电磁感应中的力学问题

./电磁感应中的力学问题————导棒问题分类评析电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受到安培力的作用,因此,电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起,解决这类电磁感应中的力学问题,不仅要应用电磁学中的有关规律,如楞次定律、法拉第电磁感应定律、左右手定则、安培力的计算公式等,还要应用力学中的有关规律,如牛顿运动定律、动量定理、动能定理、动量守恒定律、机械能守恒定律等。要将电磁学和力学的知识综合起来应用。基础知识1、．楞次定律、右手定则、左手定则的区别<1>"因动而电"——用右手定则,"因电而动"——用左手定则。<2>在应用楞次定律时,注意"阻碍’’含义可推广为三种表达方式：①阻碍原磁通量的变化；②阻碍导体的相对运动<来拒去留>；③阻碍原电流的变化<自感现象>。2、两种感应电动势：感生和动生电动势3、安培力公式、楞次定律和法拉第电磁感应定律是解决此类问题的重要根据,在应用法拉第电磁感应定律时应注意：①区分、、的含义；②理解E=BLv和的应用。一般用来求平均电动势和感生电动势,E=BLv用来求瞬时电动势和动生电动势；③在匀强磁场中,B、L、v相互垂直,导体平动切割磁感线时E=BLv,绕固定转轴匀速转动时。4、导棒类问题动态电路分析的一般思路：磁通量变化→感应电动势→感应电流→安培力→合外力→加速度→速度→感应电动势→……周而复始地循环,当a=0时,导体达到稳定状态,速度达到最大值．上述分析的过程与思路也可以简明表示如下：处理导体切割磁感线运动有三种观点：<1>力的观点；<2>能量观点；<3>动量观点．这类问题的实质是不同形式能量的转化过程,从功与能的观点人手,弄清导体切割磁感线运动过程中的能量转化关系,往往是解决这类问题的关键,也是处理此类问题的捷径之一。导棒在匀强磁场中常见的运动问题1、单导棒模型常见的几种情况：<1>如下图所示．单杆ab以一定的初速度v0在光滑水平轨道上作加速度越来越小的减速运动,在安培力作用下最终静止,则回路中产生的焦耳热Q=mv2/2。〔2如下图所示,单杆ab在恒定的外力作用下在光滑水平轨道上由静止开始运动,因,故其加速度不断减小,最终当F拉=F时,a=0以速度匀速运动。〔3〔不要求如图所示,单杆ab在恒力F作用下,由静止开始在光滑水平轨道上运动,设电容器的电容为C,t时刻ab杆速度为v,t+△t时刻速度为v+△v,根据以下关系I=△Q/△t△Q=C△U△U=BL△v△v=a△tF-BIL=ma可得金属杆最终以加速度做匀加速运动2、双导棒模型常见情况有：〔1如图所示在光滑水平轨道上,一金属杆ab以初速度v0向右运动,则ab因受安培力做减速运动,而cd因受安培力做加速运动,当两者速度相等时,回路中无感应电流,ab、cd最终以相等的速度做匀速运动,由动量守恒得,〔2如图所示,在光滑水平轨道上,ab杆所在部分轨道宽为L1、cd杆所在部分导轨宽为L2,并设两部分轨道均足够长。金属杆ab以初速v0向右运动。同样由于受安培力作用使ab做减速运动,cd向右加速运动,最终,当满足VabL1=VcdL2的关系时,回路中感应电流为零,ab、cd各以不等的速度作匀速运动,但上述变化过程中,因ab、cd两杆受安培力大小不等,整体受合力不为零,两杆整体的动量不守恒,但可以应用动量定理得到两杆的最终速度。设从开始到稳定时间为△t,回路中平均电流为,由动量定理：解得<3>如图所示,ab杆在恒力作用下由静止开始在光滑水平轨道上运动,最终ab杆和cd杆以共同的加速度运动,而ab杆和cd杆的瞬时速度不等．●双导棒模型情况总结：v=0v=0,2杆受到恒定水平外力作用光滑平行导轨规律开始两杆做变加速运动,稳定时,两杆以相同的加速度做匀变速运动杆1做变减速运动,杆2做变加速运动,稳定时,两杆的加速度为0,以相同速度做匀速运动分析m1=m2r1=r2l1=l2m1=m2r1=r2l1=l2示意图v1≠0v2=0,不受其它水平外力作用。光滑平行导轨条件21vt00vt21B21vB21F[典型例题解析]1、如图所示,两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L,导轨平面与水平面夹角α＝30,导轨电阻不计。磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面斜向上,长为L的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上,且始终与导轨电接触良好,金属棒的质量为m、电阻为R。两金属导轨的上端连接右端电路,电路中R2为一电阻箱,已知灯泡的电阻RL＝4R,定值电阻R1＝2R,调节电阻箱使R2＝12R,重力加速度为g,现将金属棒由静止释放,求：〔1金属棒下滑的最大速度vm；〔2当金属棒下滑距离为s0时速度恰达到最大,求金属棒由静止开始下滑2s0的过程中,整个电路产生的电热；QPM0〔cmMBαaNαbR2QPM0〔cmMBαaNαbR2R1SRL9、〔1当金属棒匀速下滑时速度最大,达到最大时有mgsin＝F安〔1分F安＝BIL〔1分I＝EQ\F<BLvm,R总>〔1分其中R总＝6R〔1分所以mgsin＝EQ\F<B2L2vm,R总>解得最大速度vm＝EQ\F<3mgR,B2L2>〔1分〔2由动能定理WG－Q＝EQ\F<1,2>mvm2〔1分得放出的电热Q＝2mgs0sinα－EQ\F<1,2>mvm2〔1分代入上面的vm值,可得Q＝mgs0－EQ\F<9m3g2R2,2B4L4>〔2分〔3R2上消耗的功率P2＝EQ\F<U2,R2>其中U＝IR并＝EQ\F<BLvR并,3R＋R并>〔1分R并＝EQ\F<4RR2,4R＋R2>又mgsin＝EQ\F<B2L2v,3R＋R并>〔1分解得P2＝EQ\F<m2g2sin2,B2L2>EQ\F<16R2R2,<4R＋R2>2>＝EQ\F<m2g2sin2,B2L2>EQ\F<16R2,EQ\F<16R2,R2>＋8R＋R2>〔1分当R2＝RL＝4R时,R2消耗的功率最大〔1分最大功率P2m＝EQ\F<m2g2R,4B2L2>〔1分2、如图甲所示〔俯视图,相距为2L的光滑平行金属导轨水平放置,导轨一部分处在以OO/为右边界匀强磁场中,匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直导轨平面向下,导轨右侧接有定值电阻R,导轨电阻忽略不计。在距边界OO/也为L处垂直导轨放置一质量为m、电阻不计的金属杆ab。求解以下问题：〔1若ab杆固定在轨道上的初始位置,磁场的磁感应强度在时间t由B均匀减小到零,求此过程中电阻R上产生的焦耳热为Q1。〔2若磁场的磁感应强度不变,ab杆在恒力作用下由静止开始向右运动3L距离,其v--x的关系图像如图乙所示。求①ab杆在刚要离开磁场时的加速度大小；②此过程中电阻R上产生的焦耳热Q2。解析:23.〔18分〔1磁场的磁感应强度在时间t由B均匀减小到零,说明此过程中的感应电动势为①通过R的电流为②此过程中电阻R上产生的焦耳热为③,联立①②③求得〔2①ab杆离起始位置的位移从L到3L的过程中．由动能定理可得④ab杆刚要离开磁场时,感应电动势⑤通过R的电流为⑥水平方向上受安培力和恒力F作用安培力为：⑦联立⑤⑥⑦解得⑧由牛顿第二定律可得：⑨联立④⑧⑨解得②ab杆在磁场中由起始位置发生位移L的过程中,根据功能关系,恒力F做的功等于ab杆增加的动能与回路产生的焦耳热之和,则⑩联立④⑩解得3、如图所示,足够长的金属导轨MN和PQ与R相连,平行地放在水平桌面上,质量为m的金属杆可以无摩擦地沿导轨运动．导轨与ab杆的电阻不计,导轨宽度为L,磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过整个导轨平面．现给金属杆ab一个瞬时冲量I0,使ab杆向右滑行．〔1求回路的最大电流．〔2当滑行过程中电阻上产生的热量为Q时,杆ab的加速度多大？〔3杆ab从开始运动到停下共滑行了多少距离？解：〔1由动量定理I0=mv0–0得v0=EQ\F<I0,m>〔2分金属杆在导轨上做减速运动,刚开始时速度最大,感应电动势也最大,有：Em=BLv〔1分所以回路的最大电流Im=EQ\F<BLv0,R>=EQ\F<BLI0,mR>．〔1分<2>设此时杆的速度为v,由能的转化和守恒有：Q=EQ\F<1,2>mv2-EQ\F<1,2>mv20〔2分解得：v=EQ\F<1,m>EQ\R<,2mQ+I02>〔1分由牛顿第二定律得：BIL=ma〔1分由闭合电路欧姆定律得：I=EQ\F<BLv,R>〔1分解得：a=EQ\F<B2L2,m2R>EQ\R<,2mQ+I02>．〔1分〔3对全过程应用动量定理有：—BIL·Δt=0–I0〔2分而I=EQ\F<Δφ,Δt·R>=EQ\F<BLx,Δt·R>〔2分解得：x=EQ\F<I0R,B2L2>．〔2分aFBsdbRMNPM′N′P′4、如图所示,两根正对的平行金属直轨道MN、M´N´位于同一水平面上,两轨道之间的距离l=0.50m,轨道的MM´端之间接一阻值R=0.40Ω的定值电阻,NN´端与两条位于竖直面的半圆形光滑金属轨道NP、N´P´平滑连接,两半圆轨道的半径均为R0=0.50m．直轨道的右端处于竖直向下、磁感应强度B=0.64T的匀强磁场中,磁场区域的宽度d=0.80m,且其右边界与NN´重合．现有一质量m=0.20kg、电阻r=0.10Ω的导体杆ab静止在距磁场的左边界s=2.0m处．在与杆垂直的水平恒力F=2.0N的作用下ab杆开始运动,当运动至磁场的左边界时撤去FaFBsdbRMNPM′N′P′〔1导体杆刚进入磁场时,通过导体杆上的电流大小和方向；〔2导体杆穿过磁场的过程过电阻R上的电荷量；〔3导体杆穿过磁场的过程中整个电路中产生的焦耳热解：〔1设导体杆在F的作用下运动至磁场的左边界时的速度为v1,根据动能定理则有〔F-μmgs=mv12〔2分导体杆刚进入磁场时产生的感应电动势E=Blv1此时通过导体杆上的电流大小I=E/〔R+r=3.8A〔或3.84A〔1分根据右手定则可知,电流方向为由b向a〔1分〔2设导体杆在磁场中运动的时间为t,产生的感应电动势的平均值为E平均,则由法拉第电磁感应定律有E平均=△φ/t=Bld/t〔1分通过电阻R的感应电流的平均值I平均=E平均/〔R+r〔1分通过电阻R的电荷量q=It=0.512C〔或0.51C〔1分〔3设导体杆离开磁场时的速度大小为v2,运动到圆轨道最高点的速度为v3,因导体杆恰好能通过半圆形轨道的最高点,根据牛顿第二定律对导体杆在轨道最高点时有mg=mv32/R0〔1分对于导体杆从NN′运动至PP′的过程,根据机械能守恒定律有mv22=mv32+mg2R0〔2分解得v2=5.0m/s<1分>导体杆穿过磁场的过程中损失的机械能△E=mv12－mv22=1.1J〔1分5、如图所示,有上下两层水平放置的平行光滑导轨,间距是L,上层导轨上搁置一根质量是m、电阻是r的金属杆ST,下层导轨末端紧接着两根竖立在竖直平面的半径为R的光滑绝缘半圆形轨道,在下层导轨末端处搁置一质量也是m、电阻也是r的金属杆AB。上下两层平行导轨所在区域里有一个竖直向下的磁感应强度大小为B的匀强磁场。当闭合开关S后,金属杆AB滑离下层导轨进入半圆形轨道并且刚好能通过半圆形轨道最高点后滑上上层导轨。设上下两层导轨都足够长,电阻不计。试求：〔1金属杆AB刚进入绝缘半圆形轨道时的速度大小；〔2金属杆AB在上层导轨上滑动时,回路中的最大电流为多少;〔3从金属杆AB滑到上层导轨到具有最终速度这段时间,上层导轨回路中有多少能量转化为能。11、解：〔1设金属杆AB进入半圆形轨道时的速度为V1,金属杆AB刚好能通过半圆形轨道最高点,设此时速度为V2,则：① 〔2分又金属杆在运动过程中,机械能守恒：

②〔3分解①②得：, 〔2分〔2金属杆AB刚到上层导轨瞬间电动势最大即③ 〔2分则回路中电流最大：④ 〔2分解③④得： 〔2分〔3以两杆组成的系统为研究对象,在上层导轨上运动时,金属杆AB在安培力作用下减速向左滑动,金属杆ST在安培力作用下加速向左滑动,最终两杆速度相同时回路电流为零,此时安培力为零,此时的速度为最终速度,设为V3,在此过程中,系统所受合外力始终为零,则系统动量守恒。即：⑤〔2分由能量守恒定律得：能⑥ 〔2分解以上式得： 〔2分6、如图所示,水平虚线L1、L2之间是匀强磁场,磁场方向水平向里,磁场高度为h。竖直平面有一等腰梯形线框,底边水平,其上下边长之比为5:1,高为2h。现使线框AB边在磁场边界L1的上方h高处由静止自由下落,当AB边刚进入磁场时加速度恰好为0,在DC边刚进入磁场前的一段时间,线框做匀速运动。求:〔1DC边刚进入磁场时,线框的加速度×××××××××××L21hhBhABhCABhDCABhL1〔2从线框开始下落到DC边刚进入磁场的过程中,线框的机械能损失和重力做功之比<1>设AB边刚进入磁场时速度为0,线框质量为m、电阻为R,AB=l,则CD=5l则mgh=m02<1分>AB刚进入磁场时有,=mg<2分>设线框匀速运动时速度为1E感==B<2l>1〔1分线框匀速运动时有=mg；得出1=0/4〔1分CD刚进入磁场瞬间,E'感=B<3l>1〔1分FI=9mg/4<1分>a=5g/4<1分><2>从线框开始下落到CD边进入磁场前瞬间,根据能量守恒定律得：mg<3h>-Q=m12<2分>机械能损失△E=Q=mgh<1分>所以,线框的机械能损失和重力做功之比△E：WG=47：48<1分>7、如图所示,电阻忽略不计的、两根两平行的光滑金属导轨竖直放置,其上端接一阻值为３Ω的定值电阻R。在水平虚线L1、L2间有一与导轨所在平面垂直的匀强磁场B,磁场区域的高度为d=0.5m。导体棒a的质量ma=0.2kg、电阻Ra=3Ω；导体棒b的质量mb=0.1kg、电阻Rb=6Ω,它们分别从图中M、N处同时由静止开始在导轨上无摩擦向下滑动,且都能匀速穿过磁场区域,当b刚穿出磁场时a正好进入磁场.设重力加速度为g=10m/s2。〔不计a、b之间的作用求：〔1在整个过程中,a、b两棒克服安培力分别做的功；〔2M点和N点距L1的高度。解析：<1>Wa=magd=1.0JWb=mbgd=0.5J〔2b在磁场中匀速运动时：速度为,总电阻R1=7.5Ωb中的电流①由以上各式得：②同理,a棒：③由以上各式得,④⑤⑥⑦⑧由④⑤⑥⑦⑧得Ha=⑨Hb=m⑩8、<2009届一中高三第一次模拟考试>如图,abcd是位于竖直平面的正方形闭合金属线框,金属线框的质量为m,电阻为R,在金属线框的下方有一匀强磁场区,MN和是匀强磁场区域的水平边界,并与线框的bc边平行,磁场方向与线框平面垂直,现金属线框由距MN的某一高度从静止开始下落,下图2是金属线框由开始下落到完全穿过匀强磁场区域瞬间的速度一时间图象,图象中坐标轴上所标出的字母均为已知量,求：〔1金属框的边长；〔2磁场的磁感应强度；〔3金属线框在整个下落过程中所产生的热量。〔1金属框进入磁场过程中做匀速直线运动,速度为v1,运动时间为t2－t1,所以金属框的边长〔2在金属框进入磁场的过程中,金属框所受安培力等于重力〔3金属框进入磁场过程中产生热量Q1,出磁场时产生热量Q29、〔08··15<16分>如图所示,间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ,导轨光滑且电阻忽略不计．场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直,磁场区域的宽度为d1,间距为d2．两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上,并与导轨垂直．<设重力加速度为g><1>若a进入第2个磁场区域时,b以与a同样的速度进入第1个磁场区域,求b穿过第1个磁场区域过程中增加的动能△Ek．<2>若a进入第2个磁场区域时,b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时,b又恰好进入第2个磁场区域．且a．b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相．求b穿过第2个磁场区域过程中,两导体棒产生的总焦耳热Q．<3>对于第<2>问所述的运动情况,求a穿出第k个磁场区域时的速率答案〔1穿过地1个磁场区域过程中增加的动能；〔2；〔3解析：<1>a和b不受安培力作用,由机械能守恒定律知,……①<2>设导体棒刚进入无磁场区域时的速度为v1刚离开无磁场区域时的速度为v2,由能量守恒知：在磁场区域中,……②在无磁场区域中,……③解得……④<3>在无磁场区域：根据匀变速直线运动规律……⑤且平均速度……⑥有磁场区域：棒a受到的合力……⑦感应电动势……⑧感应电流