2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版课时分层作业9　幂函数与函数的性质

课时分层作业(九)幕函数与函数的性质

［A组在基础中考查学科功底］

一、选择题

1.如图，函数y=x,y=l的图象和直线x=1将平面直角坐标系的

第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幕函数/U)的图象经过的部分是

④⑧，则4X)可能是()

1

A.y=fB.产也c.y=yD.y—xT2

B［因为函数y=K的图象过④⑧部分，所以函数y=K在第一象限内单调

递减，所以a<0.又易知当x=2时，1<y<1,所以只有B选项符合题意.］

2.定义在R上的奇函数Xx)满足/(x+2)=-Ax),且当无£［0,1］时，凡r)单

调递增，则下列结论正确的是()

A./(25)<A-8)<A11)B.Xll)</(25)<A-8)

C：/U1)勺(一8)勺(25)D.八-8)勺(25)勺(11)

C「.•兀1+2)=—/)，

...火x+4)=/(x),则兀幻的周期为4.

.•.一-8)=/(0)，贝”)=/(一1)，725)=31)，

又xG［O,1］时，/U)单调递增，且兀V)为奇函数，

.•.於)在［-1,1］上单调递增，

•••/(-1)</(0)</(1),

故川1)勺(一8)勺(25).］

3.(2021•全国甲卷)设函数/U)的定义域为R,7U+1)为奇函数，为x+2)为偶

函数，当x£［l,2］时，.*》)=加+尻若八0)+/(3)=6,则)

9375

A.一疝B.—2C.4D.2

D［由于7U+1)为奇函数，所以函数；U)的图象关于点(1,0)对称，即有火x)

+式2—©=0,所以次1)+式2—1)=0,得11)=0,即。+。=0①.由于/U+2)

为偶函数，所以函数/U)的图象关于直线x=2对称，即有.穴外一/(4一%)=0,所以

.*0)+#3)=—/(2)+./(l)=—4a—〃+a+b=-3a=6②.

根据①②可得a=—2,b=2,所以当xW［l,2］时，风冷=一2^+2.

根据函数/U)的图象关于直线x=2对称，且关于点(1,0)对称，可得函数兀r)

的周期为4,所以/e=/1*_/(|)=2xQ-2=|.］

4.已知人处是定义在［2b,1一切上的偶函数，且在［2b,0］上单调递增，则火x

一1)(大陵)的解集为()

■2］「1］「1「

A.—1,QB.—1,WC.［―1,1］D.W，1

B「.7(x)是定义在［241一切上的偶函数，：.2b+l~b=0,：.b=~{.

•./(x)在［-2,0］上单调递增，

.g)在［0,2］上单调递减.

由fix-l)W/(2x)可得以一］\^\2x\,

即(x—1)224/,且一2W无一1W2,-2W2xW2,求得一iWxWg,故选B.］

5.已知定义在R上的偶函数y=/(x+2),其图象是连续的，当x>2时，函

数y=7U)是单调函数，则满足1Ax)=/(1—的所有》的积为()

A.3B.-3C.-39D.39

D［因为函数y=/(x+2)是偶函数，所以函数y=/(x)图象关于x=2对称Jx)

=/4—x),因为兀行在(2,+8)上单调，所以«x)在(-8,2)上也单调，所以要

使式x)=/(1'-土］则x=l—七;或4一%=1一七^.由x=l*，得f+3x

—3=0,211>0,设方程的两根分别为汨，%2，则X1X2=—3；由4—x=l—

得f+x—13=0,/2>0,设方程的两根分别为X3,X4，则X3%4=-13.所以XI尤2X3^4

=39.故选D.］

2

6.(2021.衡阳模拟)若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，

则称这两函数为“亲密函数”.下列三个函数y=2M~\,尸击，尸女中，

与函数7U)=x4不是亲密函数的个数为()

A.OB.1C.2D.3

B[易知函数<x)=》4的定义域为R,是偶函数，在(一8,0)上义X)单调递

减，在(0,+8)上穴X)单调递增，*x)20.三个函数的定义域都为R且都为偶函

f1

数，单调性也与函数"x)=d保持一致，但是y=言？=1一寸^的最大值接近I，

p

>=2H一120,尸了2。.]

二、填空题

7.写出一个单调递减的奇函数.

y=-x(答案不唯一)[y=­x,在定义域R上是减函数，

又/(―x)=x=—(—尤)=一/(x),所以函数是奇函数.]

8.(2021•江苏淮安三模)已知/U)是定义在R上的周期为3的奇函数，且八一

1)=2/(10)+3,则八2021)=.

1[由题意知：42021)=7(3X674—1)=/(—1),

而1-1)=货10)+3,

?./(-1)=2/(3X3+1)+3=2/(1)+3=-2/(-1)+3,即•-1)=3,

=1,故12021)=1.]

9.(2021.莱阳一中模拟)若奇函数於)的定义域为R,式2)=0,且在(0,+8)

f(x)

上单调递增，则满足1Ax—1)20的x的取值范围是,满足L1<0的X

的取值范围是.

[-1,i]U[3,+℃)(-2,o)u(o,2)[由函数次处的性质，作出函数人处

的大致图象如图所示，

,.fix—1)20,则一2Wx—1忘0或;(：-122,

解得一'iWxWl或x23.

3

当■<0时，动;幻<0,即«r)的图象在二、四象限,

X

即一2<r<0或0<x<2.］

三'解答题

(x+1)~sinx

10.设函数.*》)=__炉］］二一的最大值为M,最小值为〃的求M+机的

值.

［解］显然函数寅x)的定义域为R,

一(x+1)2+sinx,2x+sinx

且危尸—7+1—="FT，

52x+sinx,

.g(x)=f+］,则g(-x)=—g(x)，

g(x)为奇函数,

由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,

M+m=［g(X)+l］max+［g(X)+1］min=2+g(x)max+g(x)min=2.

11.已知函数/(X)是定义在区间［-1,1］上的奇函数，对于任意的〃2,〃G［一

1I1./(〃D+/⑴

1,1］都有〃?+〃>0(〃z十〃wo).

(1)判断函数/U)的单调性；

(2)解不等式/Q+0勺(1—x).

(为)+/(―X2)

［解］(1)7殳加=机，—X2=n,Kr2Z>0,

A1A2

因为函数7U)是定义在区间［-1,1］上的奇函数，

f(X1)—f(X2)

所以八一X)=-fix),所展----瓦金----->0,

不妨设一々汨42・1,则犬汨)勺(X2),由函数单调性的定义可得函数次处在区

间［-1,1］上是增函数.

(2)由(1)知函数式x)在区间［-1,1］上是增函数.

则由/Q+T)勺(1-x),

4

r1

—11,

得<—1W1—xWl,

x+〈<l-%

vZ

所以不等式/(x+g)勺U-x)的解集为bOWx<#.

[B组在综合中考查关键能力]

1.(2021.兴宁第一中学模拟)已知函数/U)为R上的奇函数，且图象关于点

(2,0)对称，且当回0,2)时，段)=出一1，则函数外)在区间[2018,2021]

上的()

A.最小值为一：3B.最小值为一方1

3।

c.最大值为aD.最大值为]

B[xG(0,2)时，|x)=(g)—1<0,且是减函数，

•./x)是奇函数，，危)在(一2,0)上是减函数且.*x)>0,又式0)=0,.；*x)在

(-2,2)上是减函数.

由兀行的图象关于点Q,0)对称得_/U)=/I2—(2—x)]=-/F2+(2—x)]=-A4

—X),

又/U)是奇函数，兀Q=一«一九)，

•'­—A-X)=-A4—X),fi.—X)=X4—x),

即Xx)=X4+x)，.•../(>)是周期函数，周期为4.

.•优_2)=负2)且人-2)=-A2),

.•..*2)=,-2)=0,，期)=0,MZ.

_/(x)在(一2,2)上递减，则凡。在(2018,2022)上递减，

A2021)=AD=-1,而式2018)=力-2)=0,

.•mx)在[2018,2021]上的最小值是五2021)=­g.

故选B.]

2.(2021・山东烟台模拟)已知函数1x)的定义域为R,且满足/(%+1)=/

5

(x—1),/(1—x)+/U)=l,则/(x)的最小正周期为，/)的一个解析式

可以为.

2.*x)=；+cos⑪(答案不唯一)［因为於+1)=凡L1),

所以7U)=/(九一2),/U)的最小正周期为2.

因为/(1—x)+./W=l，

对称,

对称以及最小正周期为的方程可以为九

满足关于点2)=T+cosnx.］

3.定义：如果在函数y=/(x)定义域内的给定区间［a,切上存在%o(aao。)，

满足於o)J⑹，则称函数y=/U)是［a，/上的“平均值函数”，xo

是它的一个均值点，如y=d是［-1,1］上的平均值函数，0就是它的均值点.现

有函数/U)=—f+mx+l是［-1,1］上的平均值函数，求实数相的取值范围.

［解］因为函数兀r)=-f+mx+l是［-1,1］上的平均值函数，设期为均值

f(1)—f(—1)

点，所以］_(―D=m=次"°)'

即关于X()的方程一/+租%()+1=用在(-1,1)内有实数根，

解方程得烦=1或沏="?—1.

所以必有一\<m—1v1,即0<m<2,

所以实数〃2的取值范围是(0,2).

［C组在创新中考查理性思维］

1.定义在R上的奇函数/(X)满足/U+2)=A—X),且当x£［0,1］时，_/(x)=

2*—cosx,则下列结论正确的是()

A/<7(2018)

B./(2018)</(婴M竽

2012020、

C；A2018)</

20：’2020、

D./-<7(2018)

6

C「.魂》)是奇函数，."U+2)=A_x)=-/(x),.\Ax+4)=—/(x+2)=/a),

(2019、(3、

.••加)的周期为4,.•.旭018)=X2+4X504)=/(2)=X0),/［丁广/(4X252+引

=/(1)=/({),/(弩+/(4X168+*/•.”金［(),1］时，/)=

2x-cosx单调递增，OV4vj,修),..m2018)</(