2023年广东省深圳市南山区部分学校中考二模 数学 试卷（学生版+解析版）

2023年广东省深圳市南山区部分学校中考二模

数学试卷

（卷面满分：100分考试时长：90分钟）

第一部分选择题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.一2023的倒数是（）

A.2023-------C.-------D.|2023|

20232023

2.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列坐标系里的数学曲线既是轴对称图形,

)

3.根据今年的政府工作报告，2023年经济形势明显成上升势头，城镇新增就业目标为1200万人左右，1200

万用科学记数法表示为（）

A.12xl()6B.1.2xl06C.1.2xlO7D.1200X104

)

D.

5.下列计算正确的是（）

A.6ab-3ab=3B.(-3〃划=6a4b2

C.D.5a1b-i-b=5ci1

6.一组数据：3,4,4,4,5,下列对这组数据的统计量说法错误的是（）

A.平均数是4B.中位数是4C.方差是4D.众数是4

7.下列选项中的尺规作图，能推出PA=PC的是（）

.A

8.下列命题正确的是（）

A.若,则。一1</?一1

B.若（2,3）是反比例函数y=V图像上的点，贝ij（—1,6）也是该函数图像上的点

C.矩形对角线相互平分且相等

D.三角形的一条中位线等分该三角形的面积

9.《算法统宗》是我国明代数学家程大位的主要著作在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的

“甜果苦果”就是其中一首.“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦

两果各几个请君布算莫迟疑！”大意是说：用999文钱共买了1000个甜果和苦果，其中4文钱可以买苦果

7个，11文钱可以买甜果9个，请问甜、苦果各买几个？若设苦果买x个，买甜果y个，可以列方程为

（）.

x+y=999x+y=1000

A.4411…B.<79…

-X+—y=1000-X+—y=999

179、411

%+y=1000x+y=999

C.v411…D.79

-X+—y=999—X+—y=1000

179-14ir

10.如图，CO为直径，弦ABLQ）且过半径。。的中点”，过点A的切线交CO的延长线于G,且

G〃=6,点E为一O上一动点，CFLAE于点F,当点E从点8出发逆时针运动到点C时，点F经过

的路径长是（）

c

c.文

A.一万B.通D.2岳

333

第二部分非选择题

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11.因式分解：2a2-8三

12.关于x的一元二次方程£+6x—a=0的一个根是3,另一个根是匕，则。+。=

13.“湾区之光”摩天轮位于深圳市宝安欢乐港湾内，是深圳地标性建筑之一摩天轮采用了世界首创的鱼鳍

状异形大立架，小亮在轿厢B处看摩天轮的圆心。处的仰角为30°,看地面A处的俯角为45°（如图所示，

Q4垂直于地面），若摩天轮的半径为60米，则此时小亮到地面的距离为米.（结果保留根

号）

14.将等腰直角三角形.A8C纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若AB中点。刚好落在矩形纸片的

边FG上,已知矩形纸片的边E尸长为4,则BC的长为.

15.如图，将YA8CD绕点A逆时针旋转到-AB'C'。'的位置使点8'落在8C上，BC'与CD交于点E,

OC'与的延长线交于点F,AE的延长线与8C的延长线交于点G,若AB=3,BC=4,BB，=］，

则FG的长为

三、解答题（本题共7小题，共55分）

16计算：（6+］/+（_］广'+卜拒sin45。卜6J

17.先化简，再求值［1+—二）十三士生已，其中％=正—1.

Ix-3J2x-6

18.4月17日是“世界血友病日”，某高校开展义务献血活动，经过检测，献血者血型有“AB,AB,O"

四种类型，随机抽取部分献血结果统计，根据结果制作如图两幅不完整统计图表:

（1）本次随机抽取献血者人数为人，图中"?=；

（2）补全表中数据；

（3）若该高校总共有2万名学生，估计其中A型血的学生有人.

（4）现有4个自愿献血者，2人为。型，1人为A型，1人为8型，若在4人中随机挑选2人，利用树状

图或列表法求两人血型均为。型的概率.

19.应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书.已知每个甲种

书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%,用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜

的数量少5台.

（1）求甲、乙两种书柜的进价；

（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍.请您帮

该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱.

20.（一）、问题背景：

数学活动课上，老师拿出一个由五连格边长为1的正方形连成的L形教具，将它放入一个30。的直角三角形

中，ZBCA=90°,ZB=30°,如图1顶点。，E,F,G刚好落在三边上，请求出此直角三角形的面积.

图1

（二）、问题提出与解决：（以下问题二选一解答）

（1）小颖同学受到启发，将此教具放入如图的直角坐标系中，顶点A,B,C分别落在坐标轴上，提出问题:

k

如图2,如果反比例函数y=—（x<0）图像经过顶点。，试求出反比例解析式.

（2）小明同学也受到启发，画了一个圆，如图3,将此教具放入圆内，使圆经过其顶点A,B,C,提出问

题：怎么算出圆的面积？

图3

21（一）、概念理解:

在直角坐标系中，如果两个函数的图象关于某条平行于y轴（包括y轴）的直线轴对称，我们就称它们为“共

根函数”，两函数的交点称之为“共根点”，对称轴称为“共根轴”.例如：正比例函数>=%和丁=一》

是一对共根函数，y轴是它们的共根轴，原点。是共根点.

(二)、问题解决：

(1)在图一网格坐标系里作出与一次函数y=2x-2共根点为(1,0)的共根函数图象，并写出此函数的解

析式.

(2)将二次函数y=f-2x水平向右平移一个单位也可以得到它的共根函数，在图二中通过列表、描点、

连线先作出y=V-2x图象，再按要求作出它向右平移后得到的共根函数图象，表格中m=,

(3)在(2)条件下，函数y=f—2x与x轴的两个交点分别为A,B,一条平行于x轴的直线y=左与这

一对共根函数图象相交，是否存在有两个交点与点A,8一起构成一个平行四边形，如果存在直接写出人的

值，如果不存在，请说明理由.

22.在四边形ABC。中，NEAF=；NBAD(E、/分别为边8C、C£＞上的动点)，A尸的延长线交6C延

长线于点M，AE的延长线交。。延长线于点N.

（1）问题证明：如图①，若四边形ABC。正方形，求证：AACNS^MCA.

（2）拓展应用：如图②所示平面直角坐标系，在中N84C=45°，点A坐标为（-2,-2）,B,C

分别在X轴和y轴上，且反比例函数），=?x>0）图像经过上点Q,且BD:OC=1:2,求人的值.

（3）深入探究：如图③，若四边形4BCD是菱形，连接MN,当MN=M4时，且NE4b=a,试用

CECF

关于a的式子来表示J的值，则m=.（直接写出结果）

2023年广东省深圳市南山区部分学校中考二模

数学试卷

（卷面满分：100分考试时长：90分钟）

第一部分选择题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.一2023的倒数是（）

1

C.--------D.|2023|

2023

【答案】B

【解析】

【分析】根据倒数的定义，进行求解即可.

【详解】解：-2023的倒数是一——

2023

故选B.

【点睛】本题考查了倒数，熟练掌握互为倒数的两数之积为1,是解题的关键.

2.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列坐标系里的数学曲线既是轴对称图形,

【解析】

【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的概念对每一项判断即可解答.

【详解】解：A、项是轴对称图形，不是中心对称图形，故A项不符合题意;

B、项既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B项符合题意；

C、项既是轴对称图形，不是中心对称图形，故。项不符合题意；

D、项是轴对称图形，不是中心对称图形，故D项不符合题意；

故选B.

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念及中心对称图形的概念，理解对应概念是解题的关键.

3.根据今年的政府工作报告，2023年经济形势明显成上升势头，城镇新增就业目标为1200万人左右，1200

万用科学记数法表示为（）

A.12xl（）6B.1.2xl06C.1.2xl07D.1200xl04

【答案】C

【解析】

【分析】1200万即12000000用科学记数法表示成ax10"的形式，其中a=1.2,〃=7,代入可得结果.

【详解】解：1200万即12000000的绝对值大于10表示成ax10"的形式，

a=1.2,〃=8-1=7,

1200万表示成1.2x10’，

故选：C.

【点睛】本题考查了科学记数法.解题的关键在于确定。、〃的值.

4.如图，几何体的主视图是（）

正面

【答案】A

【解析】

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图即可解答.

【详解】解：从正面看图形为

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看得到的图形是主视图成为解题的关键.

5.下列计算正确的是（）

A.6ab-3ab=3B.^-3a2b^=6a4/?2

C.（o-l）'=a2-1D.5a2b-i-b-5a2

【答案】D

【解析】

【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式进行计算即可求解.

【详解】解：A.6ab-3ab=3ab,故该选项不正确，不符合题意；

B.（-3储冲2=9〃42,故该选项不正确，不符合题意：

C.（。一1）2=/_2。+1,故该选项不正确，不符合题意；

D.Serb-^h-5a2＞故该选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式，熟练掌握以上运算法则

是解题的关键.

6.一组数据：3,4,4,4,5,下列对这组数据的统计量说法错误的是（）

A.平均数是4B.中位数是4C.方差是4D.众数是4

【答案】C

【解析】

【分析】分别求解平均数、中位数、方差和众数，然后进行判断即可.

3+4+4+4+5

【详解】解：由题意得，平均数为：-------------=4,正确，故不符合要求；

中位数为：4,正确，故不符合要求；

方差为：*3（4—4）2+（5-=二4,错误，故符合要求；

55

众数为：4,正确，故不符合要求；

故选：C.

【点睛】本题考查了平均数、中位数、方差和众数.解题的关键在于正确运算.

7.下列选项中的尺规作图，能推出PA=PC的是（）

,A

A.B.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据角平分线和线段中垂线的尺规作图及其性质即可得出答案.

【详解】解：A.由此作图可知CA=CP,不符合题意；

B.由此作图可知BA=B尸，不符合题意；

C.由此作图可知不符合题意；

D.由此作图可知B4=PC,符合题意.

故选D.

【点睛】本题考查了基本作图的方法.熟悉基本几何图形的性质，并掌握基本几何作图是解题的关键.

8.下列命题正确的是()

A.若a>b,则a—1<Z?—1

B.若(2,3)是反比例函数>=£图像上的点，则(一1,6)也是该函数图像上的点

C.矩形对角线相互平分且相等

D.三角形的一条中位线等分该三角形的面积

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式的性质、反比例函数的性质、矩形的性质、三角形中线的性质逐项排查即可解答.

【详解】解：A.若a>b,则a—l>b-1,故A选项错误，不符合题意；

B.若(2,3)是反比例函数y=—图像上的点，则函数解析式为y=?,易得(-1,6)不在该函数图像上,

xx

故B选项错误，不符合题意；

C.矩形对角线相互平分且相等，故C选项说法正确，符合题意；

D.三角形的一条中线等分该三角形的面积，故D选项说法错误，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了不等式的性质、反比例函数的性质、矩形的性质、三角形中线的性质等知识点,

掌握矩形的性质是解答本题的关键.

9.《算法统宗》是我国明代数学家程大位的主要著作在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的

“甜果苦果”就是其中一首.”九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦

两果各几个请君布算莫迟疑！”大意是说：用999文钱共买了1000个甜果和苦果，其中4文钱可以买苦果

7个，11文钱可以买甜果9个，请问甜、苦果各买儿个？若设苦果买x个，买甜果y个，可以列方程为

().

x+y=999x+y=1000

A.411B.<79

-x+—y=1000-x+3y=999

179■,411

x+y=1000x+y=999

C.,411D.79

—尤+―y=999—x+♦=1000

179[4ir

【答案】c

【解析】

【分析】利用总价=单价x数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可x,y的二元一次

方程组.

【详解】解：设苦果买x个，买甜果y个,

•共买了1000个甜果和苦果，

x+y=1000,

又文钱可以买苦果7个，II文钱可以买甜果9个,

411

苦果和甜果的单价分别为一文和一文,

79

•••一共花费了999文,

.•±+3=999,

79

x+y=1000

.•.方程组为《411

—x+—y=999

179■

故选：C.

【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组.找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的

关键.

10.如图，CD为（。直径，弦A3,8且过半径。。的中点”，过点A的切线交的延长线于G,且

G〃=6,点E为上一动点，C尸，AE于点F,当点E从点8出发逆时针运动到点C时，点尸经过

4C.妪兀

A.—KB.通D.2岳

333

【答案】B

【解析】

【分析】连接AC,AO,由AB_LCD,利用垂径定理得到“为A8的中点，证明可

求圆的半径，在直角三角形AOH中，由A。与0〃的长，利用勾股定理求出的长，进而确定出A3

的长，由C0+“。求出C8的长，在直角三角形A”C中，利用勾股定理求出AC的长，由C尸垂直于

AE，得到三角形Ab始终为直角三角形，点尸的运动轨迹为以AC为直径的圆上，当E位于点8时，

CHA.AE,此时尸与，重合；当E位于点C时，此时尸与C重合，可得出当点E从点B出发逆时针运

动到点C时，点F所经过的路径长C”的长，在直角三角形ACH中，利用锐角三角函数定义求出

NC4”的度数，进而确定出C”所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出

CH的长，即可求出点F所经过的路径长.

【详解】解：连接AC，AO,

ABLCD,

•••，为AB的中点，即AH=8"=2A6,

2

：AG是L。的切线，

ZQ4G=90°=ZAHO,

又NGQ4=NAOH,

，4KoGsHoA,

.AOOG

即Ofic=OHOG，

：.Ofic=goA.（6+goA）,

QA=4或。4=0（不符合题意，舍去）

•*-OH=2，AH=\IAO2-OH2=2《=BH，

•*-AC=>JAH2+CH2=4>/3，

'：CFLAE,

户始终为直角三角形，点广的运动轨迹为以AC为直径的圆上，

当E位于点8时，CH1AE,此时尸与H重合；当E位于点C时，此时尸与C重合,

...当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点尸所经过的路径长C"的长，

在RtAC“中，tanZACH=-=—,

CH3

ZACH=30°,

NC4H=60。，

CH所对圆心角的度数为120°,

直径AC=4,

则当点E从点B出发逆时针运动到点。时，点尸所经过的路径长C”的长为拽巴.

3

故选：B.

【点睛】此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长

公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点尸所经过的路径长

为CH的长是解本题的关键.

第二部分非选择题

二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

11.因式分解：2〃2-8=.

【答案】2(a+2)(a-2).

【解析】

【分析】首先提取公因数2,进而利用平方差公式分解因式即可.

【详解】2a2—8=2(a2—4)=2(a+2)(a—2).

故答案为2(a+2)(a-2).

考点：因式分解.

【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键.

12.关于x的一元二次方程f+6x—。=0的一个根是3,另一个根是匕，则.

【答案】18

【解析】

【分析】根据方程的一个根是3,另一个根是b,根据根与系数的关系即可求解.

【详解】解：•••关于x的一元二次方程f+6x—a=0的一个根是3,另一个根是〃，

•,.匕+3=—6,3b=—a

解得：b--9,a-21

a+Z?=27—9=18,

故答案为：18.

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关

键.

13.“湾区之光”摩天轮位于深圳市宝安欢乐港湾内，是深圳地标性建筑之一摩天轮采用了世界首创的鱼鳍

状异形大立架，小亮在轿厢B处看摩天轮的圆心。处的仰角为30。，看地面A处的俯角为45°(如图所示，

Q4垂直于地面)，若摩天轮的半径为60米，则此时小亮到地面的距离为米.(结果保留根

号)

【答案】300

【解析】

【分析】过8点作BD_LAZ）于点。，先根据锐角三角函数得到。5的长度，再利用等腰直角三角形的性质

得到AC的长度，进而即可得到8C的长度.

【详解】解：过8点作于点。

•..摩天轮的半径为60米，小亮在轿厢B处看摩天轮的圆心。处的仰角为30°,

.•.03=60米，/DBO=30°，

在Rt_OBD中，BD=cosNOBO•60=走x60=3。6米，

2

BO=AC,

AC=306米，

,/ZAB。=45°,

ZABC=45°,

；,在RfACB中,AC=BC,

3C=30G米，

小亮到地面的距离BC为30百米，

故答案为：30^3米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角和俯角问题，根据题目已知条件添加辅助线是解题的关

键.

14.将等腰直角三角形,ABC纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若A3中点。刚好落在矩形纸片的

边FG上，已知矩形纸片的边E尸长为4,则8C的长为.

【答案】4厢

【解析】

AnAi[/i

【分析】过点A作AMXDC于点M,则AM=所=4,根据tanNACD=——=——求得AW，勾

ACMC

股定理求得AC,8C,即可求解.

【详解】解：如图所示,

过点A作AVLOC于点则40=所=4,

45。是等腰直角三角形，且。是AB的中点,

AM

tanZACD=—

ACMC

即」=/-,

2MC

解得：MC=8,

在RtAAMC中，AC=y]AM2+MC2=46，

；•BC=6AC=4M.

故答案为：4\/10-

【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正切的定义，熟练掌握以上知识是

解题的关键.

15.如图，将YA8CD绕点A逆时针旋转到A'8'C'。的位置使点8'落在上，B,C'与CO交于点E,

0C'与BC的延长线交于点F，AE的延长线与的延长线交于点G,若43=3,BC=4,BB'1，

则尸G的长为.

5

【解析】

【分析】连接£>£>',证明，A姐s.；A£)zy,可求可证以，D,C三点共线，证明ACZ>ES_C8'E,

得出送=^=签得求出国小，再证明△ADEs及7C已求出CG,证明四边形的D是平

行四边形，求出CF,即可求出尸G.

【详解】解：连接">'，

-A!B'C'D',AB=3,BC=4,

ACiy=AB'=AB^3,47=AT>=4，ZBAD=ZB'AD'.AD//BC,AB'//CD',AB-AB'>

ZAD'C=ZADC=AB,

ABAB'3,

布;而二‘〃河="3

:*，ABRsADD'，

BB'|3

----,即,=~,ZAB'B=ZAGD>

DD'ADDD'4

：.DD=-

3

,/AB^AB'，

又NADV=NADC=ZB,ZABB=ZADD,

ZAD'C'=ZAD'D,

W,D,C'三点共线，

CD=),

3

,//DEC'=ZB'EC,ZDC'E=ZB'CE,

:…C'DEs*CB'E，

.DECEDC

•,五一及一酢，

设C£=x,B'E=y,则£)£=3—x,C'E=4-y,

5

-

3X43

-一

==-

yX4-

9

E

-15一

8-8

・・・AD//BC,

：.△ADESNCE,

15

ADDE48

-----=-----，BP——=-77-,

GCCEGC9

8

.rr12

..CrC=—,

5

VADZ/ffF,AB//DF,

四边形泅中是平行四边形,

；•B'F=AD^4,

CF=1,

7

FG=CG-CF=~.

5

7

故答案为：y.

【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明

_CDEs_CB'E是解题的关键.

三、解答题（本题共7小题，共55分）

【答案】一2

【解析】

【分析】根据零指数累的运算法则，乘方的运算法则，特殊角的锐角三角形函数值，负指数幕的运算法则即

可解答.

【详解】解：(V5+1)°+(-1)2023+|-V2sin45°|--

\3

=1+(—1)+1—3

=-2・

【点睛】本题考查了零指数累的运算法则，乘方的运算法则，特殊角的锐角三角形函数值，负指数幕的运算

法则，有理数的加减混合运算法则，掌握对应法则是解题的关键.

（A\V-2_i_2r-|-1

17.先化简，再求值1+--k—-~―,其中*=夜—1.

Ix-5）2x-6

【答案】V2

【解析】

【分析】首先对括号内的式子进行通分相加，把除法转化为乘法，进行约分，最后代入数值计算即可.

x+12(%-3)2

【详解】原式=

九一3(x+1)2犬+1

当*=血一1时，原式=&j+]=0

【点睛】本题考查了分式的混合运算以及化简求值，熟练掌握因式分解，通分约分是解题的关键.

18.4月17日是“世界血友病日”，某高校开展义务献血活动，经过检测，献血者血型有“AB,AB,O”

四种类型，随机抽取部分献血结果统计，根据结果制作如图两幅不完整统计图表：

血型统计表

血型ABAB0

人数2010

（1）本次随机抽取献血者人数为人，图中〃?=;

（2）补全表中的数据；

（3）若该高校总共有2万名学生，估计其中A型血的学生有人.

（4）现有4个自愿献血者，2人为。型，1人为A型，1人为B型，若在4人中随机挑选2人，利用树状

图或列表法求两人血型均为。型的概率.

【答案】⑴100,20%；

（2）24,46；

（3）4800；

（4）

6

【解析】

【分析】（1）根据AB型所占的人数为10人及型所占的百分数10%即可解答；

（2）根据。型血所占的百分数即可得到。型血的人数，再利用总人数减去A6型、B型、0型即可求得;

（3）根据抽样中A型血的人数即可解答；

（4）根据概率的统计方法及概率的定义即可解答.

【小问1详解】

解：...AB型所占的人数为10人，A6型所占的百分数10%,

本次随机抽取献血者人数为：10+10%=100（人），

•••8型所占的人数为20人，

—xl00%=20%,

100

故答案为：100,20%.

【小问2详解】

解：•.•本次随机抽取献血者人数为100人，。型血所占的百分数数为46%,

，。型血的人数为46人，

•..本次随机抽取献血者人数为100人，。型血所占的百分数数为46人，8型血的人数为20人，C型血的

人数为10人，

，A型血的人数为：100—10—20—46=24（人）,

如图所示：

血型ABAB0

人数24201046

【小问3详解】解：•••A型血所占人数为24,总抽样人数为100人，

74

•••该高校总共有2万名学生A型血的学生有20000x——=4800（人）；

100

故答案为:4800.

【小问4详解】

解：如图所示画树状图：

开始

OOBA

小/T\/1\小

OABOABOABOAB

由图可知随机抽取的两个人可能有的结果总共有12种，都为。型血的有2种，

二两人血型均为。型概率：P=—=~.

126

【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，概率的统计方法，概率的定义，读懂条形统计图和扇形统

计图是解题的关键.

19.应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书.已知每个甲种

书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%,用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜

的数量少5台.

（1）求甲、乙两种书柜的进价；

（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍.请您帮

该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱.

【答案】（I）每个甲种书柜的进价为360元，每个乙种书柜的进价为300元.

（2）购进甲种书柜20个，购进乙种书柜40个时花费最少，费用为18600元.

【解析】

【分析】（1）设每个乙种书柜的进价为x元，每个甲种书柜的进价为1.1X元，根据“用3300元购进的甲种

书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少5台”列方程求解即可；

（2）设购进甲种书柜巾个，则购进乙种书柜（60-〃?）个，购进两种书柜的总成本为y元，然后根据意义列

出y与，〃的函数关系式，然后再根据“乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍”列不等式确定，〃的取

值范围，最后根据函数的增减性求最值即可解答.

【小问1详解】

解：设每个乙种书柜的进价为x元，则每个甲种书柜的进价为Llx元，

根据题意得，当1+5=竺四，解得》=300,

l.lxX

经检验，x=300是原方程的根.

300x1.1=330（元）.

答：每个甲种书柜的进价为360元，每个乙种书柜的进价为300元.

【小问2详解】

解：设购进甲种书柜〃，个，则购进乙种书柜（6（）一加）个，购进两种书柜的总成本为），元，根据题意得：

〃=330，〃+300（60一吐即尸30加+18000g20）,

60-m<2m

•.♦%=60X）,

...y随x的增大而增大，

当加=20时，y=186（）（）（元）.

答：购进甲种书柜20个，购进乙种书柜40个时花费最少，费用18600元.

【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，读懂题意，设

出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列出方程和不等式以及函数解析式是解答本题的关键.

20.（一）、问题背景：

数学活动课上，老师拿出一个由五连格边长为1的正方形连成的L形教具，将它放入一个30。的直角三角形

中，ZBC4=90°.N8=30°,如图1顶点。，E,F,G刚好落在三边上，请求出此直角三角形的面积.

图1

（二）、问题提出与解决：（以下问题二选一解答）

（1）小颖同学受到启发，将此教具放入如图的直角坐标系中，顶点4,B,C分别落在坐标轴上，提出问题:

k

如图2,如果反比例函数y=-（x<0）图像经过顶点试求出反比例解析式.

图2

(2)小明同学也受到启发，画了一个圆，如图3,将此教具放入圆内，使圆经过其顶点A,B,C,提出问

题：怎么算出圆的面积？

图3

【答案】（-）也8+8：（-）（1）y^-—；（2）—

35x16

【解析】

【分析】（一）如图1，由题意知GD=2,GF=4,GF//AB，ZA=60°,则NCfU=N6=30。,

CG=!GF=2,AG=GD>AC=—+2.8C=AC-tan60°=4+2百，根据

2sin60033

SABC=A。,。,计算求解即可；

（二）（1）如图2,过。作轴于E，由题意知，AB=1，49=4，CF=1,BF=3,

ZDAB=ZABF=ZCFB=ZAOB=ZDEA=90°,在RtBC产中，由勾股定理求8。=而，证明

BAO^.CBF,则也=也=4与，求得AO=M0,80=巫，同理..ADEs’BAO,则

BFCFBC1010

AEDEAD4/口2V10=则OE=AO+AE=4^，

---=----»求倚AE=

AOAB5510

,代入反比例函数解析式求上，进而可得反比例函数解析式;

(2)如图3,取中点E，作印_LFC,取圆心。，连接OB,OC,则OB=OC,由正方形性

质Cf=—,BE=~,EF=，1,设O9=x,OE=4—x,在Rt^COE和Rt_BOE中，由勾股定理得

22

OC2=CF2+OF-=+x2.OB2=BE2+OE2+(4—力二即

/o\2/1\2

ij)+(4r『,

求x的值，OC的值，进而可得：。的半径，然后代入圆的面积公式进行

求解即可.

【详解】(一)解：如图1,

X

ADEB

图1

由题意知G£>=2,GF=4,GF//AB,ZA=60°,

NCFG=NB=30°,

**.CG=-GF=2,AG=--------=------，

2sin6003

AAC=—+2，6C=ACtan60°=4+27自，

3

.”21(4+2同

•飞ACBC(3八71473-

S3=2=--------Fo

23

此直角三角形的面积为也叵+8；

3

4(二)(1)解：如图2,过。作OELx轴于E

C50x

图2

由题意知，AB=1，4)=4,CF=1,BF=3,

ADAB=ZABF=/CFB=ZAOB=NDEA=90°,

在RtBCF中,由勾股定理得3c+=回,

ZABO+NBAO=ZABO+ZCBF,

4BAO=/CBF,

：.BAO^CBF,

.AOBOABAO_年=去，解得4。=建，B。=叵,

••---=----=----,即Hn———

BFCFBC31VI01010

同理ADEs工BAO,

.AEDEAD=3710=1，解得AE=^^，DE=^~

••—=———,即0tlVio

BOAOAB-55

10n(r

0E=AO+AE=^^-，

10

.,6M7M42

••k,-xy=--------x---------=

-510y

...反比例函数解析式为y=-一；

5x

(2)解：如图3,取A8中点E，作斤，EC，取圆心。，连接。3,OC,则OB=OC，

图3

31

由正方形的性质Cb=e,BE=—,EF=4,

22

设OF=x,OE=4-x,

在RtZXCOE中，由勾股定理得OC?=c/2+0/2=/一3V+%2,

在RgBOE中，由勾股定理得=BE2+OE2

3丫7

+X2解得匕,

2)

：。的半径为恒,

S0=兀/

/.圆面积为

16

【点睛】本题主要考查了正弦、正切，相似三角形的判断与性质，反比例函数，正方形的性质，圆的面

积，勾股定理等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

21.（一）、概念理解:

在直角坐标系中，如果两个函数的图象关于某条平行于）'轴（包括y轴）的直线轴对称，我们就称它们为“共

根函数”，两函数的交点称之为“共根点”，对称轴称为“共根轴”.例如：正比例函数丁=%和丁=一%

是一对共根函数，》轴是它们的共根轴，原点。是共根点.

（二）、问题解决：

（1）在图一网格坐标系里作出与一次函数y=2x-2共根点为。,（））的共根函数图象，并写出此函数的解

析式__________.

（2）将二次函数y=/—2x水平向右平移一个单位也可以得到它的共根函数，在图二中通过列表、描点、

连线先作出y=d-2x图象，再按要求作出它向右平移后得到的共根函数图象，表格中

〃=.这对共根函数的共根点坐标是.

-2-1

X01234

-1

y=x2-2x8m0n38

（三）、拓展提升

(3)在(2)条件下，函数y=/—2x与x轴的两个交点分别为A,B,一条平行于*轴的直线y=女与这

一对共根函数图象相交，是否存在有两个交点与点A,B-■起构成一个平行四边形，如果存在直接写出人的

值，如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=-2x+2；(2)作图见解析，3,0,(3)存在，A:=!

【解析】

【分析】(1)先设一次函数y=2x-2共根点为(1,0)共根函数经过点(2,—2),(1,0),设一次函数

y=2x—2共根点为(1,0)共根函数为y="+6,待定系数法求解析式即可求解；

(2)根据抛物线的对称性，得出机=3,〃=0,然后根据描点法画出y=f-2x图象，以及平移后的图

3

形，根据图象可知共根轴为x=—进而求得共根点坐标是

2

(3)、=女平行于"轴，设丁=左与这一对共根函数图象相交的能构成平行四边形的两点分别为C