2023年高考数学第27讲 精于观察善于变形广泛联系巧妙构造

第27讲精于观察善于变形，广泛联系巧妙构

造

一、攻关方略

求解某些数学问题时，针对问题的背景、结构、特征,在直接求解存在较大困难时，通过观察、联想、

变形、恰当地构造出熟知的数学模型,通过研究该数学模型来解决原问题，这就是构造与建模的思想

方法,是一种十分有效的解题策略.当然，构造的过程是一种通过发散思维创新的过程,也是数学核心

素养的体现，要求数学基础知识掌握得扎实，并且思路宽广.

一种新的解题谋略是在精心构造中诞生的，所以面对难题，解题者要突破思维定式，充分挖掘问题的内

涵，此路不畅，换一条路走，从这个角度看，雾锁云埋，一片迷茫，从另一个角度看，峰回路转，美景如画，此

树开不了花，通过嫁接让它开花，看似最不可能的地方往往会结出丰硕之果.真可谓：

精于观察，善于变形，

发散思维，移花接木.

突破定式，峰回路转，

广泛联系，巧妙构造.

二、例题展示

【例1】

在VABC中，已知AB=地,cosB=迈,AC边上的中线8。=逐，求sinA的值.

36

【解题策略】

解斜三角形不论用何种方法，对图形几何特征的分析是关键，从而可以从不同的角度制定合理简捷的

求解路线,本题解答的主要步骤是求出的长度，而求的长度方法很多，添线不同可以有多种求

法，如果通过建立平面直角坐标系，则解题的思路更加广阔，可以说是妙思巧解，本题是训练思维的极

好材料.

策略一取中点£,连接DE,构造三角形8DE,利用余弦定理、正弦定理求解

策略二延长BD到点E使OE=30,构造三角形3CE,利用余弦定理求解

策略三建立平面直角坐标系，利用解析法求解

策略四建立平面直角坐标系，利用向量坐标法和向量数量积夹角公式求解

UUB

策略五利用向量运算转化为关于BC=x的方程求解

策略六通过添线构造一系列RtV,运用平面几何法求解

【解法一】

1Qrz

如图27-1所示，设£为8。的中点，连接OE,则OE//4B,且OE=-A8=、一.设=x，在

23

NBDE中利用余弦定理得BD1=BE1+ED2-2BE-ED-cos/BED,

r1nu28c2瓜瓜7

BP5—x~H—F2x-----x—x,解得x=1,x=—（舍去），故BC=2.

3363

QOO/o1

从而AC?=AB2+BC2-2AB-BCcosB=一，即AC=——

33

2^/21

又sinB=叵，故由正弦定理得—=，得sinA=—.

6sinAV3014

~~6~

【解法二】

如图27-2所示，延长8□到点E,使。£=30,连接CE、AE,则在V5CE中，CE=A3=半,

8石=23。=26,/3。七=乃一/8,设3。=1则由余弦定理可得尤=2,即BC=2（以下同解法

-）

图27-2

【解法三】

UUUI

（解析法）如图27-3所示，以B为坐标原点,8C为x轴正向建立平面直角坐标系，且不妨设点A位于

第一象限.

则sinB=叵得A生反cos民逑sin/4卮4+3%

4.设点C（x,O）,则点£）

33J.由

6亍/

L14

已知条件可得忸。|=迅，从而x=2或犬=一丁（舍去）.即点C（2,0）,故

r\B]221

2-1I+0-4V5—。

陋=.于是由正弦定理可得上=些——,故

33sinAsinB

V70

sinA

~14~

【解法四】

（向量坐标法）如图27-3所示，以8为坐标原点直线BC为X轴建立平面直角坐标系，且不妨设点A位

于第一象限.

则由sinB=叵得点cosB,勺回sinB，即点A

63)

设点C（x,O）,则点。

由已知条件可得

3V14

sirt4=-cos2A=

1414

（纯向量法）Q2BD=84+BC,①

uunULK2U1Tuun建卫+/+2X还xx

21

设BC=x,①式平方可得4x（行）4BD=(BA+BC)

33

解得x=2(以下同解法三).

【解法六】

(平面几何法)如图27-4所示，过点A作交于点”，延长8。到尸使%>=。尸，连接

44A/5

AP、PC.过点P作PN，BC,交BC的延长线于点N,则HB=ABcosB=-,AH=

33

BN=JBP?一PN?=《BP?一A"？=J(2坏了一(警)=y,而CN=HB=3,

BC=BN-CN=2,HC=Z,AC=y/AH2+HC2=,

33

2后

故由正弦定理可得—=，故sinA=—.

sinAV3014

【例2】

设/(x)=sin'«+cos'a,xe{«|〃=2左,左。*}.利用三角变换,估计/(0在%=2,4,6时的取值

情况,进而对x取一般值时对/(a)的取值范围作出一个猜想并证明.

【解题策略】

本例是归纳-猜想-证明类题型，当x=2,4,6时利用三角变换容易求出/(a)的取值范围，则对x的一

般值时，难用三角变换作进一步探索，故在获得猜想之后如何进行证明应考虑采用移植法:①把三角函

数取值范围问题移植为代数函数的取值范围问题，用导数解决或由图像的凹凸性解决,函数性质和不

等式知识在证明中起主导作用;②通过移植运用二项式定理结合三角函数有界性求/(a)的范围或

直接运用基本不等式等放缩的技巧.

本例的难点当然是在作出猜想之后的证明.

策略一构造函数,运用导数确定其单调性求最大值、最小值

策略二构造函数，运用其图像的凹凸性以及“放缩”的技巧求范围：

策略三构造二项式定理，运用“放缩”法确定范围

策略四构造并运用基本不等式进行“放缩”或构造二次式实现“放缩”确定范围

【解】

逐一计算:当x=2时,f(a)=sin2。+cos2a=1.

当x=4时，/(a)=sin4cr+cos46Z=(sin2a+cos26z)2-2sin26z-cos26Z=1-^sin22a，可得

/(cr)=l--sin22crG，/，即1期(a)1..

222

当x=6时,/(a)=sin6a+cos6a=kin2a+cos2axsin,a-sir^acos2^+cos,a)=1-

3「ill

-sincere71,即或期(a)1.

由此猜想:当x=2kpeN*)时,/(a)值范围为击期(a)1.

【证法一】

(构造函数,用导数解决)

设函数g(x)=，+(l—4,喷/1,k2,

则g'(x)=kxk-'-女(1—x)i=k［X"T_(］_X)*T］

可以判断：g(x)在区间I。』］上递减，在区间［pl］上递增.故当x=L时，

\\2J2

g(X)mun.又g(o)=g⑴=1为最大值，故g(X)的值域为

☆x=sin%,aeR,可得白■期(a)1.

【证法二】

(构造函数，用图像的凹凸性解决)

构造函数g(x)=x*(既/1,依2),g'(x)=,g"(x)=>("1)xk-2>0对任意0<x<1恒成

立，故g(%)=/(啜k1)为下凸函数,

IIk1

它在点x=j处的切线方程为y--=^j-rX——，即y

2

由图像的凹凸性可知，函数g(x)=x*(滕(k1)的图像总在切线了=今(》-；)+/的上方(或重

合)，故有f…白(尤—g)+$F对任意嗫！k1恒成立(当且仅当x=；时取等号).

对于aeR,有噫&in2a1,0效bos2a1；

用sir?%cos2a分别代替x可得

•2k①cos2"a...k()s2a——十看②

sina.

将①②式相加可得

/(a)=sin"a+cos2Aa.

另一方面,由砥瓦112a1,(Mos2ai可得

f(cr)=sin2A>z+cos2Acr=sin2"2a.sin26z+cos2Z:~2cr•cos2a

^mlk~2a+co^k~2aL?sin2(2+cos2a=1

即击期(a)1

［证法三］

(构造二项式定理，用放缩法)

“、”（1-cos2吟，l+cos2a）

/（a）=sm-a+cosa=[-----------I+[------------J

=/{©-C^os2«+C^cos22a-L+（-l）AC*cosA2a]+[C^+C^,cos2«+C^cos22a+L+Ccos*2a]}

=x2（C°+C^cos22a+C^cos42a+）

当cos2a=0时，（C；+或cos22c+Ctcos42a+）“、=1；

当cos2a=±l时，（C°+C^cos22a+C'cos42«+..=C+《+C+=2"l

故击额3）i-

四（构造并运用基本不等式）

111111\

y=sin2/cX+COS2k%=（sin2k%+丞+丞+…+丞）+（cos2k%+丞+丞+…+丞）

J个技I个次

2k-2%加1M12k-2