非线性方程的数值求法牛顿迭代法和弦截法

用迭代法可逐步精确方程根的近似值，但必须要找到的等价方程,如果选得不适宜,不仅影响收敛速度,而且有可能造成迭代格式发散。能否找到一种迭代方法,既结构简单,收敛速度快,又不存在发散的问题。这就是本节要介绍的牛顿迭代法7.4.1牛顿迭代法的根本思想牛顿迭代法一种重要和常用的迭代法,它的根本思想是将非线性函数f(x)逐步线性化,从而将非线性方程f(x)=0近似地转化为线性方程求解。7.4

牛顿迭代法

●算法推导

设存在的某一邻域,使得非线性函数

取迭代初值,满足1.建立从的迭代公式将在点一阶Taylor展开：考虑是的单根由（因为）2.建立从的迭代公式将在点一阶Taylor展开：依此类推，可得一般的迭代格式：上述迭代格式称为求的解的牛顿迭代法。●几何意义在点处作的切线，切线方程为：求该切线与轴交点的横坐标，正是的值，即●依次类推，在点处作的切线，切线方程为：求该切线与轴交点的横坐标，正是的值，即∴牛顿迭代法又称为切线求根法。

●牛顿迭代法的收敛条件与收敛速度〔针对单根而言〕定理设则由牛顿迭代法产生的迭代序列局部收敛于，且为平方收敛。证明：在牛顿迭代法的迭代格式中，迭代函数为：∵在的邻域内具有二阶连续导数，∴又牛顿迭代法局部收敛于又即有：牛顿迭代法具有二阶〔平方〕收敛速度。注.定理要求充分接近(局部收敛)，充分的程度没有具体的描述，而且若的值没有取好，有可能得不到收敛的结果。以下定理，给出了满足一定的条件时，要使得牛顿迭代法收敛，应满足什么条件。又牛顿迭代法局部收敛于又即有：牛顿迭代法具有二阶〔平方〕收敛速度。注.定理要求充分接近(局部收敛)，充分的程度没有具体的描述，而且若的值没有取好，有可能得不到收敛的结果。以下定理，给出了满足一定的条件时，要使得牛顿迭代法收敛，应满足什么条件。定理设在区间上的二阶导数存在，且满足：①（保证中至少存在一个根）②（保证牛顿迭代法能做下去及方程在上只有一个根）③保持符号不变。（保证在上是上凸或下凸的）④初始值（保证从出发的）则牛顿迭代法产生的迭代序列收敛于在区间的唯一根。yx0B=x0f´´(x)>0xn+1X*ayx0Bf´´(x)>0a=x0yx0B=x0f´´(x)<0ayx0Bf´´(x)<0a=x0yx10x0X*0x0X*x2不满足迭代条件时，可能导致迭代值远离根的情况而找不到根或死循环的情况7.4.4牛顿迭代法的算法实现例.

用Newton迭代法建立求的迭代公式.解：第一步，将原问题转化为求某一非线性方程的根的问题方程1

有根号不方便计算方程2

其正根为关于方程2

的Newton迭代公式如下：利用上述保证条件，令取区间注意：当时，可以验证，条件①②③成立取作初始值，则条件④成立那么有：例用简单迭代法和牛顿迭代法求方程在附近的根，取解法一：用简单迭代法对方程建立迭代格式：取，计算可得：（在第26步才达到要求）解法二：用牛顿迭代法对方程建立牛顿迭代格式：取，计算可得：〔在第三步就到达要求〕比较：后者(收敛阶为2)比前者(收敛阶为1)的收敛快。

重根的处理

设的重根（），即●

直接利用牛顿迭代法求解

迭代格式为：

收敛阶为1.即直接用牛顿迭代法求解，效果并不理想.推导过程如下：显然，即上述迭代格式确实可构造求方程的根的迭代格式。迭代格式：又令(*)两边同时减去若收敛，即当时，∴对重根用牛顿迭代方法只是线性收敛。20精选ppt●用改进的牛顿迭代法来求解改进的牛顿迭代法I:其收敛阶为2.〔推导过程：若收敛，即∴此种改进的牛顿迭代方法是平方收敛。改进的牛顿迭代法II:〔将重根情形化为单根情形〕迭代格式为：其中，其收敛速度为平方收敛.（令说明是的单根。用牛顿迭代法求的根求的重根）〔2〕改进的牛顿迭代法I:〔1〕牛顿迭代法:〔3〕改进的牛顿迭代法II:24精选pptkxk(1)(2)(3)0123x0x1x2x31.51.4583333331.4366071431.4254976191.51.4166666671.4142156861.4142135621.51.4117647061.4142114381.41421356225精选pptNewton下山法

原理：若由xk

得到的xk+1不能使|f|减小，则在xk和xk+1之间找一个更好的点，使得。xkxk+1注：

=1时就是Newton迭代公式。当

=1代入效果不好时，将

减半计算。7.5弦截法牛顿迭代法虽然具有收敛速度快的优点，但每迭代一次都要计算导数,当比较复杂时,不仅每次计算带来很多不便，而且还可能十分麻烦，如果用不计算导数的迭代方法，往往只有线性收敛的速度。本节介绍的弦截法便是一种不必进行导数运算的求根方法。弦截法在迭代过程中不仅用到前一步处的函数值，而且还使用处的函数值来构造迭代函数，这样做能提高迭代的收敛速度。7.5.1弦截法的根本思想为防止计算函数的导数，使用差商替代牛顿公式中的导数,便得到迭代公式

称为弦截迭代公式，相应的迭代法称为弦截法。7.5.2弦截法几何意义弦截法也称割线法,其几何意义是用过曲线上两点、的割线来代替曲线,用割线与x轴交点的横座标作为方程的近似根再过P1点和点作割线求出,再过P2点和点作割线求出,余此类推，当收敛时可求出满足精度要求的可以证明，弦截法具有超线性收敛，收敛的阶约为1.618，它与前面介绍的一般迭代法一样都是线性化方法，但也有区别。即一般迭代法在计算时只用到前一步的值，故称之为单点迭代法；而弦截法在求时要用到前两步的结果和，使用这种方法必须给出两个初始近似根，这种方法称为多点迭代法。

例12用弦截法求方程在初始值邻近的一个根。要求解：取,,令利用弦截迭代公式计算结果，易见取近似根那么可满足精度要求。7.5.3

弦截法算法实现

非线性方程的解通常叫做方程的根,也叫做函数的零点,本章讨论了求解非线性方程近似根常用的一些数值方法。先