习题课-数列的综合问题

综合考法一等差、等比数列的综合问题[典例]数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．(1)求{an}的通项公式；(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.[解]

(1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝2an，则an＋1＝3an(n≥2)．因为a1＝S1＝1，a2＝2S1＋1＝3，所以a2＝3a1.故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1.[方法技巧]等差、等比数列的综合问题的解题技巧(1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想、通项公式和前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论．(2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即{an}为等差数列⇔{aan}(a＞0且a≠1)为等比数列；{an}为正项等比数列⇔{logaan}(a＞0且a≠1)为等差数列．

[针对训练]设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)，已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值．综合考法二数列的实际应用问题[典例]实施“二孩”政策后，专家估计某地区人口总数将发生如下变化：从2021年开始到2030年，每年人口总数比上一年增加0.5万人，从2031年开始到2040年，每年人口总数为上一年的99%.已知该地区2020年人口总数为45万．(1)求实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式(记2021年为第一年)；(2)若“二孩”政策实施后，2021年到2040年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2040年结束后是否需要调整政策？(参考数据：0.9910≈0.9)[方法技巧]数列在实际应用中的常见模型等差模型如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差等比模型如果后一个量与前一个量的比是一个固定的非零常数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比递推数列模型如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑考查的是第n项an与第(n＋1)项an＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系还是前n项和Sn与前(n＋1)项和Sn＋1之间的递推关系[针对训练]一件家用电器用分期付款的方式购买，单价为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的第1个月为分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部货款付清后，买这件家用电器实际花了多少钱？综合考法三数列与不等式相结合数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．[典例]已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2,4Sn＝anan＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；[解]

(1)∵4Sn＝anan＋1，n∈N*，∴4a1＝a1·a2，又a1＝2，则a2＝4.当n≥2时，4Sn－1＝an－1an，得4an＝anan＋1－an－1an.由题意知an≠0，∴an＋1－an－1＝4.当n＝2k＋1，k∈N*时，a2k＋2－a2k＝4，即a2，a4，…，a2k是首项为4，公差为4的等差数列，∴a2k＝4＋(k－1)×4＝4k＝2×2k；当n＝2k，k∈N*时，a2k＋1－a2k－1＝4，即a1，a3，…，a2k－1是首项为2，公差为4的等差数列，∴a2k－1＝2＋(k－1)×4＝4k－2＝2(2k－1)．综上可知，an＝2n，n∈N*.[方法技巧]数列与不等式相结合问题的解题策略(1)数列与不等式的综合问题，如果是证明题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式，往往采用因式分解法或数轴穿