第02讲 矩形的性质与判定（知识解读+真题演练+课后巩固）（原卷版）

第2讲矩形的性质与判定1、掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系；2、理解并掌握矩形的性质定理、直角三角形斜边中线定理及证明过程;会用矩形的性质定理进行推导证明;3、会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．知识点1：矩形的性质※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）对角线相等（3）四个角都是直角。注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）知识点2：直角三角形斜边上的中线※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。知识点3：矩形的判定※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。（2）对角线相等的平行四边形是矩形。（3）四个角都相等的四边形是矩形。【题型1：矩形的概念和性质】【典例1】（2022•青羊区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AO＝5，AB＝6，则矩形ABCD的面积是（）A．28 B．32 C．48 D．50【变式1-1】（2022春•东城区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝6，则OC＝（）A．12 B． C．6 D．3【变式1-2】（2022春•中山市期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AD的长为（）A．4 B．5 C．3 D．4【变式1-3】（2022•青羊区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AO＝5，AB＝6，则矩形ABCD的面积是（）A．28 B．32 C．48 D．50【典例2】（2022•武功县模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE垂直平分BO，若AE＝2，则OD＝（）A．2 B．3 C．4 D．6【变式2-1】（2022•武功县一模）如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，OP∥AB交BC于点P，连接OD，若OP＝3，AD＝8，则OD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【变式2-2】（2022春•长乐区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝4，BC＝8，则AE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．2【变式2-3】（2022春•增城区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，若AB＝3，BC＝4，则BF的长为（）A． B． C． D．1【题型2：直角三角形斜边上的中线】【典例3】（2022春•防城区期中）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为12km，则M，C两点间的距离为（）A．3km B．4km C．5km D．6km【变式3-1】（2022春•北京期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，则OB＝（）A．5 B．6 C．8 D．10【变式3-2】（2022•宁德模拟）如图，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，若BD＝6，则AO＝．【变式3-3】（2021秋•龙泉驿区期末）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，两对角线交于点O，则BO＝（）A．3 B．4 C．5 D．10【题型3：矩形的判定】【典例4】（2022秋•即墨区期中）要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（）A．测量四边形画框的两个角是否为90° B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分 C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等 D．测量四边形画框的四边是否相等【变式4-1】（2022秋•天府新区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．∠ABC＝90° B．AC＝BDC．AD＝ABD．∠BAD＝∠ADC【变式4-2】（2022春•南谯区校级月考）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是矩形的是（）A．OA＝OB B．BD平分∠ABC C．AD⊥CD D．AB2+AD2＝BD2【变式4-3】（2022秋•运城月考）如图，在▱ABCD中，下列条件①AC＝BD；②∠1+∠3＝90°；③OB＝AC；④∠1＝∠2，能判断▱ABCD是矩形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【典例5】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接DF、CF．（1）求证：四边形ABDF为平行四边形；（2）求证：四边形ADCF为矩形．【变式5-1】（2022•大武口区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、DC上的点，且AE＝CF，∠DEB＝90°．求证：（1）△ADE≌△CBF；（2）四边形DEBF是矩形．【变式5-2】（2021秋•榆阳区期末）如图，点F、C在AD上，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，∠CEF＝90°．求证：四边形BCEF是矩形．【变式5-3】（2022春•开封期中）如图，在▱ABCD中，E是DC边的中点，且EA＝EB．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）求证：▱ABCD是矩形．【题型4：矩形的性质与判定综合】【典例6】（2022秋•顺德区期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AB，延长AB至点E，使BE＝AB，连接EC．（1）求证：四边形BECD是矩形．（2）连接AC，若AD＝3，CD＝2，求AC的长．【变式6-1】（2022秋•滕州市校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．（1）求证：四边形ABDF是矩形；（2）若AD＝10，BD＝8，求△BCF的面积．【变式6-2】（2022秋•高州市月考）如图，在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，F在CD上，CF＝DF，连接OF并延长到E，使FE＝OF，连接CE，DE．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若∠DAB＝60°，AD＝2，求OD的长．【变式6-3】（2022春•长沙期中）如图，已知点E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，且AF＝BC．（1）求证：四边形ABFC为矩形；（2）若△AFD是等边三角形，且边长为，求四边形ABFC的面积．1．（2022•聊城）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（）A．测量两条对角线是否相等 B．度量两个角是否是90° C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D．测量两组对边是否分别相等2．（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD3．（2022•日照）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（）A．27° B．53° C．57° D．63°4．（2022•甘肃）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是．5．（2022•吉林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝．6．（2022•黔东南州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，则四边形OCED的周长是．7．（2022•十堰）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FBD＝55°，则∠A＝°．8．（2021•鞍山）如图，矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AC，垂足为点H，若∠ADH＝2∠CDH，则AD的长为．9．（2021•贺州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，连接GE，GF．若BC＝2GC，则∠EGF＝．10．（2021•连云港）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．11．（2021•长沙）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4．（1）求证：▱ABCD是矩形；（2）求AD的长．12．（2020•北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．13．（2022•丽水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF．（1）求证：△PDE≌△CDF；（2）若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的长．1．（2022春•海曙区校级期中）下列关于矩形的说法正确的是（）A．对角线垂直 B．四个角都是直角 C．有四条对称轴 D．四条边相等2．（2022秋•深圳月考）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若OE＝3，则BC的长为（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2022秋•龙岗区期末）如图，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，∠BDC＝60°，BE＝1，则AB的长为（）A．3 B．2 C． D．4．（2021秋•泗县期末）如图，在矩形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，EO⊥AC于点O，交BC于点E，若△ABE的周长为8，AB＝3，则AD的长为（）A．2 B．5.5 C．5 D．45．（2022春•汉滨区期中）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，连接AE若CD＝6，AE＝10，则AD的长为（）A．12 B．14 C．16 D．206．（2021秋•霞浦县期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝6，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，连接CM，则CM的长为（）A． B． C．﹣ D．﹣7．（2022秋•淮安区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，若CD＝2.5，AB的长为（）A．2.5 B．4 C．5 D．68．（2022春•杨浦区校级期中）下列条件不能判定一个四边形是矩形的是（）A．四个内角都相等 B．四条边都相等 C．对角线相等且互相平分 D．对角线相等的平行四边形9．（2022•南京模拟）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB10．（2021秋•三原县期末）如图，已知点M，O，N在同一直线上，OB，OC分别是∠AOM与∠AON的平分线，AB⊥OB，AC⊥OC，垂足分别为B，C，求证：四边形ACOB是矩形．11．（2022春•涧西区期中）如图，延长平行四边形ABCD的边DC到点F，使得CF＝CD，连接AF，