第24章圆单元测试能力提升卷-【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（解析版）【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）第24章圆单元测试（能力提升卷）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023秋•梁溪区校级期中）已知⊙O的直径是10，点P到圆心O的距离是5，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定【答案】B【分析】首先求得该圆的半径，再根据点和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【解答】解：根据题意，得该圆的半径是5，大于点P到圆心O的距离5，则点P在⊙O上，故选：B．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，这里要特别注意8是圆的直径；掌握点和圆的位置关系与数量之间的联系是解题的关键．2．（2023•南海区校级模拟）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】连接OA，如图，先根据垂径定理得到AE＝BE＝8，然后利用勾股定理计算出OA即可．【解答】解：连接OA，如图，∵CD⊥AB，∴AE＝BE=12AB=12在Rt△OAE中，OA=OE即⊙O半径为10．故选：D．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．3．（2023秋•梁溪区校级期中）下列说法中，正确的是（）A．长度相等的弧是等弧 B．在同圆或等圆中，等弦对等弧 C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等【答案】D【分析】根据等弧、优弧、劣弧的定义以及圆心角、弦、弧之间的关系定理判断即可．【解答】解：A、能够重合的弧是等弧，说法错误，故选项不符合题意；B、在同圆或等圆中，等弦所对的劣弧和劣弧相等，优弧和优弧相等，说法错误，故选项不符合题意；C、优弧一定比劣弧长，说法错误，条件是同圆或等圆中，故选项不符合题意；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，说法正确，故选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系以及圆的认识，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．4．（2023•鹿城区校级三模）已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（）A．10π B．15π C．20π D．25π【答案】C【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：圆锥的侧面积=12×2π×4×5＝故选：C．【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．5．（2022秋•盘龙区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝124°，则∠A的度数为（）A．24° B．51° C．56° D．62°【答案】C【分析】由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即可计算．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝180°﹣124°＝56°．故选：C．【点评】本题考查圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的性质．6．（2023秋•青秀区校级期中）如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠BPC＝60°，PA＝2，PC＝6，则AB长为（）A．25 B．35 C．27 D．37【答案】C【分析】过点A作AH⊥PC于点H．首先证明△ABC是等边三角形，解直角三角形求出AC，可得结论．【解答】解：如图，过点A作AH⊥PC于点H．∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AH⊥PC，∠APC＝60°，∴AH＝PA•sin∠APC＝PA•sin60°＝2×32=3，PH＝PA•cos∠APC＝PA•cos60°＝∴CH＝PC﹣PH＝6﹣1＝5，∴AC=AH2∴AB＝27．故选：C．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．7．（2023•泰山区校级自主招生）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C，若∠ACB＝30°，AB=3A．32 B．33 C．32-【答案】C【分析】首先求出∠AOB，OB，然后利用S阴＝S△ABO﹣S扇形OBD计算即可．【解答】解：连接OB．∵AB是⊙O切线，∴OB⊥AB，∵OC＝OB，∠C＝30°，∴∠C＝∠OBC＝30°，∴∠AOB＝∠C+∠OBC＝60°，在RT△ABO中，∠ABO＝90°，AB=3，∠A＝30∴OB＝1，∴S阴＝S△ABO﹣S扇形OBD=12×故选：C．【点评】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，直角三角形30度角性质，解题的关键是学会分割法求面积，记住扇形面积公式，属于中考常考题型．8．（2023•兴宁市二模）如图所示，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，CD⊥AB，垂足为点G，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，角度为30°的角的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】根据圆周角定理和等腰三角形的性质得∠A＝∠OCA＝∠CDB＝30°，从而得∠BOC＝60°再根据CD⊥AB，即可得∠OCG＝30°，最后根据CE是⊙O的切线，得∠OCE＝90°，从而得∠E＝30°，即可得出答案．【解答】解：∵OA＝OC，∠A＝∠CDB＝30°，∴∠A＝∠OCA＝30°，∴∠BOC＝∠A+∠OCA＝60°，∵CD⊥AB，∴∠CGO＝90°，∴∠OCG＝90°﹣∠BOC＝30°，∵CE是⊙O的切线，∴CE⊥OC，∴∠OCE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠BOC＝30°，∴∠A＝∠CDB＝∠OCA＝∠OCG＝∠E＝30°，即在不添加辅助线的情况下，角度为30°的角的个数为5个．故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和切线的性质上解题的关键．9．（2023秋•苏州期中）如图，⊙O是△ADB，△BDC的外接圆，∠DBC＝2∠ADB，若AB＝25，CD＝8，则⊙O的半径为（）A．25 B．5 C．112 D【答案】B【分析】连接OA、OB、OC、OD，过点O作OE⊥CD，交CD于点F，交⊙O于点E，根据圆心角、弧、弦的关系求出DE，根据勾股定理计算即可．【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD，过点O作OE⊥CD，交CD于点F，交⊙O于点E，则∠DOE=12∠DOC，DF=12∵∠DBC＝2∠ADB，∴∠DOC＝2∠AOB，∴∠DOE＝∠AOB，∴DE＝AB＝25，∴EF=DE设⊙O的半径为r，在Rt△ODF中，OD2＝DF2+OF2，即r2＝42+（r﹣2）2，解得：r＝5，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、勾股定理是解题的关键．10．（2023•岱岳区校级模拟）如图，抛物线y=14x2-4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PAA．25 B．52 C．3 D【答案】D【分析】连接PB，由抛物线y=14x2-4关于y轴对称，得到OA＝OB，因此OQ是△APB的中位线，得到OQ=12PB，当PB过圆心C时，PB长最大，OQ长最大，求出B的坐标是（4，0），得到OB【解答】解：连接PB，∵抛物线y=14x∴OA＝OB，∵PQ＝AQ，∴OQ是△APB的中位线，∴OQ=12∴当PB长最大时，OQ长最大，当PB过圆心C时，PB长最大，当y=14∴x＝±4，∴B的坐标是（4，0），∴OB＝4，∵C的坐标是（0，3），∴OC＝3，∴BC=OC∵⊙C的半径是2，∴PC＝2，∴PB＝PC+BC＝7，∴OQ=7∴OQ的最大值是72故选：D．【点评】本题考查三角形中位线定理，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，点与圆的位置关系，关键是明白当PB过圆心C时，PB长最大，由三角形中位线定理即可求解．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2023秋•东城区校级期中）如图，在⊙O中AB是直径，CD⊥AB，∠BAC＝30°，OD＝2，那么DC的长等于23．【答案】23．【分析】由垂径定理推出BD=BC，DH＝CH，由圆周角定理得到∠BOD＝2∠A＝60°，求出∠D＝90°﹣∠BOD＝30°，因此OH=12OD＝1，由勾股定理求出DH=3，即可得到CD＝2【解答】解：∵AB是直径，CD⊥AB，∴BD=BC，DH＝∴∠BOD＝2∠A＝2×30°＝60°，∴∠D＝90°﹣∠BOD＝30°，∴OH=12OD=12∴DH=O∴CD＝2DH＝23．故答案为：23．【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，关键是由圆周角定理推出∠BOD＝60°．12．（2023秋•越秀区校级期中）如图所示，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC＝130°，AD∥OC，则∠AOD＝80°．【答案】80°．【分析】先根据题意求出∠AOC＝50°，再利用AD∥OC，得到∠DAO＝∠AOC＝50°，再结合三角形的内角和定理即可求出∠AOD＝80°．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∠BOC＝130°，∴∠AOC＝50°，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠AOC＝50°，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝50°，∴∠AOD＝180°﹣∠ADO﹣∠DAO＝180°﹣50°﹣50°＝80°故答案为：80°．【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．13．（2023秋•温州期中）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，记△ACE的周长为C1，正六边形ABCDEF的周长为C2，则C1C2的值为【答案】32【分析】设正六边形的边长为a，利用含30°角的直角三角形的性质求出DH，从而得出CE的长，进而解决问题．【解答】解：设正六边形的边长为a，连接AD，交CE于H，∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴DC＝DE＝a，∠CDE＝120°，AD⊥CE，∴DH=12∴CE＝2CH=3a由正六边形的性质知，△ACE是等边三角形，∴C1故答案为：32【点评】本题主要考查了正六边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．14．（2023秋•大连期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是130°．【答案】130°．【分析】利用圆内接四边形的性质求解．【解答】解：∵∠A+∠BCD＝180°，∠DCE+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCE＝65°，∴∠BOD＝2∠A＝130°．故答案为：130°．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．15．（2023秋•西湖区校级期中）已知△ABC的边BC=42，且△ABC内接于半径为4cm的⊙O，则∠A的度数为45°或135°【答案】见试题解答内容【分析】连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODB＝90°，由垂径定理得出BD＝CD=12BC，由等腰三角形的性质得出∠BOD＝∠COD=12∠BOC，由三角函数求出∠BOD＝45°，得出∠【解答】解：分两种情况：①当△ABC是锐角三角形时；连接OB、OC，作OD⊥BC于D，如图1所示：则∠ODB＝90°，BD＝CD=12BC＝22cm，∠BOD＝∠COD=1∵sin∠BOD=BD∴∠BOD＝45°，∴∠BOC＝90°，∴∠A=12∠BOC＝②当△ABC是钝角三角形时，如图2所示：∠A＝180°﹣45°＝115°；综上所述：∠A的度数为45°或135°，故答案为：45°或135°．【点评】本题考查了三角形的外接圆、垂径定理、等腰三角形的性质、圆周角定理、三角函数等知识；本题综合性强，难度适中．16．（2023秋•苏州期中）如图，直线AB，CD交于点F，∠AFC＝45°，点E是AF上一点，EF＝10cm，点O从点E出发，以1cm/s的速度沿射线EB运动．以点O为圆心，23OE长为半径作⊙O，若点O运动的时间为t，当⊙O与直线CD相切时，则t的值为6或30【答案】6或30．【分析】当O点在F点左侧与⊙O相切时，作OH⊥CD于H点，如图，根据切线的性质得到OH=23OE，再根据等腰直角三角形的性质得到OF=23OE，则OE＝10-23OE，解方程求出OE，然后计算此时t的值；当O点在F点右侧与⊙O相切时，作O′H′⊥CD于H′点，如图，同样得到O′H′=23OE′，O′F=23O′E，则O′E＝10+【解答】解：当O点在F点左侧与⊙O相切时，作OH⊥CD于H点，如图，∴OH=23∵∠AFC＝45°，∴OF=2OH=2×2∴EO＝EF﹣OF，∴OE＝10-23解得OE＝6，此时t=61当O点在F点右侧与⊙O相切时，作O′H′⊥CD于H′点，如图，∴O′H′=23∵∠DFB＝∠AFC＝45°，∴O′F=2O′H′=2×23O′E∴EO′＝EF+O′F，∴O′E＝10+23O′解得O′E＝30，此时t=301综上所述，t的值为6秒或30秒．故答案为6或30．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了扇形的面积公式．三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022秋•槐荫区期末）如图所示的拱桥，用AB表示桥拱．（1）若AB所在圆的圆心为O，EF是弦CD的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O．（不写作法，但要保留作图痕迹）（2）若拱桥的跨度（弦AB的长）为16m，拱高（AB的中点到弦AB的距离）为4m，求拱桥的半径R．【答案】见试题解答内容【分析】（1）作弦AB的垂直平分线，交于G，交AB于点H，交CD的垂直平分线EF于点O，则点O即为所求作的圆心；（2）首先连接OA，由（1）可得：△AOH为直角三角形，H是AB的中点，GH＝4，即可求得AH的长，然后在Rt△AOH中，由勾股定理得，OA2＝AH2+OH2，即可求得拱桥的半径R．【解答】解：（1）作弦AB的垂直平分线，交于G，交AB于点H，交CD的垂直平分线EF于点O，则点O即为所求作的圆心．（如图1）（2分）（2）连接OA．（如图2）由（1）中的作图可知：△AOH为直角三角形，H是AB的中点，GH＝4，∴AH=12AB＝8．（∵GH＝4，∴OH＝R﹣4．在Rt△AOH中，由勾股定理得，OA2＝AH2+OH2，∴R2＝82+（R﹣4）2．（4分）解得：R＝10．（5分）∴拱桥的半径R为10m．【点评】此题考查了垂径定理的应用．此题难度不大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．18．（2023秋•永康市期中）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为圆弧上一点，CD＝BC．（1）求证：OC∥AD．（2）若AD＝6，AB＝10，求点O到AD的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）证CD=BC，再由圆周角定理得∠COD＝∠COB=12∠BOD，∠A=12∠（2）连接BD，过点O作OE⊥AD于点E，由垂径定理得AE＝DE，再由三角形中位线定理得OE=12BD，然后由圆周角定理得∠ADB＝90°，进而由勾股定理得BD＝【解答】（1）证明：∵CD＝BC，∴CD=∴∠COD＝∠COB=12∠BOD，∠A=1∴∠A＝∠COB，∴OC∥AD；（2）解：如图，连接BD，过点O作OE⊥AD于点E，则AE＝DE，∵OA＝OB，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=12∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD=AB∴OE=12BD＝即点O到AD的距离为4．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，平行线的判定，三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．19．（2023秋•文成县期中）如图，AB是半径为5的⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．（1）求证：点D为AC的中点；（2）若CB＝4，求DF的长；（3）若∠DOA＝80°，点P是直径AB上任意一点，直接写出PC+PD的最小值．【答案】（1）见解析；（2）2；（3）53．【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为AC的中点；（2）证明OF为△ACB的中位线得到OF=12BC＝3，然后计算OD﹣（3）作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PC+PD的值最小，再计算出∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC+PD的最小值．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠OFA＝90°，∴OF⊥AC，∴AD=即点D为AC的中点；（2）解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF，而OA＝OB，∴OF为△ACB的中位线，∴OF=12BC＝∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，∵PC＝PC′，∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，∴此时PC+PD的值最小，∵AD=∴∠COD＝∠AOD＝80°，∴∠BOC＝20°，∵点C和点C′关于AB对称，∴∠C′OB＝20°，∴∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如图，则∠ODH＝30°，则C′H＝DH，在Rt△OHD中，OH=12OD∴DH=3OH=∴DC′＝2DH＝53，∴PC+PD的最小值为53．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．20．（2023秋•新吴区期中）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠E＝∠D；（2）若AB＝6，BC﹣AC＝2，求CE的长．【答案】（1）见解析；（2）1+17【分析】（1）根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得出AD＝AB，根据等腰三角形的性质得出即可；（2）根据勾股定理求出AC和BC，求出DC，求出∠B＝∠E＝∠D，根据等腰三角形的判定得出DC＝CE，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BD，∵BC＝CD，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D，∵∠E＝∠B，∴∠E＝∠D；（2）解：在Rt△ACB中，AB＝6，BC﹣AC＝2，由勾股定理得：AC2+（AC+2）2＝62，解得：AC＝﹣1+17（负根已经舍去），BC＝1+∵BC＝CD，即CD＝1+17∵由圆周角定理得：∠B＝∠E，又∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CE＝DC，∵CD＝1+17∴CE＝1+17【点评】本题考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．21．（2023•泰山区校级自主招生）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）连接OE，证明∠OEA＝90°即可；（2）连接OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，利用垂径定理和勾股定理计算出OH的长，进而求出CE的长．【解答】（1）证明：连接OE．∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠EBC，∴∠EBC＝∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA＝∠C，∵∠ACB＝90°，∴∠OEA＝90°∴AC是⊙O的切线；（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，∴OH＝CE，∵BF＝6，∴BH＝3，在Rt△BHO中，OB＝5，∴OH=52∴CE＝4．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线和垂径定理以及勾股定理的运用，具有一定的综合性．22．（2023秋•海门市期中）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）如图2，连结OC，若OC⊥CE，∠EAD＝60°，AC=23，求AD、AC与弧CD【答案】（1）见详解；（2）3+【分析】（1）先判断出∠CBE＝∠D，再用等角的余角相等，即可得出结论；（2）先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO是菱形，求出AC，BC，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CBE＝∠D，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠D+∠CAD＝90°，∴∠CBE+∠CAD＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE；（2）解：由（1）知，∠CBE+∠CAD＝90°，∴∠CBE＝