广东省实验中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题

试卷第=page44页，共=sectionpages44页试卷第=page33页，共=sectionpages44页广东省实验中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、单选题1．设集合，，则（

）A． B． C． D．2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（

）A．， B．，C．， D．，3．已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．4．在中，是的（

）.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知函数，则（

）A． B． C． D．6．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是A． B．C． D．7．函数的部分图象如图所示，将其向右平移个单位长度后得到的函数解析式为（

）A． B．C． D．8．方程的实数解的个数是（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列各式中，值为的是（

）A． B．C． D．10．已知为正实数，则下列判断中正确的是（

）A． B．若，则的最大值为2C．若，则 D．若，则的最小值是811．已知函数下列说法正确的是（

）A．若，则有2个零点 B．的最小值为C．在区间上单调递减 D．是的一个周期12．已知函数，其中，且的，若对一切恒成立，则（

）A． B．C．是奇函数 D．是奇函数三、双空题13．已知函数的最小正周期是，则____，单调递增区间是________.四、填空题14．命题“所有三角形都有内切圆”的否定是_________________．15．已知角的终边在直线上，则__________．16．已知函数，若、、、、满足，则的取值范围为______.五、解答题17．计算下列各式的值：（1）；（2）18．已知幂函数，且在上是减函数．（1）求的解析式；（2）若，求的取值范围．19．已知函数（1）求函数的最小正周期、对称轴和对称中心；（2）若锐角满足，且满足，求的值．20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼蓝（其覆盖面积为k），这些凤眼蓝在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼蓝的覆盖面积为，三月底测得凤眼的覆盖面积为，凤眼蓝的覆盖面积y（单位：）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并说明理由，求出该模型的解析式；（2）求凤眼蓝的覆盖面积是元旦放入凤眼蓝面积10倍以上的最小月份．（参考数据：）．21．已知定义域为R的函数，是奇函数．（1）求的值；（2）判断单调性并证明；（3）若，不等式恒成立，求k的取值范围．22．已知函数为的零点，为图象的对称轴．（1）若在内有且仅有6个零点，求；（2）若在上单调，求的最大值．答案第=page1212页，共=sectionpages1212页答案第=page1313页，共=sectionpages1313页参考答案：1．C【解析】求出集合，然后直接利用集合的交集与补集的概念求解即可．【详解】因为集合，，，.故选：C．2．A【分析】依次判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否完全相同，由此可得结果.【详解】对于A，与定义域均为，，与为相等函数，A正确；对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.故选：A.3．D【解析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.【详解】因为，，，所以，故选：D4．B【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定，即可求解，得到答案.【详解】在中，若，可得，满足，即必要性成立；反之不一定成立，所以在中，是的必要不充分条件.故选B.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，其中解答中熟练应用三角函数的性质是解答的关键，属于基础题.5．A【解析】采用换元法，令，求出，化简后，用替换即可．【详解】解：设，则，，．故选：．6．D【解析】本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.7．C【分析】由函数图象求出、、和的值，写出的解析式，再根据图象平移得出函数解析式．【详解】由函数图象知，，，解得，所以，所以函数；因为，所以，；解得，；又，所以；所以；将函数的图象向右平移个单位长度后，得的图象，即．故选：．8．B【解析】将方程的实数根的个数，转化为两个函数的交点个数.【详解】分别画出函数和的图象，由图象可知两个函数的交点个数是3个，所以方程程的实数解的个数是3个.故选：B9．BC【分析】运用二倍角公式，结合诱导公式和特殊角的三角函数值的求法即可得到答案.【详解】选项A，，错误；选项B，，正确；选项C，，正确；选项D，，错误.故选：BC.10．ABC【分析】利用不等式和基本不等式的性质对每一选项进行判断即可．【详解】解：已知，为正实数，，当且仅当是取等号，故，所以正确；因为正实数，满足，，化为：，当且仅当时取等号，则，其最大值是2．则的最大值为2，所以正确；若，，为正实数，由不等式性质有，所以正确；若，，所以不正确；故选：．11．CD【分析】利用余弦的二倍角公式展开，并利用换元法令，，根据一元二次函数的性质求得原函数的性质，并对选项一一分析.【详解】令，，则，若，是函数的零点，即，共4个零点，故A错误；，函数单增，则当时，取最小值为-1，故B错误；时，，，函数单增，单减，由复合函数单调性知，在区间上单调递减，故C正确；，则是的一个周期，故D正确；故选：CD12．BC【分析】由，可知为的一条对称轴，结合辅助角公式，可得，进而可得，再分别判断选项即可.【详解】由题意得，，因对一切恒成立，故，即，计算得，故.对于选项A，，，虽然，但时正负不知，故与无法比较大小，故A错；对于选项B，因，所以，故B正确；对于选项C，因，所以为奇函数，故C正确；对于选项D，，所以为偶函数，故D错.故选：BC.【点睛】本题主要考查了辅助角公式的应用以及三角函数的图像性质.对于图像性质问题，一般情况下需先把解析式化成的形式，再结合的图像性质即可解决.13．

【解析】利用函数的周期公式，即可求出结果；利用整体角思维，结合正弦曲线的单调增区间求得结果.【详解】由题意可知，，所以；由，解得，所以函数的递增区间为：.故答案为：①；②.【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，设计地的知识点有正弦型函数的最小正周期，正弦型函数的单调增区间，属于简单题目.14．“存在一个三角形没有内切圆”【分析】根据全称命题的否定方法：改量词，否结论，由此得到结果.【详解】解：全称命题“所有三角形都有内切圆”，它的否定是特称命题：“存在一个三角形没有内切圆”，故答案为：“存在一个三角形没有内切圆”.15．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【详解】解：角的终边在直线上，，．故答案为：．16．【解析】设，作出函数的图象，可得，利用对称性可得，由可求得，进而可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】作出函数的图象如下图所示：设，当时，，由图象可知，当时，直线与函数的图象有五个交点，且点、关于直线对称，可得，同理可得，由，可求得，所以，.因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.17．（1）；（2）【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）根据对数的运算法则及对数恒等式计算可得；【详解】解：（1）；.18．（1）；（2）或．【解析】（1）根据幂函数的定义和单调性建立条件关系即可得到结论，（2）令，根据其单调性即可求解结论．【详解】解：（1）函数是幂函数，，即，解得或，幂函数在上是减函数，，即，，（2）令，因为的定义域为，，，且在和上均为减函数，，或或，解得或，故的取值范围为：或．19．（1）最小正周期，对称轴，对称中心；（2）或.【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，可得，再根据正弦型函数的最小正周期计算公式、对称轴方程的计算公式、对称中心的计算公式求解出对应结果；（2）根据已知条件结合二倍角的余弦公式求解出的值，从而可求的值，根据角的配凑将写成，然后结合两角差的余弦公式求解出结果.【详解】（1）因为，所以，所以最小正周期；令，解得，所以对称轴方程为；令，解得，所以对称中心为；（2）因为，所以，所以且为锐角，所以，所以，所以，又因为，所以，当时，，当时，，由上可知，或.20．（1）理由见解析，函数模型为；（2）六月份.【分析】（1）由凤眼蓝在湖中的蔓延速度越来越快，故选符合要求，根据数据时，时代入即可得解；（2）首先求时，可得元旦放入凤眼蓝的覆盖面积是，解不等式即可得解.【详解】（1）两个函数与在上都是增函数，随着的增加，指数型函数的值增加速度越来越快，而函数的值增加越来越慢，由凤眼蓝在湖中的蔓延速度越来越快，故选符合要求；由时，由时，可得，解得，故该函数模型的解析式为；（2）当时，，元放入凤眼蓝的覆盖面积是，由，得所以，由，所以.所以凤眼蓝的覆盖面积是元旦放入凤眼蓝面积10倍以上的最小月份是六月份.21．（1）；（2）在上单调递减，证明见解析；（3）【分析】（1）由为上的奇函数可知，由此求解出的值，再将的值代入进行检验即可；（2）利用定义法证明的单调性，先任取，然后通过计算的值与比较大小，由此可得的大小关系，则单调性可知；（3）先根据函数的奇偶性和单调性将问题转化为“对恒成立”，然后对进行分类讨论：，再通过分离参数并结合基本不等式求解出关于的式子的最值，从而求解出的取值范围.【详解】解：由于定义域为的函数是奇函数，则即，解得，即有，下面检验：，且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故符合；在上是减函数.证明：设任意，，由于，则，即有，则有，故在上是减函数；不等式，由奇函数得到，，再由在上是减函数，则，即有对恒成立，当时，，显然成立；当时，，，当且仅当时，取得等号，则；当时，，又，当且仅当时，取得等号，则；综上可得的范围是22．（1）；（2）.【分析】（1）根据的零点和对称中心确定出的取值情况，再根据在上的零点个数确定出，由此确定出的取值，结合求解出的取值，再根据以及的范围确定出的取值，由此求解出的解析式；（2）先根据在上单调确定出的范围，由此确定出的可取值，再对从大到小进行分析，由此确定出的最大值.【详解】（1）因为是的零点，为图象的对称轴，所以，所以，因为在内有且仅有个零点，分析正弦函数函数图象可知：个零点对应的最短区间长度为，最长的区间长度小于，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，代入，所以，所以，所以，又因为，