达朗贝尔原理

§14-1惯性力·质点的达朗贝尔原理人用手推车力为F，车的加速度为a。

是因为人要改变车的运动状态，由于车的惯性（小车要保持原来的运动状态）而引起的对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力。一、惯性力的概念

由牛顿第二定律：施力物体(人手)也受到一个力根据作用与反作用定律：1精选ppt质点受力作用而改变运动状态时，由于本身的惯性对施力物体的反作用力。质点惯性力定义：[注]1：质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施力体反作用力的合力。[注]2：惯性力的作用点在施力体上。质点惯性力在坐标轴上的投影：ForceofInertia2精选ppt

非自由质点M，质量m，受主动力，约束力作用，质点的加速度为：质点的达朗伯原理二、质点的达朗伯原理将移项，得：代入上式，得：如果在质点上除了作用真实的主动力和约束力外，再假想地加上惯性力，那么这些力在形式上组成一平衡力系。这就是质点的达朗伯原理3精选ppt

该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。4精选ppt如下图一圆锥摆。质量m=0.1kg的小球系于长l=0.3m的绳上，绳的一端系在固定点O，并与铅直线成θ=60º角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力F的大小。Olθ例题1

例题达朗贝尔原理5精选ppt以小球为研究的质点。质点作匀速圆周运动，只有法向加速度，在质点上除作用有重力mg和绳拉力F外，再加上法向惯性力F*，如下图。取上式在自然轴上的投影式，有：根据达朗贝尔原理，这三力在形式上组成平衡系，即解：OlθenetebmgFF*例题1

例题达朗贝尔原理6精选ppt解得：例题1

例题达朗贝尔原理OlθenetebmgFF*7精选ppt例题2

例题达朗贝尔原理列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度

，相对于车厢静止。求车厢的加速度。8精选ppt例题2

例题达朗贝尔原理4、由动静法,有：

解得2、受力分析：惯性力

3、运动分析：车作平动方向如下图1、研究对象：摆锤M解：9精选ppt例题2

例题达朗贝尔原理

角随着加速度的变化而变化，当不变时，

角也不变。只要测出

角，就能知道列车的加速度。摆式加速计的原理。10精选ppt球磨机是一种破碎机械，在鼓室中装进物料和钢球，如下图。当鼓室绕水平轴转动时，钢球被鼓室携带到一定高度，此后脱离壳壁而沿抛物线轨迹落下，最后与物料碰撞以到达破碎的目的。如鼓室的转速为nr/min，直径为D。设钢球与壳壁间无滑动，试求最外层钢球的脱离角α。ωα例题3

例题达朗贝尔原理11精选pptαω应用质点动静法

以钢球为研究对象。设钢球的质量为m。受力如图示。

鼓室以匀角速度ω转动，钢球尚未脱离壳壁时，其加速度为：加惯性力，其大小为解：mgFNFF*例题3

例题达朗贝尔原理12精选ppt即脱离角α与鼓室转速n有关。求得

显然当钢球脱离壳壁时，FN=0，由此可求出其脱离角α为mgFNFαω例题3

例题达朗贝尔原理13精选ppt§16-2质点系的达朗伯原理

质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束反力和它的惯性力形式上组成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。

设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有主动力的合力约束反力的合力质点的惯性力14精选ppt

质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束反力和它的惯性力形式上组成平衡力系。——质点系的达朗伯原理。注意到 ,将质点系受力按内力、外力划分,则用方程表示为：15精选ppt

可见：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。公式说明：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成力系。——这是质点系达朗贝尔原理的又一表述。16精选ppt对平面任意力系：对于空间任意力系：

实际应用时,同静力学一样可任意选取研究对象,列平衡方程求解。用动静法求解动力学问题时，17精选ppt

飞球调速器的主轴O1y1以匀角速度w转动。试求调速器两臂的张角a。设重锤C的质量为m1，飞球A，B的质量各为m2，各杆长均为l，杆重可以忽略不计。例题4

例题

达朗贝尔原理18精选ppt

方向如图示。对飞球B应用质点动静法，列出两投影方程：当调速器稳定运转时，飞球B惯性力〔即离心力〕F*垂直并通过主轴，其大小为解：

如把重锤C简化为一质点，它在杆AC，BC的拉力和重力作用下平衡例题4

例题

达朗贝尔原理19精选ppt

由此式可知，调速器两臂的张角α与主轴转动角速度ω有关。利用这个结果可以选择m1，m2，l等参数量，使在某一转速ω下，角α为某一值，从而可以求得重锤C的相应位置，带动调节装置进行调速。以F1值代入前两式，可解出例题4

例题达朗贝尔原理20精选ppt如下图，滑轮的半径为r，质量为m均匀分布在轮缘上，可绕水平轴转动。轮缘上跨过的软绳的两端各挂质量为m1和m2的重物,且m1>m2。绳的重量不计，绳与滑轮之间无相对滑动，轴承摩擦忽略不计。求重物的加速度。OABr例题5

例题达朗贝尔原理21精选ppt

以滑轮与两重物一起组成的质点系为研究对象。OABraam1gmgm2gFNy解：m1>m2，那么重物的加速度a方向如下图。在系统中每个质点上假想地加上惯性力后，可以应用达朗贝尔原理。

重物的惯性力方向均与加速度a的方向相反，大小分别为：例题5

例题达朗贝尔原理22精选ppt滑轮边缘上各点的质量为mi，切向惯性力的大小为，方向沿轮缘切线，指向如下图。当绳与轮之间无相对滑动时，at=a;法向惯性力的大小为方向沿半径背离中心。或OABraam1gmgm2gFNymi应用对转轴的力矩方程MO〔F〕=0，得例题5

例题达朗贝尔原理23精选ppt因为解得例题5

例题

达朗贝尔原理OABraam1gmgm2gFNymi24精选ppt§16-3刚体惯性力系的简化简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力〔主矢〕和一个惯性力偶〔主矩〕。

无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。下面讨论刚体作平动、定轴转动和平面运动时惯性力偶〔主矩〕。25精选ppt一、刚体作平动向质心C简化：刚体平动时惯性力系可以简化为通过质心的合力,其大小等于刚体的质量与加速度的乘积,合力的方向与加速度方向相反。质心相对质心的距离。26精选ppt二、定轴转动刚体向转轴上任一点O简化：刚体上任一点i的惯性力：下面分别计算惯性力系对x，y，z轴的矩，分别以MIx

，MIy，MIz表示27精选ppt令：称为对z轴的惯性积，它取决于刚体质量对于坐标轴的分布情况28精选ppt刚体定轴转动时，惯性力系向转轴上任一点O简化的主矩为如果刚体具有垂直于转轴的质量对称平面，简化中心O取为此平面与转轴的交点，那么惯性力系简化的主矩为当刚体质量有对称平面且绕垂直于此对称面的轴作定轴转动时，惯性力系向转轴简化为此对称面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度的转向相反。

29精选ppt向O点简化：〔转轴〕向质点C点简化：作用在C点。作用在O点。30精选ppt讨论：①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C。31精选ppt讨论：②转轴过质点C，但0，惯性力偶〔与反向〕32精选ppt讨论：③刚体作匀速转动，且转轴过质心，那么〔主矢、主矩均为零〕33精选ppt

假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。刚体平面运动可分解为随基点〔质点C〕的平动：绕通过质心轴的转动： 三、刚体作平面运动作用于质心

有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为此平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，其大小等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反；这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度的转向相反。

34精选ppt

对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：实质上：35精选ppt

汽车连同货物的总质量是m

，其质心C

离前后轮的水平距离分别是b

和c

，离地面的高度是h

。当汽车以加速度a沿水平道路行驶时，求地面给前、后轮的铅直反力。轮子的质量不计。ABCcbh例题6

例题达朗贝尔原理36精选pptABCcbh

取汽车连同货物为研究对象。解：运动分析加惯性力：汽车作平动，F*

=

Ma，加在质心C

。于是可写出汽车的动态平衡方程F*aFBmgFNAFNB例题6

例题达朗贝尔原理受力分析：mg，

FNA，FNB

以及FB

(注意：前轮一般是被动轮，当忽略轮子质量时，其摩擦力可以不计)。由式(1)和(2)解得37精选ppt起重装置由匀质鼓轮D〔半径为R，重为W1〕及均质梁AB〔长l=4R，重W2=W1〕组成，鼓轮通过电机C〔质量不计〕安装在梁的中点，被提升的重物E重。电机通电后的驱动力矩为M，求重物E上升的加速度a及支座A，B的约束力FNA及FNB。OABACDE例题7

例题达朗贝尔原理38精选ppt以鼓轮D，重物E及与鼓轮固结的电机转子所组成的系统〔图b〕为研究对象。解：O(b)

WMODEW1其中解得FOxFOyα例题7

例题达朗贝尔原理M为电机定子作用在转子的驱动力矩。39精选ppt2.考虑整个系统〔图c〕，加惯性力后受力如图。OAB

WW2FNAACDEFNBW1(c)FxM*F*例题7

例题

达朗贝尔原理40精选ppt

半径为R，重量为W1的大圆轮，由绳索牵引，在重量为W2的重物A的作用下，在水平地面上作纯滚动，系统中的小圆轮重量忽略不计。求大圆轮与地面之间的滑动摩擦力。AOCW1W2R例题8

例题达朗贝尔原理41精选ppt

解：

考察整个系统，有4个未知约束力。

如果直接采用动静法，需将系统拆开。因为系统为一个自由度，所以考虑先应用动能定理，求出加速度，再对大圆轮应用动静法。1.应用动能定理。例题8

例题达朗贝尔原理AOCRW1W2FFNFOxFOy42精选ppt两边对时间t求导，且得例题8

例题达朗贝尔原理1.应用动能定理。AOCRW1W2FFNFOxFOy43精选ppt2.应用动静法。取轮子为研究对象。CMICFFNW1将代入上式得FOx例题8

例题达朗贝尔原理AOCRW1W2FFNFOyFIRaaFT44精选ppt

用长l

的两根绳子AO

和BO把长

l，质量是m的匀质细杆悬在点O(图a

)。当杆静止时，突然剪断绳子

BO

，试求刚剪断瞬时另一绳子AO

的拉力。OlllBAC〔a〕例题9

例题

达朗贝尔原理45精选ppt

绳子BO剪断后，杆AB将开始在铅直面内作平面运动。由于受到绳OA的约束，点A将在铅直平面内作圆周运动。在绳子BO刚剪断的瞬时，杆AB上的实际力只有绳子AO的拉力F和杆的重力mg。解：

在引入杆的惯性力之前，须对杆作加速度分析。取坐标系Axyz如图(c)所示。aA

=anA

+atA=aCx+aCy+atAC

+anACOllBACmgFθ（b）OxyαBACθ（c）利用刚体作平面运动的加速度合成定理，以质心C作基点，那么点A的加速度为例题9

例题

达朗贝尔原理46精选ppt

在绳BO刚剪断的瞬时，杆的角速度ω=0，角加速度α≠0。因此又anA=0，加速度各分量的方向如图(c)所示。把aA投影到点A轨迹的法线AO上，就得到anAC

=AC·ω2=0atAC=lα／2这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件。即〔1〕〔b〕〔c〕〔c〕例题9

例题

达朗贝尔原理OllBACmgFθ（b）OxyαBACθ（c）47精选ppt

杆的惯性力合成为一个作用在质心的力F*C

和一个力偶M*C，两者都在运动平面内，F*C的两个分量大小分别是F*Cx=maCx,F*Cy=maCy力偶矩M*C的大小是M*C=JCz´α旋向与α相反(如图b)。OllBACmgFθxy〔b〕〔c〕例题9

例题

达朗贝尔原理OxyαBACθ（c）48精选ppt由动静法写出杆的动态平衡方程，有且对于细杆,

JCz´=ml2／12。联立求解方程(1)～(4)，就可求出（2）（3）（4）例题9

例题

达朗贝尔原理OxyαBACθ（c）OllBACmgFθxy49精选ppt

动画达朗贝尔原理偏心情况转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力50精选ppt

动画

达朗贝尔原理偏角情况转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力51精选ppt

动画达朗贝尔原理一般情况转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力52精选ppt

动画

达朗贝尔原理轴承的动反力53精选ppt§16-4绕定轴转动刚体的轴承动反力

一、刚体的轴承动反力

刚体的角速度

，角加速度

（逆时针）主动力系向O点简化:主矢,主矩惯性力系向O点简化:主矢,主矩轴承A处动反力：轴承B处动反力：FAx，FAyFBx，FBy，FBz根据动静法，列平衡方程如下54精选ppt列平衡方程如下由上面五个方程求得轴承动反力55精选ppt由两局部组成，一局部由主动力引起的，不能消除，称为静反力；一局部是由于惯性力系的不平衡引起的，称为附加动反力，它可以通过调整加以消除。使附加动反力为零，须有静反力附加动反力动反力56精选ppt当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。转轴过质心对z轴惯性积为零，z轴为刚体在O点的惯性主轴；57精选ppt静平衡：当刚体转轴通过质心，且刚体除重力外,没有受到其它主动力作用时，那么刚体可以在任意位置静止不动，这种现象称为静平衡。二、静平衡与动平衡的概念

动平衡：当刚体转轴通过质心且为惯性主轴时，刚体转动时，不出现轴承附加动反力，这种现象称为动平衡。58精选ppt

设匀质转子重

W，质心

C

到转轴的距离是

e，转子以匀角速度ω

绕水平轴转动，

AO

=

a

，OB

=

b

(图

a)。假定转轴与转子的对称平面垂直，求当质心

C

转到最低位置时轴承所受的压力。例题10(a

)

例题达朗贝尔原理(a

)

b

a

e

z

C

O

B

A59精选ppt(a

)

b

a

e

z

C

O

B

A解:

轴

Oz是转子在点

O的主轴之一。可见惯性力对点

O的主矩在垂直于

Oz的平面上两轴的投影

M*Cx和M*Cy恒等于零。又

α

=0，这样M*Cz也等于零。因此转子的惯性力合成为作用于点O的一个力

F*C，大小等于方向沿

OC。当质心

C转到最低位置时，轴上实际所受的力如图

b所示。(a

)(a

)

b

a

e

z

C

O

B

A(b

)WFBFA

例题

达朗贝尔原理例题1060精选ppt根据动静法写出动态平衡方程由式(1)和(2)解得两轴承所受的力分别和FA，FB的大小相等而方向相反。

例题达朗贝尔原理(a

)

b

a

e

z

C

O

B

A(b

)WFBFA例题1061精选ppt例题11

例题

达朗贝尔原理质量不计的刚轴以角速度

匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？62精选ppt例题11

例题

达朗贝尔原理静平衡：(b)、(d)动平衡：(

a)

动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。63精选pptOO两个相同的定滑轮如以下图示，开始时都处于静止，问哪个角速度大？(a)绳子上加力G(b)绳子上挂一重