2023-2024学年浙江省温州十校联合体高二上期中考试数学试题及答案

绝密★考试结束前2023学年第一学期温州十校联合体高一高二期中联考高二年级数学学科试题考生须知：14页满分分，考试时间分钟。2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。4．考试结束后，只需上交答题纸。选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.x21−y2=1的渐近线方程为（）411A．y=xB．y=xC．y=2xD．y=4x422、平行六面体ABCD−ABCD中，化简AB+AD+BB=（）11111A．CB．1C．D．113y=2x+3的倾斜角为，直线y=−5的倾斜角为k=（）43344334A．B．C．−D．−+y=4与圆F:x22+(y−a)2=1仅有一条公切线，则实数a的值为（C．3D1）4、若圆E:x2A．3B．15、如图，是棱长为1的正方体ABCD−中，点P在正方体的内部且满足=++，则P到面的距离为（）24423382A．B．．D．8646、细心的观众发现，2023亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂。“梅兰竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大国风范“。团扇是中国传统文化中的一个重要12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为心记为O，若其中一片花瓣所在圆圆心记为C，两个花瓣端点记为、B，切点记为D，则不正确．．．的是（）A．、、D在同一直线上C．=30B个弧形所在圆的圆心落在同一圆上D．弧形所在圆的半径BC变化时，存在=()0−+=0上一点，过点P作圆O:x2y21的两条切线，切点分别+=7、已知Px,y是直线l:3xy40为,B，当直线AB与l平行时，=（）15302A．3B．C．D428、已知曲线C的方程为x2+y2+=1(aR)，则下列说法不的是（）A．无论a取何值，曲线C都关于原点成中心对称B．无论a取何值，曲线C关于直线y=x和y=−x对称C．存在唯一的实数a使得曲线C表示两条直线Da=1时，曲线C上任意两点间的距离的最大值为224小题，每小题520分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9A，B，CABC外的任一点OM，A，B，C共面的是（）A．=+−C．=++B．=++333D．=OA−−24x2y210、已知曲线+=1表示椭圆，下列说法正确的是（）12−mm−4()B．若该椭圆的焦点在y轴上，则m8,12)A．m的取值范围为6C．若m=6，则该椭圆的焦距为4D．若椭圆的离心率为，则m=103P(−1,0的直线l与圆C:x2y24x0交于,BA处的切线为1B处的)++=切线为l，直线l与l交于Q点，则下列说法正确的是（）212A．直线l与圆C相交弦长最短为23C．、、C四点共圆B．AB中点的轨迹方程为xD．点Q恒在直线x=2上2+y+3x+2=0212ABCD−ABCD的棱长为，H为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的11111是（）A．二面角D−−C的大小为113B．CH⊥BD62C．若O在正方形DCCD内部，且=，则点O的轨迹长度为112423D．若CH⊥平面，则直线CD与平面所成角的正弦值的取值范围为，32非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20.+5=0平行的直线记为l，则两平行线l，l之间的距离212()+13、过点11且与直线l:3x4y1为．x2y214、已知椭圆C:+=1，F,F为椭圆C的左右焦点，P为椭圆C上的一点，且F=90,121242延长交椭圆于Q，则FQ=．2115、把正方形ABCD沿对角线折成的二面角，E、F分别是BC、的中点，O是原正方3形ABCD的中心，则的余弦值为．16、双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线的右焦点2发出的光纤经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点1性质.x2y2②，其方程为−=1，F,F为其左右焦点，若12a2b2从由焦点2发出的光线经双曲线上的点A和点B反5⊥，=−12的离心率为四、解答题：本题共6小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本题满分分）已知圆O:x+y−4x−2y=0，直线l过点P(0,2).．22（）若直线l被圆O截得的弦长2，求直线l的方程；（）若直线l被圆O截得的优弧和劣弧的弧长之比为3:1，求直线l的方程．1812P−为等边三角形且垂直于底面ABCD，1===1，==，E是的中点．2（）证明：∥平面；P（）当点M为棱中点时，求直线与平面所成角的正弦值．EMDABC()(−)=19、（本小题满分12分）已知点A0,1，B2，动点P满足2，记点P的轨迹为曲线C.（）求曲线C方程；（）若直线l:+y−m−1=0上存在点M满足2，求实数m的最小值．(−+20、（本小题满分12分）已知点F1,0，F1,0，动点P满足关系式1)()=24．12（）求动点P的轨迹C的方程；(−)（l是过点F1,0且斜率为2M是轨迹ClA在直线l上，1且MA⊥l，求1A的最大值及此时点M的坐标．21、（本小题满分分）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面CDFE为正方形，⊥，=CD=2，点C在面上的射影恰为△ABE的重心G．E（）证明：∥CD；（）证明：⊥面EFDC；（）求该五面体的体积．FCBGDAy222、（本小题满分12分）已知双曲线C:x2−=1与直线l:y=+m(k3)有唯一的公共点．3()（）点Q2,3在直线l上，求直线l的方程；（F，F分别为双曲线C的左右焦点，EF的直线与双曲线C的右支交于122A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为△F，△F的内心．1212①点M的横坐标是否为定值？若是，求出横坐标的值；若不是，请说明理由；②求kMF+kNF的取值范围．22绝密★考试结束前2023学年第一学期温州十校联合体高一高二期中联考高二年级数学学科答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.题号答案1B2B3C4B5A6D7A8C4小题，每小题520分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号答案910BC1112BDABDACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20.1251031429313、．14、．15、−．16、．四、解答题：本题共6小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(−)2+(−)=5217、（）解1O:x2y1①斜率不存在时，x=0满足题意；…1分②斜率存在时，设直线l:y=+2则圆心O到直线l的距离为2…2分2k+1即d==2…3分1+k23∴k=…4分43∴l:x=或y=x+2…5分4（斜率不存在没有讨论，扣1分）()()2+(−)=2……①2解：点0,2在圆上，故令圆上点x,y，则弦长为xy02000又02+y02−4x−2y=0……②-得y=2x……③000085165③式代入到①式得502−8x=0∴x=y0=或0=0y0=00016−2−03458∴k==或斜率不存在（不算斜率，直接代入算出直线方程，同样给分）……4分53∴l:x=或y=x+2…5分4（斜率不存在没有讨论，扣2分）()2+(−)=22……①2解：以0,2为圆心，以2为半径的圆为xO:x+y−4x−2y=0……②①-y=2x……③y22200后面做法同解2，给分标准也同解2解：斜率不存在时，x=0满足题意；…2分②斜率存在时，设直线l:y=+2y=+2+y−4x−2y=0x22x2+(+2)−4x−2(+2)=021+k)x+(2k−4)x=022()()∴1+k2x2+2k−4x=04−2k1+k∴弦长：1+k2x−x=1+k2=22123∴k=…4分43∴l:x=或y=x+2…5分4（）易知劣弧所对圆心角为9010∴圆心O到直线l的距离为即22k+1102d==…7分1+k21∴k2+8k−3=0∴k=或-3…9分31∴l:y=x+2或y=3x+2…分318、（）取中点G，连,.1∵E为PD中点∴∥…1分21∵==,=21∴∥∴P2∴四边形BCGE为平行四边形………………2分∴∥,面,CE面(未写扣1)∴∥……5分(取中点为O,证面∥面,再证∥面.同样给分)EMDA(2)解：取中点O，连PO,.∵△为正三角形,∴⊥BC∵面PAD⊥面ABCD,面面D=∴⊥ABCD…6分由平面知识CO⊥.如图以O为原点建立空间直角坐标系312A(1,0)(−B1,0)P3)D0C1,0,0M,()()23)=3)(=则=1,0,0………………8分22设面的一个法向量为n=(x,y,z)P=0x则∴n=y+3z=0E()n=3,1…10分M设AM与平面所成角为OAD36()222则sin=cosAM,n==BCAMn86故直线AM与平面所成角的正弦值为……12分8说明：（112）题都用向量来求解没证明⊥ABCD再1扣1分没证明⊥ABCD且法向量求错,其他想法都对的，第（）扣3,2也扣3分31第（1）小题用向量解时，可求出CE=−,22（）其他建系方式给分标准一样3解△面积为1给1=2给2M到面的高为给3分；答案算对给2分；用等积法算，但是都没算对的，给2.4解3:用传统方法作出高并作对的给3=2给2;答案算对给2分做高但是没有算对给2,做错高给1分.19、（）设Px,y)=+(y+2)∵=2(2=+(y−)2∴x2x2…2分(y224x（式子对给4分，式子错了但有这个意识给2∴x+y−4y=0…6分+=(+(y−2)…4分∴x2+222（）解12∴x1−m2+y−4y0（M在圆上及圆的内部）…8分2∴d=21+m2∴5m2−6m−30…10分3−263+26∴m…12分553−26∴min=（算到上式就给满分，没写出最小值不扣分）5y=−+m+1解：…8分x2+y−4y=02x2+(−+m+)2−4(−+m+)=01+m2)x(−6m−2mx+9m)−6m−3=0222∴△0得5m3−262−6m−30…分（有算=0，也给分）3+26∴m…12分553−26∴min=（算到上式就给满分，没写出最小值不扣分）520、（）由椭圆定义知a=2…2分算出b=3…4分x2y2从而椭圆方程为+=1…5分43（没检验也给分）02y02()0+=1(2)解设M的坐标为x,y,且满足0431则直线:y−y=−(x−x);l:y=2(x+002+−2(0+25y0+)02054联立得:A,x+2y+11A=00…8分∴5(1A的表达式的就给3)x=2cos0++1=++=4sin(+)+1计算法1:设则02023sin2cos1y=3sin60当=,∴FA=5…分133此时M…分22(0+20)2x2y2x2(2012)计算法1=0+0=0+43416∴4x+2y4…10分00∴x+2y+1=5∴1A=5…00分3此时M…分2(计算过程给2分结果一个给一分)(0+1+)22y02=2−2d=解1A其中d为点M到直线l的距离)…8分15(计算过程给2分结果一个给一分)解3:转化为直线l'⊥l,当l'与椭圆相切时,l'与l的交点为A,切点为M,此时1A最大.…8分1设l':y=−x+m21y=−x+m2=;0x2y2+=143∴m=2…分∴1A=511分3此时M…分2解4:1且垂直l的直线为l',则1A为M到l'的距离1设l':y=−(+),x12问题就转化为切线问题或点到直线距离问题…8分(计算过程给2分结果一个给一分)说明：无论用什么方法,转化对就给3计算过程给2分结果一个一分21、（）∵CD∥EFECCD面F面∴CD∥面…2分BG又面ABCD面CD面ABCDF=D∴CD∥…4分（G为△的延长线交AB于H∴点H为AB中点又∵CD=AEC∴CD∴四边形为平行四边形F∴∥CH…5分又∵CG⊥面∴CG⊥∴CG⊥CD又∵CD⊥CECGGB∴CD⊥面CHE…6分D∴CD⊥CH又∥CH∴⊥CD…7分∴⊥面…8分解：以D为原点，以为y轴，为z轴建立直角坐标系HA设Aa,b,0)((Ba,b+2,0)2b+31a,C0)(E)(F0,0,1()G,zEC333ab1333=(2,0)=(−a,1−b)CG=,,Fy22313GBCG=b=0又CG=−aa+b1b(−)+=0332a=2∴∴A,0,0…6分2A2b=0x2∴=,0,0=(0)2DA=0∴⊥又⊥∴⊥面…8分（）解1D为原点，以为x轴，为y轴，为z轴建立直角坐标系Aa,0,0)Ba,2,0)((()()C0E…9分a13213)CG=∴CG=−a2+=0=(−a,0,332∴a=…10分21321122∴五面体的体积V=VA−CDEF+E−ABC=2+21=…12分23223(其他建系方式也同样给分：点坐标1分，解出坐标1分，体积2)解：在△HCE中，2=2−2=2−222212令=x∴12−3x2+1=x2−3x2+1∴x=…10分2122131222∴五面体的体积V=三棱柱ADF−HCE+B−HCE=11+11=……………分2232yx2−=122、（）联立方程3；得：−k2)x2−2−m−3=02y=+m(k3)((m2()+9−k=0；…2分=4k2m2+43−k2+=4m22k2=m2+3；又∵3=2k+m…3分即l:y=2x−1…4分∴k=2∴m=1（）①P为△AFF的内切圆与x轴的切点，由定义知：121A2A1P2P−=−cxPxP=+−(c−)=2xP2a…6分=∴xP=a∴与E重合∴M=xP=a=1…8分同理：x=x=a=1