：+£=042=(3石了，所以X,=3.

XA

【整体点评】方法一：直接根据题意逐句翻译成数学语言，通过运算解出，是该题的通性通法；

方法二：作出简图，利用平面几何知识求解，运算简单，是该题的最优解；

方法三：通过圆的几何性质，利用直线方程联立求点。的坐标，简化计算；

方法四：通过圆的几何性质，求出直线AB的倾斜角，从而得出斜率，根据斜率公解出，是不错的解法；

方法五：同法四，通过圆的几何性质，求出直线AB的倾斜角，从而得出斜率，再通过解三角形求出；

方法六：基本原理同方法五；

方法七：基本原理同方法五.

16.亚【解析】联立直线A8和渐近线小y=^x方程，可求出点8,再根据|以|=3|必|可求得点A,最

4a

后根据点A在双曲线上，即可解出离心率.

【详解】过F且斜率为9的直线A8:y=3(x+c),渐近线=

4a4aa

b

y=—(x+c)/,、/厂，、

联立4”,得噌，当，由I冏=3|E4|,得

b3a)\99a)

y=­x

、a

而点A在双曲线上，于是%—总7=1,解得：4=—＞所以离心率e=mR.

81a28kr从a2244

故答案为：巫.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.⑴证明见解析；（2）-78.【解析】⑴依题意可得2s“+〃2=2%+〃，根据q=1c、.，作差

即可得到%-%=1，从而得证；

（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出4,即可得到｛《,｝的通项公式与前,项和，再根据二次函数的性

质计算可得.

【详解】（1）因为巴+〃=2%+1,即2S,,+〃2=2〃4,+〃①，

n

2

当2时，2S„,l+（n-l）=2（rt-l）«„_1+（n-l）（2）,

①一②得，25“+〃2—25“_|一（"_1）：!+

即2a“+2〃-1=2%+1,

即2（〃一1）%—=2（〃-1）,所以=且〃eN*,

所以｛%｝是以1为公差的等差数列.……4分

（2）［方法一］：二次函数的性质

由（1）可得知=4+3,“7=4+6,4=4+8,

又知,%,砌成等比数列，所以%2=”「〃9，

即（q+6）2=（4+3）.（4+8）,解得4=-12,

3占一生〃」25

所以〃“=〃T3,所以Sa=一12〃+/?--

2222i号

所以，当〃=12或〃=13时，（S"）而n=-78.10分

［方法二］：【最优解】邻项变号法

由(1)可得％=4+3,%=《+6,49=4+8,

又知,%,为成等比数列，所以％2=。八的，

即(4+6)2=(q+3)<4+8),解得q=-12,

所以即有<al2<0,al3=0.

则当〃=12或〃=13时，（⑤）而„=一78.

【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出S”的最小值，适用于可以求出S“的表达式;

法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解.

区（峭；⑵4层5.【解析】⑴根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将备=悬与化成

-rr

cos（A+8）=sinB,再结合即可求出;

2>■>

⑵由⑴知。>小4-28,再利用正弦定理以及二倍角公式将—化成—十晒_5

然后利用基本不等式即可解出.

cosAsin232sinBcosBsinB

【详解】（1）因为,即

1+sinAl+cos2B2cos2BcosB

sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=-cos。,

TTTT

而所以8)4分

TTTT

(2)由(1)知，sinB=-cosC>0,所以一<C<兀,0<3<一,

22

jfnsinB=-cosC=sinlC-^I,

TTTT7134

,Ce

所以C=/B,即有-2B,所以7'T

a2+h2_sin2A+sin2B_cos225+1-cos?B

所以

sin2ccos2B

COS2

+1-B=4COS2B+^——5>2>/8-5=4>/2-5•

cos2Bcos-8

当且仅当cos?B时取等号，所以勺弦的最小值为4及-5.……12分

19.(1)47.9岁；(2)0.89；(3)。心)14•【解析】(］)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的

和即可求出；

(2)设4={一人患这种疾病的年龄在区间120,70)},根据对立事件的概率公式尸(A)=l-P(,)即可解出；

(3)根据条件概率公式即可求出.

【详解】(1)平均年龄元=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)x10=47.9(岁)......3分

(2)设4={一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)},所以

P(A)=1-P(A)=1-(O.(X)1+0.002+0.006+O.(X)2)xl()=1-0.11=0.89....6分

(3)设8="任选一人年龄位于区间［40,50)”，C=”从该地区中任选一人患这种疾病”，

则由己知得：

P(B)=16%=0.16,P(C)=0.1%=0.001,P(B|0=0.023x10=0.23,

则由条件概率公式可得

从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),此人患这种疾病的概率为

尸(C⑶=3=网C)=0.001x0.23=°OOMS,S=0,0014……,2分

P(B)P(B)0.16万

20.(1)72;(2)立【解析】(1)由等体积法运算即可得解；

2

(2)由面面垂直的性质及判定可得8C1平面48MA,,建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.

【详解】(1)在直三棱柱ABC-A81G中，设点4到平面ABC的距离为/?,

h==V

则匕-A8C=；S-\-ABC=ABC'44=1G=g,

解得h-41>

所以点A到平面ABC的距离为④；……4分

(2)取AB的中点£连接如图，因为"=A8,所以AE_LAB,

又平面A8C,平面AB4A,平面ABCc平面AB4A=48，

且A£u平面AB4A，所以1■平面ABC,

在直三棱柱ABC-44G中，_L平面ABC,

由BCu平面ABC,BCu平面ABC可得BB,1BC,

又AE,BByu平面ABBA且相交，所以3cl平面ABB,A),

所以BC,BA8与两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图,

由(1)得AE=&，所以AA=A8=2,AB=2近,所以8c=2,

则4(0,2,0),4(022),3(0,0,0),C(2,0,0),所以AC的中点£)(1,1,1),

则BD=(1,1,1),3A=((),2,0),3C=(2,(),()),

m-BD=x+y+z=0

设平面他£)的一个法向量〃2=(x,y,z>

m-BA=2y=0

可取加=(l,o,T),

n•BD=a+b+c=0

设平面BDC的一个法向量”=(a,b,c),

nBC=2a=0

可取7=(0,1,—1),

m-n11

则cos〃

\/2Xy/22f

所以二面角A-8D-C的正弦值为Jl-……12分

2L(Df4=，；⑵fF50【解析】⑴根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积

可求。力，从而可求椭圆的标准方程.

（2）设8（不y）,。（々,％）,求出直线的方程后可得M,N的横坐标，从而可得|PM|+|/W|,联立直

线8C的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简|PM|+|PN|,从而可求女的范围，注意判别式的要求.

【详解】（1）因为椭圆过4（0,-2）,故6=2,

因为四个顶点围成的四边形的面积为4A石，故Jx2ax2匕=4后，即”逐，

故椭圆的标准方程为：—+^=1.……3分

54

设5（冷））,。（程％），

因为直线8c的斜率存在，故

故直线令y=_3,则人=一一^7，同理乐=一一三.

占％+2%+2

7:;3=20可得（4+5公）/一30"+25=0,

直线8C:y=Ax-3,由

故A=900A：2—100（4+5左2）>0,解得&<—1或々>1.

又4+&=，中2=A,故％%>°，所以XMXN>°

今/十嗡DKq-iDK

又归阴+网=%+4,|=号+三^

y十/%十/

50k30k

2kxx一（演+W）4+5/―4+5/

-----T=—i2

kx^-1kx-1k2xx—+/）+]25k230攵2

2]2-----r------r+1

4+5公4+5公

故5k区15即闷43,

综上，一34左<一1或1<ZV3....12分

22.(1))(可的减区间为(0,“增区间为惇+8).(2)(i)见解析；(ii)见解析.【解析】⑴求出函数

的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.

(2)(i)由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，(ii)k=3,

玉

2——/n+12)

m=-a<\,则题设不等式可转化为4+匕-2-4<!_——-~L,结合零点满足的方程进一步转化为

em36m+t3)

\nm^——八“八、-------^<0,利用导数可证该不等式成立.